Д.А. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский - Алгебраический аппарат квантовой информатики, страница 5

Покажите, что проективные измерения являются частнымслучаем измерений общего вида.Задача 57. Покажите, что повторение проективного измерения не меняетсостояние.Задача 58. Приведите пример непроективного измерения.4.3POVM-измерениеСуществует еще один полезный формализм измерений - POVM (Positiveoperator-valued measure). Не будем останавливаться на смысле названия,указав лишь на то, что его смысл полностью раскрывается в случае бесконечной размерности, который мы не рассматриваем.Представим себе, что производится измерение общего вида, но насне интересует, куда перейдет состояние. Это довольно частая ситуация:например, фотоны при измерении обычно поглащаются.

В таком случаенам важна лишь одна формула: p(i) = hψ|Mi∗ Mi |ψi, которая не зависитнепосредственно от Mi , а только от операторов Ei = Mi∗ Mi .Задача 59. Докажите, что Ei ≥ 0.Именно набором положительно-определенныхоператоров Ei , удовлеPтворяющих условиюEi = I, и задает POVM-измерение. Казалось бы,iтакой формализм не несет в себе ничего нового, однако, он крайне полезен при решении многих важных задач.Задача 60. Докажите, что при помощи унитарных преобразований и измерений даже общего вида невозможно достоверно отличить состояния|ϕi и |ψi, если hφ|ψi =6 0.Задача 61.

Пусть имеются неортогональные состояния |ϕi и |ψi, постройте POVM-измерение, которое сможет в некоторых случаях достоверноих различить. Т.е. при измерении данных состояний будут возможны 3исхода:241. Cостояние точно было |ϕi.2. Cостояние точно было |ψi.3. Неудачный исход, при котором начальное состояние остается неизвестным.Указание. «Cостояние точно было |ϕi» с другой стороны означает, чтовероятность получения такого исхода на состоянии |ψi равна нулю.Задача 62.

Постройте POVM-измерение из предыдущей задачи, при котором вероятность неудачного исхода минимальна.Задача 63. Решите две предыдущие задачи для случая n неортогональных состояний.Задача 64. Возьмите в качестве |ϕi и |ψi из Задачи 61 состояния |0i и1(|0i + |1i) соответственно. Постройте POVM-измерение для их опти2мального различения и рассчитайте вероятности исходов такого измерения на первом кубите двухкубитного состояния |ψi = a00 |00i + a01 |01i +a10 |10i + a11 |11i.4.4Эквивалентность проективных измерений и измерений общего видаРассмотрим кубит в состоянии |0i. Проведем несколько последовательных операций:1.

Добавим к начальному кубиту анциллу (вспомогательный кубит)в таком же состоянии, получив в итоге состояние |00i.2. Произведем унитарное преобразование обоих кубитов, превращающее вектор |00i в √12 |00i + 21 |01i + 12 |11i. (Очевидно, что такое преобразование существует, т.к. оба вектора имеют одинаковую длину.)3. Измеряем второй кубит (анциллу) в вычислительном базисе.В результате измерения получим:1. С вероятностью 1/2 второй кубит окажется в состоянии |0i, приэтом первый кубит тоже окажется в состоянии |0i.2. С вероятностью 1/2 второй кубит окажется в состоянии |1i, приэтом первый кубит окажется в состоянии √12 (|0i + |1i).Забудем про второй кубит и будем смотреть только на первый. Тогдаописанная процедура является для первого кубита процессом измерения:с вероятностями 1/2 мы получаем состояния |0i или √12 (|0i + |1i), а этисостояния неортогональны, что выводит нас за пределы проективныхизмерений.Задача 65.

Докажите, что описанное выше измерение первого кубита неможет быть проективным.5. МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ25Однако, такое измерений может быть описано в общем видеЗадача 66. Постройте измерение общего вида (т.е. операторы M0 и M1 ),соответствующие описанному выше измерению.Оказывается, такая схема является универсальной и связывает проективные измерения с измерениями общего вида, что формально выражается в следующих двух задачах.Задача 67. Показать, что схема «добавление анциллы к системе → совместное унитарное преобразование анциллы и системы → ортогональное измерение анциллы→» может быть описана общим (неортогональным) измерением системы.

