Д.А. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский - Алгебраический аппарат квантовой информатики, страница 6

Такое состояние можнопредставить в виде |ψi =ai |ii|ψi i, где |ψi i ∈ HB – нормированныеiсостояния второго кубита, возможно неортогональные.PЗадача 84. Докажите, что ρB = T rA (|ψihψ|) = |ai |2 |ψi ihψi |.iЗамечание 6.4. В данном методе состояния |ψi i можно и не нормировать.6.3Подсистемы квантовых состояний√Рассмотрим запутанное двухкубитное состояние |ψi = 1/ 2(|0i1 |0i2 +|1i1 |1i2 ). Предположим, что мы рассматриваем только первый кубит данного состояния.

Может ли он быть описан вектором? Ответ на этот вопрос отрицательный.√Задача 85. Покажите, что первый кубит состояния |ψi = 1/ 2(|0i1 |0i2 +|1i1 |1i2 ) не может быть описан вектором.Указание. Необходимо рассмотреть измерения первого кубита в различных базисах. Такие измерения описываются операторами вида M0 =|e01 ihe01 |, M1 = |e11 ihe11 |.

Необходимо рассмотреть несколько таких измерений и вычислить соответствующие вероятности для состояния |ψi. Послечего показать, что ни один однокубитный вектор состояния не может давать таких вероятностей.30Из предыдущей задачи следует, что вектора состояний не подходятдля описания подсистем запутанных квантовых систем. Объектом, который описывает такие состояния, является редуцированная матрицаплотности.Задача 86.

Докажите, что произвольное измерение√ первого кубита даетодинаковые результаты для состояния |ψi = 1/ 2(|0i1 |0i2 + |1i1 |1i2 ) иρA = T rB (|ψihψ|).Задача 87. Докажите, что произвольное измерение первого кудита дает одинаковые результаты для произвольного чистого двухчастичногосостояния |ψi ∈ HA ⊗ HB и ρA = T rB (|ψihψ|) ∈ HA ⊗ HA∗ .Задача 88. Докажите, что произвольное измерение первого кудита даетодинаковые результаты для произвольной двухчастичной матрицы плотности ρ ∈ HA ⊗ HB ⊗ HA∗ ⊗ HB∗ и ρA = T rB (ρ) ∈ HA ⊗ HA∗ .Задача 89. ** Докажите, что оператор частичного следа является единственным оператором, приводящий к правильному описанию наблюдаемых подсистемы составной системы [4]Таким образом, если имеется составная система (чистая или смешанная), имеющая матрицу плотности ρ ∈ HA ⊗ HB ⊗ HA∗ ⊗ HB∗ , то ее подсистемы описываются соответствующими редуцированными матрицамиплотности.77.1Двухчастичная запутанность квантовых состоянийКритерий запутанностиПусть имеется чистое двухчастичное квантовое состояние в пространствеHA ⊗ HB , dA = dim(HA ), dA = dim(HA ), d = min(dA , dB ).|ψi =dA XdBXaij |iiA |jiB .(4)i=1 j=1Напомним, что незапутанным называется состояние, представимоев виде |ψi = |ψiA ⊗ |ψiB (соответственно, все остальные состояния называются запутанными)Задача 90.

Докажите, что двухчастичное состояние является запутанным тогда и только тогда, когда существуют унитарные матрицы UA иUB такие, что UA ⊗ UB |ψi = |00i.7. ДВУХЧАСТИЧНАЯ ЗАПУТАННОСТЬ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ31Как можно узнать, запутанно ли какое-либо квантовое состояние илинет? Ответ содержится в следующей задаче.Задача 91. *Рассмотрим состояние 4 и матрицу A = {aij }, составленнуюиз амплитуд этого состояния. Доказать, что состояние |ψi запутано тогдаи только тогда, когда rank(A) > 1.Указание. Если ранг матрицы равен единице, значит все ее столбцы(строки) пропорциональны друг другу.√Задача 92.

Запутано ли состояние |ϕi = 1/ 2(|00i + |11i)?Решение. Матрица, соответствующая этому состоянию будетA=√1/ 20√01/ 2rank(A) = 2, значит состояние запутано.Задача 93. Когда будет запутано двухкубитное состояние |ϕi = a|00i +b|01i + c|10i + d|11i?Можно рассматривать двухчастичную запутанность между различными подсистемами многочастичной системы (т.е. различными разбиениями множества пространств кудитов на два подпространства). На1Pпример для трехкубитной системы |ϕi =ai1 i2 i3 |i1 i2 i3 i можно расi1 ,i2 ,i3 =0смотреть три различных двухчастичных запутанности: между 1 и (2 и3) кубитами; (1 и 2) и 3 кубитом; 2 и (1 и 3) кубитами. Для проверки запутанности между 2 и (1 и 3) кубитами нужно вычислить ранг матрицыa000 a001 a100 a101a010 a011 a110 a111.Задача 94.

Выпишите матрицы для проверки запутанности между: а) 1и (2 и 3) кубитами; б) (1 и 2) и 3 кубитом;Задача 95. Пусть имеется n – кудитная система (каждый кудит размерности d). а) Какого размера будет матрица для проверки запутанностимежду произвольными k и l (k + l = n) кудитами? б) Сколько различныхразбиений такой системы на две подсистемы?Задача 96. Исследовать на запутанность обобщенное GHZ состояние|GHZi = a0 |000i + a1 |111i, |a0 |2 + |a1 |2 = 1.32Решение. Исследовать на запутанность означает узнать, по какимразбиениям на два подпространства запутана система.

