Д.А. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский - Алгебраический аппарат квантовой информатики, страница 3

Читатель уже может догадаться,что это пространство представляет собой пространство линейных операторов, действующих в V. И действительно, каждый элемент пространства представляет собой линейную комбинацию элементов вида x ⊗ α(.),где α(.) – линейный функционал, действующий в V. Если подействоватьтакой конструкцией на вектор y пространства V получим x ⊗ α(y) = kx,где k – элемент поля.Если пространство гильбертово, то эквивалентность тензоров (1,1)операторам увидеть еще проще. Пусть V – гильбертово n-мерное пространство с ортонормированным базисом (|1i, |2i, . . .

, |ni). Пространствотензоров (1,1) - это пространство T11 = V ⊗V ∗ . Базис пространства V ∗ буnPдет (h1|, h2|, . . . , hn|). Общий вид состояния из T11 будет M =aij |iihj|.i,j=1Подействуем M на какое-либо базисное состояние |ki :M |ki =nXi,j=1aij |iihj||ki =nXaik |ii.iКак можно видеть M – линейный оператор.

Причем матрица mij оператора M будет иметь элементы mij = hi|M |ji = aij .nPТ.е. записьaij |iihj| можно рассматривать как матрицу.i,j=13. ПРОСТРАНСТВО КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ13Задача 30. Как в дираковских обозначениях будет выглядеть диагональная матрица?Пример 3.6. Рассмотрим пространство R2 со стандартным скалярнымпроизведением с ортонормированнымбазисом (|0i, |1i). Вектор |0i будет10соответствовать вектору, а вектор |1i вектору.01Рассмотрим матрицу1 0M=3 4и вектор 2v== 2|0i + 5|1i,5ТогдаMv =226.Теперь в Дираковских обозначениях:M v = (|0ih0|+3|1ih0|+4|1ih1|)(2|0i+5|1i) = 2|0i+6|1i+20|1i = 2|0i+26|1i.Как мы видим, вычисления эквивалентны. Нередко даже в матричных случаях для разреженных матриц удобнее использовать дираковские обозначения.Задача 31.Произвести такиежевычисления,как в предыдущем примере1 0 0 21 0 0 0 0  2  для M =  0 0 0 0 , v =  3 3 0 0 44Опишем более точно производимые нами операции.

Рассмотрим отобp−1ражение Tqp → Tq−1, задаваемое на разложимых векторах какx1 ⊗ x2 ⊗ . . . ⊗ xp ⊗ α1 ⊗ α2 ⊗ . . . ⊗ αq 7→7→ αq (xp )x1 ⊗ x2 ⊗ . . . ⊗ xp−1 ⊗ α1 ⊗ α2 ⊗ . . . ⊗ αq−1 .Такое отображение называется сверткой, очевидно, что оно линейно.Можно производить свертку не только по последним, но и по любойдругой паре пространств. Когда мы действуем элементом пространстваV ⊗ V ∗ на элемент пространства V мы сначала «прикрепляем» его припомощи тензорного произведения, а затем производим свертку. В связи14с произвольным выбором пары пространств для свертки при работе сосложными выражениями в кет-бра обозначениях важно помнить, что ис чем мы хотим сворачивать.

Поэтому часто удобноиндексировать пространства, например: |xi1 h0|2 |0i3 + |yi1 h1|2 |1i3 |1i4 - вектор из пространства T22 . Произведем свертку по 2 и 4 пространствам и получим |yi1 |1i3 .Во многих случаях написание индексов довольно удобно и, например,позволяет переставлять пространства местами.Задача 32. Произведите свертку в описанном выше примере по пространствам 2 и 3.Задача 33. Какой вектор будет являться сверткой|0i1 |0i2 + |1i1 |1i2 h0|3 h0|4 + h1|3 h1|4 ∈ T22по 1 и 4 пространствам. Какому пространству будет принадлежать этотвектор? Произведите свертку по всем оставшимся возможным парампространств.3.5Многокудитные квантовые состоянияКубитВ основе принципа работы квантового компьютера лежит понятие кубит (qubit). Термин происходит от произношения «q-bit», сокращения отquantum bit. Кубит - математическое представление двухуровневой квантовой системы.

Состояние кубита - нормированный вектор в гильбертовом пространстве H = C2 со стандартным скалярным произведением. Вкачестве базиса при описании кубита берется ортонормированный базис(|0i, |1i). Таким образом состояние кубита - это нормированная суперпозиция базисных состояний: |ψi = c0 |0i + c1 |1i, |c0 |2 + |c1 |2 = 1. Комплексные коэффициенты c0 и c1 называются амплитудами. Возможность нахождения в суперпозиции является первым фундаментальным отличиемкубита от классического бита, однако, операции для работы с этой суперпозицией имеют весьма серьезные ограничения.

Основное ограничениесостоит в отсутствии доступа к самим амплитудам. Нам доступны лишьопределенные преобразования кубита, которые будут описаны ниже, атакже измерения. Подробнее об измерениях будет рассказано в разделе4, сейчас же приведем простейший, но в тоже время и самый важныйпример измерения, описывемый так называемым правилом Борна.Правило Борна для кубитаРезультатом измерения кубита |ψi = c0 |0i + c1 |1i является одно из егобазисных состояний (т.е. |0i или |1i), причем выбор этого состояния со-3. ПРОСТРАНСТВО КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ15вершенно случаен.