[4]Задача 68. Показать, что любое измерение общего вида может бытьпредставлено схемой «добавление анциллы к системе → совместное унитарное преобразование анциллы и системы → ортогональное измерениеанциллы». [4]55.1Матрицы плотностиМатрица плотности как ансамбль квантовых состоянийПусть квантовая система находится в одном из квантовых состояний|ψi i с вероятностью pi .

Такую систему называют ансамблем или смесьючистых квантовых состояний.Матрицей (или оператором) плотности такой смеси называют:ρ=Xpi |ψi ihψi |.iЗадача 69. Если состояния |ψi принадлежат пространству H, то какомупространству будет принадлежать оператор плотности, описывающий ихсмесь? Какова размерность этого пространства?Задача70.

Пусть имеется смесь состояний |0i с вероятностью 1/3 и√1/ 2(|0i + |1i) с вероятностью 2/3 запишите матрицу плотности этойсмеси.Задача71. Пусть имеется смесь состояний |00i с вероятностью 1/3 и√1/ 2(|00i + |11i) с вероятностью 2/3 запишите матрицу плотности этойсмеси.Задача 72. Докажите следующие два свойства:26Свойство 5.1. Оператор плотности имеет единичный след.Свойство 5.2. Оператор плотности является неотрицательно определенным.Задача 73. Докажите, что смесьP состояний ρi с вероятностями pi можноописать матрицей плотностиpi ρ i .iЗадача 74. Пусть вся система меняется под действием некоторого унитарного оператора U, тогда ρ меняется следующим образом:Uρ−→ U ρU ∗ .Задача 75. Доказать, что при измерении ρ, описываемом операторами{Mm }, вероятность получить исход m будетp(m) = tr(M ∗ M ρ),а состояние перейдет в∗Mm ρMm.p(m)Задача 76.

Единственно ли представление матрицы плотности в видевзвешенной суммы чистых состояний?ρm =5.2Чистые и смешанные состоянияКвантовые состояния, соответствующие векторам, называются чистыми, остальные – смешанными. Т.е. матрица плотности, представимая ввиде |ψihψ| - является чистой.Замечание 5.3. Иногда под термином «смешанные состояния» подразумевают матрицы плотности (как чистые, так и смешанные), в противовесвекторам состояний - чистым состояниям. Обычно из контекста ясно, какое из значений термина имеется ввиду.Указание. Для решения следующих задач данного параграфа удобноиспользовать спектральное разложение матрицы плотности.Задача 77.

Доказать, что T r(ρ2 ) ≤ 1.Задача 78. Докажите, что следующие утверждения про матрицу плотности ρ эквивалентны (критерии чистоты состояния):а) ρ – чистая;б) rank(ρ) = 1;в) ρ2 = ρ;г) T r(ρ2 ) = 1.Задача 79. Доказать, что множество матриц плотности выпукло и егограничными точками являются чистые состояния.6. РЕДУЦИРОВАННАЯ МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ627Редуцированная матрица плотностиВажным применением матриц плотности является то, что при помощиних можно описывать состояния подсистем составных (многочастичных)квантовых систем, что невозможно сделать при помощи векторов состояний.Для начала нам необходимо дать понятие частичного следа оператора.6.1Частичный следРассмотрим матрицу плотности ρ ∈ H ⊗ H ∗ . Вспомним, что след матрицы – это сумма диагональных элементов, и как хорошо известно, следне зависит от выбора базиса.

Можно вычислить след пользуясь вычислительным базисом пространства H :T r(ρ) =Xhi|ρ|ii.iТеперь рассмотрим двухчастичные состояния. Чистые вектора-состоянияпринадлежат пространству HA ⊗ HB , а матрицы плотности, соответственно, HA ⊗ HB ⊗ HA∗ ⊗ HB∗ . Рассмотрим матрицу плотности ρAB ∈HA ⊗ HB ⊗ HA∗ ⊗ HB∗ .

