Д.А. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский - Алгебраический аппарат квантовой информатики, страница 4

Важно помнить про лексикографический порядок векторов, который сохраняется и в записи матриц.Рассмотрим произвольную матрицу двухкубитных преобразований:|00i |01i |10i |11i |00iU = |01i |10i|11iu00u10u20u30u01u11u21u31u02u12u22u32u03u13u23u33(3)Такая матрица, действуя на базисное состояние, переводит его в соответствующий столбец, например: |01i в u01 |00i+u11 |01i+|10iu21 +|11iu31 .Задача 38.

Примените к состоянию |ψi = c0 |0i + c1 |1i преобразованиеN OT =0 11 018Задача 39. Примените к состоянию |ψi = c00 |00i+c01 |01i+c10 |10i+c11 |11iоператор1 0 0 0 0 1 0 0 CN OT =  0 0 0 1 0 0 1 0а) преобразовав состояние к вектору-столбцу и умножив на матрицу; б)определив, во что переходят базисные состояния под действием матрицы.Замечание 3.8. Иногда, чтобы сохранялась многочастичная структурапреобразования, элементы абстрактной матрицы двухчастичного преоб10разования удобнее записывать не как uij , а как umnkl , например, u32 u11 .Особенно, такая запись удобна, при большем количестве кубитов или кудитов.

Такие обозначения будут удобны при решении некоторых задачданного параграфа.Тензорный формализм позволяет легко применять однокубитные преобразования к двухкубитным системам. Если однокубитные операторыиз HU ⊗ HU∗ , действуют на первый кубит состояния из H1 ⊗ H2 , то мыпроизводим свертку пространств HU∗ с H1 .Если рассматривать матрицу, как преобразование базиса (как делалось выше), то применять такие преобразования очень просто:Пример 3.9.

Применим преобразованиеu00 u01U=u10 u11к первому кубиту состояния |ψi = c0 |00i + c1 |11i.Оператор U переводит |0i в u00 |0i + u10 |1i, а |1i в u01 |0i + u11 |1i, такимобразомU |ψi = c0 (u00 |0i + u10 |1i)|0i + c1 (u01 |0i + u11 |1i)|1i == c0 u00 |00i + c1 u01 |01i + c0 u10 |10i + c1 u11 |11i.Задача 40. Покажите, что применение оператора U к первой частицедвухчастичной чистемы эквивалентно применению U ⊗I ко всей системе.Задача 41.

Проведите вычисления из Примера 3.9 в матричной форме,используя результат предыдущей задачи.Задача 42. Существует ли унитарное преобразование, которое√ переводит состояние |000i в √12 (i|001i + |111i), a состояние 21 |000i + 23 |010i в√1 (i|001i + |101i)? Если да, то привести пример такого преобразования.23. ПРОСТРАНСТВО КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ19Задача 43. Докажите, что при помощи унитарных преобразований и описанных выше измерений невозможно достоверно отличить состояния |ϕiи |ψi, если hφ|ψi =6 0.В следующих задачах используются:√√• базис Адамара: |0i = 1/ 2(|0i + |1i), |1i = 1/ 2(|0i − |1i);• преобразование Адамара:√1 1H = 1/ 2;1 −1• Преобразование Тоффоли:1 0 0 0T = 0 0 0001000000001000000001000000001000000000000000000100000010Задача 44.

Несложно заметить, что описанное выше преобразование CNOTможно записать в "классическом"виде через битовые операции: |x, yi 7→|x, x ⊕ yi. Запишите таким же образом преобразование Тоффоли.Задача 45. Применить к первому и второму кубитам состояния √13 (|000i+|001i+|111i) преобразование Адамара, затем к первому и третьему кубитам этого состояния применить двухкубитное унитарное преобразованиеU = {uij }.Задача 46.

Записать преобразование Адамара в базисе Адамара.Задача 47. записать преобразование Тоффоли в базисе Адамара для первого и второго кубитов, и в вычислительном базисе для третьего кубита.Задача 48. * Имеется многокубитное состояние|ψi =1Xai1 i2 ...in |i1 i2 . . . in ii1 ,i2 ,...,in =0и унитарная матрицаUk =u00 u01u10 u11.20Матрица Uk действует на k − кубит состояния |ψi, преобразуя его в|ϕi =1Xbi1 i2 ...in |i1 i2 . .

. in i.i1 ,i2 ,...,in =0Выразить амплитуды bi1 i2 ...in конечного состояния через амплитуды начального состояния и элементы матрицы Uk .Дополнительно:а) Uk размера d × d действует на многокудитное состояние|ψi =dXbi1 i2 ...in |i1 i2 . . . in i;i1 ,i2 ,...,in =1б) Преобразование производится двухкубитной матрицей Uk,l над k-ми l-м кубитами.3.7ФазаТ.к.

при измерениях играют роль модули квадратов амплитуд квантовых состояний, а преобразования квантовых состояний являются линейными, состояния отличающиеся лишь на общий фазовый множитель eiϕсчитаются эквивалентными (т.к. нет никакой физической возможностиотличить их друг от друга). Однако важно помнить, что относительныйфазовый множительиграет √важную роль: например, состояния базиса√Адамара 1/ 2(|0i + |1i) и 1/ 2(|0i − |1i) легко отличить друг от друга,применив преобразование Адамара, а потом измерив в вычислительномбазисе.Задача 49.