Вероятности выпадения равны квадратам модулейсоответствующих амплитуд: p(|0i) = |c0 |2 , p(|1i) = |c1 |2 . Крайне важнымявляется тот факт, что квантовое измерение не только дает некоторыйответ, но и меняет само квантовое состояние, а именно переводит его всоответствующй результат измерения. Т.е. после измерения возможныдве альтернативы:1. Мы получаем ответ «0» с вероятностью p(|0i) = |c0 |2 , и при этомкубит переходит в состояние |0i.2. Мы получаем ответ «1» с вероятностью p(|1i) = |c1 |2 , и при этомкубит переходит в состояние |1i.Заметим, что при рассмотрении ответа измерения как числа, результат измерения можно считать случайной величиной.Переход к многим кубитамЕще более серьезным различие с классическими битами становится припереходе к нескольким кубитам, состояние которых лежит уже не в декартовом, а в тензорном произведении пространств кубитов.

Т.е. состояние n-кубитов – нормированный вектор в пространстве H ⊗n = |H ⊗ H{z. . . ⊗ H} .nСледствием этого удивительного факта является экспоненциальныйрост размерности пространства состояний в зависимости от числа кубитов (см. Задачу 19).Итак, базисные состояния пространства n кубитов имеют вид|i1 i ⊗ |i2 i ⊗ . . . ⊗ |in iили, что проще |i1 i2 . . . in i, где ij ∈ {0, 1}. Такой базис называют вычислительным.А общий вид многокубитного состояния будет:1X|ψi =ai1 i2 ...in |i1 i2 . . .

in i,i1 ,i2 ,...,in =0|ψi =1X|ai1 i2 ...in |2 = 1.i1 ,i2 ,...,in =0По аналогии с кубитом часто используется термин кудит - d-уровневаяквантовая система. Состояния кудита – нормированные вектора в пространстве Cd . Вычислительный ортонормированный базис обозначаютчерез |0i, |1i, . . . , |n − 1i или |1i, |2i, . . . , |ni.

Трехуровневые и четырехуровневые системы называют кутрит и кукварт соответственно.16Для сопоставления с обычной записью векторов используется лексикографический порядок, т.е. обычные вектора упорядочены(1, 0, . . . , 0),(0, 1, . . . , 0),...(0, 0, . . . , 1),а соответствующий им порядок многокудитного (или многокубитного)состояния задается лексикографически. Для кутритов с базисом|0i, |1i, |2iбазисные вектора будут упорядочены так:|000i, |001i, |002i, |010i, .

. . , |222i.Как можно заметить, если базис нумеруется с |0i, то при лексикографическом порядке число внутри базисного кет-вектора – это dичное представление порядкового номера этого вектора плюс единица.В связи с этим состояние системы n кубитов иногда записывают какn −12P|ψi =ci |ii, подразумевая под i его двоичное представление.i=0Лексикографического правила стоит придерживаться и в случае системы кудитов с разными размерностями.Пример 3.7. Четырехкубитное базисное состояние |0101i будет соответствовать вектору (0,0,. . . ,1,. . .

,0) длины 16 с единицей на 4 + 1 + 1 = 6позиции.Задача 34. Рассмотрим пространство трех кудитов разных размерностейC10 ⊗ C11 ⊗ C12 . Какому вектору будет соответствовать базисный вектор|607i? Какому состоянию трехкудитной системы будет√ соответствоватьвектор, у которого на 11, 125 и 531 позициях стоит 1/ 3, а в остальныхпозициях нули?Задача 35. Рассмотрим пространство n - кудитов разных размерностейCd1 ⊗Cd2 .

. . Cdn . Какому вектору будет соответствовать базисный вектор|a1 a2 . . . an i?Задача36. Даны состояния |ψ0 i = |0i, |ψ1 i = 21 |0i − i√3|1i. Найти hψ0 |ψ1 i, hψ1 |ψ2 i, hψ0 |ψ2 i.2√3|1i,2|ψ2 i = 12 |0i +Задача 37. Записать состояния из прошлой задачи в базисе Адамара:11|0i = sqrt2(|0i + |1i), |1i = sqrt2(|0i − |1i).3. ПРОСТРАНСТВО КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ17Правило Борна для многокудитных состоянийПравило Борна естественным образом работает и для большего числакубитов, и для увеличинной размерности.

При измерении состояния|ψi =dXai1 i2 ...in |i1 i2 . . . in i,i1 ,i2 ,...,in =1в качестве ответа мы получаем строку «i1 i2 . . . in » с вероятностью |ai1 i2 ...in |2 ,состояние же многокубитной системы при таком исходе станет |i1 i2 . . . in i.3.6Преобразования квантовых состоянийНад квантовыми состояниями, описанными выше, можно производитьунитарные преобразования. Унитарность гарантирует что мы не нарушим условие нормировки.Преобразования в квантовой информатике записываются обычно вматричной форме. Однако, преобразовывать вектора состояний в матричную запись, умножать на матрицу, а затем преобразовывать обратнов кет-бра обозначения не всегда удобно, особенно, когда матрицы преобразований разрежены.Посмотрим, как действуют матрицы на вектора в обозначениях Дирака на примере двухкубитных состояний.