Для данного состояния все три матрицы проверки на запутанность c точностью до перстановки столбцов и транспонирования будут равныa0 0 0 0.0 a1 0 0А значит это состояние запутано по всем подпространствам (полностьюзапутанно), если выполняется условие a0 a1 > 0 и полностью незапутанно,если это условие не выполняется.Задача 97. Исследовать на запутанность обобщенное W состояние|W i = a0 |001i + a1 |010i + a2 |001i, |a0 |2 + |a1 |2 + |a2 |2 = 1.Задача 98. Пример. Исследовать на запутанность состояние (в зависимости от параметров a 6= 0, b 6= 0, c 6= 0, d 6= 0)|a|2+|b|21(a|000i + b|010i + c|101i + d|111i).+ |c|2 + |d|2Задача 99.

Исследовать на запутанность n-кубитное состояние√|ψi = 1/ 2n1X|i1 i2 . . . in i.i1 ,i2 ,...,in =0Задача 100. Рассмотрим n-кубитное ненормированное состояниеn2X1|ii.|ψi =2ii=0Нормировать состояние и исследовать его на запутанность.7.2Сингулярное разложение матрицВажную роль для запутанности двучхастичных состояний играет сингулярное разложение матриц (или SVD-разложение, от Singular ValueDecomposition)Теорема 7.1. Для любой комплексной матрицы A размера m × n существует разложениеA = U · S · V ∗,7. ДВУХЧАСТИЧНАЯ ЗАПУТАННОСТЬ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ33где U – унитарная матрица порядка m, V – унитарная матрица порядка n, S – диагональная матрица m × n c неотрицательными действительными числами {s1 , s2 , . .

. , sn } на диагонали (эти числа называютсингулярными числами матрицы A). Причем набор этих чисел однозначно определяется матрицей A.Определение 7.2. Столбцы матрицы U (V ) называются левыми (правыми) сингулярными векторами матрицы A.Замечание 7.3. Обычно принято записывать диагональные элементы {s1 , s2 , . . . , sn }матрицы S в порядке невозрастания, тогда и матрица S определена однозначно.Сингулярное разложение обладает множеством полезных свойств:Задача 101.

Число ненулевых сингулярных чисел матрицы равно ее рангу:dim(si : si > 0) = rank(A).Задача 102. Покажите, что собственные значения матрицы A∗ A являются квадратами сингулярных чисел матрицы A. Каковы будут собственные вектора матрицы A∗ A?Свойство 7.4. Пусть s1 ≥ s2 ≥ . . . ≥ sn . Рассмотрим диагональную матрицу Sk0 размера m×n с диагональными элементами {s1 , s2 , . .

. , sk , 0, 0, . . . , 0},0где k < n. Тогда матрица Ak = U SKV ∗ будет наилучшим приближениемматрицы A среди всех матриц ранга k в смысле матричной нормы ||.||2 .Доказательство. Т.к. матрица A − Ak = U S 00 V ∗ , где S 00 является диагональной с элементами {0, . . . , 0, sk+1 , . . . , sn }, то ||A − Ak ||2 = sk+1 . Рассмотрим произвольную матрицу K ранга k. Ядро этой матрицы имеетразмерность n−k, а размерность линейной оболочки строк v1 , v2 , .

. . , vk+1матрицы V равна k +1. Т.к. (n−k)+(k +1) > n, указанные подпространства имеют нетривиальное пересечение, и для нормированного вектораh из этого пересечения||A − K||22 ≥ ||(A − K)h||22 = ||Ah||22 == ||U SV ∗ h||22 = ||S(V ∗ h)||22 ≥ s2k+1 ||V ∗ h||22 = s2k+1 .Приведенное выше свойство (аппроксимация матрицами меньших рангов) является очень важным и позволяет использовать сингулярное разложение для многоих практических задач: сжатие изображений, латентный семантический анализ, латентный семантический анализ (метод,34позволяющий сравнивать текстовые документы не просто по статистикевхождения слов, но и по семантике; активно используется в текстовыхпоисковых системах), анализ статистических данных и др.7.3Разложение ШмидтаПусть имеется чистое двухчастичное квантовое состояние в пространствеHA ⊗ HB , dA = dim(HA ), dA = dim(HA ), d = min(dA , dB ).|ψi =dA XdBXaij |iiA |jiB .i=1 j=1Как мы знаем, конечномерное гильбертово пространство изоморфносвоему сопряжению, и мы можем рассматривать одно вместо другого.Заменим пространство HB на HB∗ .Задача 103.

Докажите, что пространство HA ⊗ HB изоморфно HA ⊗ HB∗ .Таким образом мы перешли к пространству HA ⊗ HB∗ . В этом пространстве состояние |ψi перейдет вdA XdBXaij |iiA hj|B .i=1 j=1Это будет линейный оператор, действующий из HB в HA , с матрицейM = {aij }. Рассмотрим SVD-разложение этой матрицы:∗M = U SV = UdX∗si |iiA hi|B V =i=1dXsi |eiiA hei|B ,i=1где eiA – базис пространства HA в которой перейдет базис iA под действием матрицы U, а eiB – базис пространства HB в которой перейдет базисiB под действием матрицы V.Возвращаясь к пространству HA ⊗ HB , получим:|ψi =dXsi |eiiA |eiiB .i=1Такое представление двухчастичных квантовых состояний и называютразложением Шмидта.