Сколькими действительными параметрами можно задать состояние кубита? n кубитов? n кудитов размерности d?4Измерения квантовых состоянийКак говорилось выше, важным свойством квантовых состояний являетсяотсутствие прямого доступа к их амплитудам, а для получения информации о состоянии необходимо проводить квантовые измерения. Простейший тип измерений квантового состояния |ϕi описывается следующим образом: зафиксируем некоторый ортонормированный базис пространства состояний |ψ1 i, |ψ2 i, . .

. , |ψn i. Тогда измерение в этом базисе –случайная величина со значениями |ψi i и вероятностями |hϕ|ψi i|2 . Т.е. врезультате измерения состояние |ϕi перейдет в |ψi i (и мы будем знать4. ИЗМЕРЕНИЯ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ21об этом) с вероятностью |hϕ|ψi i|2 . Чаще всего рассматривают измерения в вычислительном базисе (что было приведено в качестве примерав предыдущей части): при таком измерении исходами будут состояниявычислительного базиса с вероятностями равными квадрату модуля соответствующей амплитуды.Задача 50.

Покажите, что процесс измерения не может быть описан унитарным преобразованием.Существуют различные формальные подходы к описанию квантовыхизмерений. Далее мы рассмотрим три таких подхода: проективные измерения, измерения общего вида, POVM-измерения. Эти типы измеренийполностью эквивалентны друг другу.4.1Измерения общего видаИзмерения общего вида описываются набором операторов {Mm }. Вероятность получения результата m при измерении равна∗p(m) = hψ|MmMm |ψi.После измерения система перейдет вMm |ψi.|ψm i = pp(m)Замечание 4.1. Запомнить эти формулы довольно легко: мы рассматриваем ненормированный вектор |ψm i = Mm |ψi.

Квадрат нормы этоговектора hψm |ψm i – вероятность, а его нормированный вариант – состояние после измерения.Единственным условием, которомуPдолжны удовлетворять операто∗ры {Mm } является условие полноты:MmMm = I. Смысл этого услоmвия заключен в следующей задаче.Замечание 4.2. Важно понимать, что для измерений общего вида числовозможных исходов, в отличии от измерений в каком-либо базисе, можетбыть как выше, так ниже размерности системы. Примеры этого будутприведены в разделе посвященном POVM-измерениям.Задача 51. Покажите, что p(m)P описывает правильное распределение вероятностей, т.е.

p(m) ≥ 0 иp(m) = 1.mЗадача 52. Дан кубит |ψi = ao |0i + a1 |1i. Покажите, что операторы M0 =|0ih0| и M1 = |1ih1| описывают обычное измерение в вычислительномбазисе.22Задача 53. Покажите, что два измерения общего вида {Mm } и {Ll }, производимых друг за другом, эквивалентны одному измерению {Mm Ll }.Замечание 4.3. Матричный формализм измерений позволяет таким жеспособом, как и в случае унитарных преобразований, вычислять результат измерения подсистемы большей системы.Пример 4.4.

Рассмотрим двухкубитное состояние|ψi = a00 |00i + a01 |01i + a10 |10i + a11 |11iи измерение его первого кубита в вычислительном базисе. Как известно(см. Задачу 52), такое измерение описывается операторами M0 = |0ih0|и M1 = |1ih1|, которые в данном случае действуют на первый кубит.Для начала проанализируем исход вычисления «0», воспользовавшисьдля упрощения вычислений Замечанием 4.1.Рассмотрим ненормированный вектор|ψ0 i = M0 |ψi = |01 ih01 |(a00 |01 02 i+a01 |01 12 i+a10 |11 02 i+a11 |11 12 i) = a00 |00i+a01 |01i.Вероятность выпадения нуля равна квадрату нормы этого состоянияp(0) = hψ|M0∗ M0 |ψi = hψ0 |ψ0 i = |a00 |2 + |a01 |2 ,система же после измерения перейдет в состояние|ψ0 ia00 |00i + a01 |01iM0 |ψi|ψ0 i = p=p= p.p(0)p(0)|a00 |2 + |a01 |2Аналогично можно получить:p(1) = hψ|M1∗ M1 |ψi = hψ1 |ψ1 i = |a10 |2 + |a11 |2 ,M1 |ψi|ψ1 ia10 |10i + a11 |11i|ψ1 i = p=p= p.p(1)p(1)|a10 |2 + |a11 |2Задача 54.

Опишите результаты измерений в вычислительном базисе состояния |W i = a1 |001i + a2 |010i + a3 |001i, когда измеряется:а) каждый кубит в отдельности (три различных измерения);б) пары кубитов (три различных измерения);в) все три кубита (одно измерение).4. ИЗМЕРЕНИЯ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ4.223Проективные (ортогональные) измеренияРассмотримэрмитов оператор M, называемый наблюдаемой. Пусть M =PmPm – его спектральное разложение. Pm – проекторы на собственныеmподпространства, m – собственные числа.При измерении мы c вероятностью p(m) = hψ|Pm |ψi получим состояPm |ψiние √.p(m)Задача 55. Докажите, что измерение в произвольном базисе являетсяпроективным.Задача 56.