{|iiA } и {|iiB } – базисы пространств HA и HBсоответственно.След ρAB , соответственно, будет равен:XT r(ρAB ) =hj|B hi|A ρAB |iiA |jiB .ijИспользуя двухчастичную структуру матрицы можно ввести понятиечастичного следа.Определение 6.1. Частичным следом матрицы ρ по пространству HAназываетсяXT rA (ρAB ) =hi|A ρAB |iiA .iМатрицы ρB = T rA (ρAB ) и ρA = T rB (ρAB ) называются редуцированными матрицами плотности матрицы ρAB .Замечание 6.2.

Операция частичного следа определена, конечно же, дляпроизвольных матриц, а не только матриц плотности.Задача 80. Убедитесь, что ρA ∈ HA , ρB ∈ HB .286.2Вычисление частичного следа матрицы.Рассмотрим три способа вычисления частичного следа матрицы.1. Если матрицу удобнее записывать в дираковских обозначениях, товычислять редуцированную матрицу плотности удобнее по определению.Пример 6.3. Пусть HA и HB – 20-мерные гильбертовы пространствас вычислительным базисом |1i, .

. . , |20i. Пусть дана матрица (не являющаяся матрицей плотности) M = |3iA |5iB h3|A h6|B + 2|7iA |8iB h7|A h11|B .Подставим первое слагаемое в записи матрицы в определение T rA ,получим:5Xhi|A |3iA |5iB h3|A h6|B |iiA .i=1Ненулевым будет только 3-й член суммы h3|A |3iA |5iB h3|A h6|B |3iA = |5iB h6|B .Во втором слагаемом останется только |7iB h11|B .Таким образом мы получим T rA (M ) = |5iB h6|B + 2|8iB h11|B .

Аналогично вычислив, получим T rB (M ) = 0.Задача 81. Вычислить по определению частичные следы для матрицы:ρ = |1iA |2iB h1|A h3|B + 5|2iA |8iB h4|A h8|B + 3|2iA |2iB h2|A h3|BТакой методPвычисления можно выразить формулой:P пусть имеетсяматрица M =aijkl |iiA |jiB hk|A hl|B , тогда T rA (M ) =aijil |jiB hl|B .i,j,k,li,j,l2. Второй метод является аналогом первого, но в случае матричнойзаписи. Рассмотрим матрицу плотности двухкубитного состояния. Об1Pщий вид такой матрицы будет M =aijkl |iiA |jiB hk|A hl|B , что в матi,j,k,l=0ричной записи будетa0000 a0100 a1000a1100a0001a0101a1001a1101a0010a0110a1010a1110a0011a0111 .a1011 a1111Рассмотрим T rB .

Первое слагаемое в сумме частичного следа будетh0|A M |0iA– это подматрица, где в индексах на первом и третьем местах стоит 0 т.е. блок 2 × 2a0000 a0001,a0100 a01016. РЕДУЦИРОВАННАЯ МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ29стоящий в верхнем левом углу на диагонали. Аналогичноh1|A M |1iA– блок стоящий ниже на главной диагонали.

Сложив эти блоки, получим:a0000 + a1010 a0001 + a1011a0100 + a1110 a0101 + a1111T rA (M ) =Задача 82. Аналогичным методом вычислите T rB (M ).Задача 83. *Как применять такой метод для больших размерностей? Длятрехчастичных (многочастичных) систем, когда мы хотим взять частичный след по какой-либо частице? По двум частицам?3. Третий метод подходит для вычисления редуцированных матрицплотности чистых двухчастичных состояний.Пусть дано чистое двухчастичное состояние |ψi ∈ HA ⊗ HB , и намнеобходимо вычислить редуцированную матрицу плотности второго кубита (т.е. частичный след поP первому кубиту).