Д.А. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский - Алгебраический аппарат квантовой информатики, страница 2

Пусть H – эрмитова матрица, тогда U = eiH – унитарная.Задача 17. Пусть U – унитарная матрица, тогда существует эрмитоваматрица H такая, что U = eiH – унитарная.33.1Пространство квантовых состоянийОсновные понятия тензорной алгебрыДля того чтобы описать формализм многочастичных квантовых состояний, необходимо дать определения некоторых понятий тензорной алгебры.

Для лучшего понимания рекомендуется прочесть соответствующийраздел какого-либо учебника по алгебре, например [1].Перед тем как перейти к формальным определениям, скажем несколько слов о том, что же такое тензоры и зачем они нужны. Вектор являетсястрокой элементов, или, если рассматривать его программную реализацию, одномерным массивом. Матрица представляет собой таблицу, илидвумерный массив. Кроме того матрицы соответствуют линейным операторам в конечномерных пространствах, т.е.

описывают линейные преобразования над векторами - объектами меньшей размерности.Несложно представить себе трехмерную таблицу, чуть сложнее многомерную, а понятие многомерного массива хорошо известно и активноиспользуются в программировании. Тензоры как раз-таки представляютсобой многомерное расширение понятия матрицы (или, что более полно,линейного оператора).Перейдем к формальным определениям.Определение 3.1.

Тензорным произведением векторных пространствV и W (обозначается V ⊗ W ) над общим полем K (для квантовой информатики важным является поле комплексных чисел) называется векторное пространство T вместе с билинейным (линейным по обоим аргументом) отображением⊗ : V × W → T, (x, y) 7→ x ⊗ y,удовлетворяющим следующему условию: если ei : i ∈ I и fj : j ∈ J –базисы пространств V и W соответственно, то ei ⊗ fj : i ∈ I, j ∈ J –базис пространства T.3.

ПРОСТРАНСТВО КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ9Замечание 3.2. Важно понимать, что запись x ⊗ y обозначает не парувекторов, а один вектор пространства T. А пара векторов (x, y) являетсялишь его прообразом. Вектор x ⊗ y называют тензорным произведениемвекторов x и y.Задача 18. Пусть линейное пространство V имеет базис (a, b, c), а линейное пространство W базис (d, e). Каков базис пространства V ⊗ W ?Задача 19. Пусть конечномерные пространства V и W над общим полем имеют размерности m и n соответственно.

Какова размерность ихтензорного произведения?Важно помнить, что если определение линейной алгебры опираетсяна какой-либо базис пространства, то оно должно быть независимо отэтого базиса:Задача 20. Доказать, что Опр. 3.1 не зависит от выбора базисов пространств V и W .[1]Также важна единственность определения:Задача 21.

Доказать, что для двух тензорных произведений пространствV и W (T1 , ⊗1 ), (T2 , ⊗2 ) имеется единственный изоморфизм ψ : T1 → T2 ,удовлетворяющий условию ψ(x ⊗1 y) = (x ⊗2 y), для любых x ∈ V, y ∈W .[1]Указание. Для решения задачи необходимо вспомнить, что такое изоморфизм, построить тривиальный изоморфизм, удовлетворяющий требуемому условию на базисных векторах, и использовать свойство билинейности тензорного произведения.Так как тензорное произведение единственно, мы можем рассматривать именно то, которое строится в самом определении. А именно, в качестве тензорного произведения пространств V и W мы можем взятьлинейное пространство T с базисом ei ⊗ fj и отображение, задаваемоена базисных векторах (ei , fj ) 7→ ei ⊗ fj . На остальных векторах данное отображение строится из свойства билинейности.

Обычно в качестветензорного произведения пространств рассматривают именно такое построение, при этом не указывая явно билинейное отображение, а вместоэтого описывая правила обращения со знаком тензорного произведения"⊗": дистрибутивность относительно сложения и вынесение числовогомножителя. Важно помнить об отсутствии коммутативности. Мы такжебудем использовать далее такую конструкцию.Пример 3.3.

Рассмотрим два линейных пространства над полем действительных чисел: пространство V с базисом (v1 , v2 ) и пространство W10с базисом (w1 , w2 , w3 ). Тогда их тензорное произведение V ⊗ W будет шестимерным пространством с базисом (v1 ⊗ w1 , v1 ⊗ w2 , v1 ⊗ w3 , v2 ⊗ w1 , v2 ⊗w2 , v2 ⊗ w3 ). Любой вектор этого пространства будет иметь видx=2 P3Pαij vi ⊗ wj =i=1 j=1α11 v1 ⊗ w1 + α12 v1 ⊗ w2 + α13 v1 ⊗ w3 ++α21 v2 ⊗ w1 + α22 v2 ⊗ w2 + α23 v2 ⊗ w3 ,(1)αij ∈ R.Также можно рассматривать и произвольные вектора вида x ⊗ y и ихлинейные комбинации, при этом оперируя со знаком тензорного произведения также, как с обычным умножением, исключая коммутативность.Такие вектора легко записать в виде 3.3, например:(3v1 + 4v2 ) ⊗ (5w1 + 6w3 ) − v2 ⊗ v3 == 15v1 ⊗ w1 + 18v1 ⊗ w3 + 20v2 ⊗ w1 + 23v2 ⊗ w3 .В силу ассоциативности определения тензорного произведения, т.е.(U ⊗V )⊗W изоморфно U ⊗(V ⊗W ), можно рассматривать тензорные произведения любого конечного числа пространств V1 ⊗ V2 ⊗ .

. . ⊗ Vn . Важными элементами векторов такого пространства являются вектора, представимые в видеx1 ⊗ x 2 ⊗ . . . ⊗ x n(2)Такие вектора имеют различные названия: разложимые, сепарабельные,мономы. В квантовой информатике состояния, соответствующие этимвекторам, называются незапутанными. Подробнее запутанность квантовых состояний будет рассмотрена в соответствующем параграфе.Задача 22. Приведите пример неразложимого вектора, для тензорногопроизведения пространств из Примера 3.3.3.2Тензорное произведение операторов.Определим тензорное произведение линейных операторов.

Пусть даныдва линейных пространства V и W над общим полем с базисами ei иfj . Тензорным произведением операторов A : V → V и B : W → Wназывается линейный оператор A⊗B : V ⊗W → V ⊗W, определенный набазисных векторах естественным образом: (A⊗B)(ei ⊗fj ) = (Aei )⊗(Bfj ).3. ПРОСТРАНСТВО КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ11Задача 23.

Докажите, что данное выше определение подходит под формальное определение 3.1 для пространств линейных операторов. (Необходимо построить соответствующие билинейное отображение.)Задача 24. Пусть в данном выше определении в базисах ei и fj операторыA и B имеют матрицы {aij } и {bij } соответственно. Как будет выглядетьматрица оператора A ⊗ B в базисе ei ⊗ fj (тензорное произведение матриц).Задача 25. Найти tr(A ⊗ B).Задача 26. ** Найти det(A ⊗ B).Задача 27. *Матрица оператора Адамара имеет вид11 1H=√2 1 −1Найдите формулу для (i,j)-го элемента матрицы H ⊗n = |H ⊗ .{z.

. ⊗ H} .nЗадача 28. Если обе матрицы A и B: а) унитарны б) эрмитовы в) положительно определены, то и матрица A ⊗ B обладает тем же свойством.3.3Обозначения Дирака.Для работы с тензорами в квантовой механике, и особенно в квантовой информатике, приняты удобные обозначения – обозначения Дирака.Пусть имеется гильбертово линейное пространство V, т.е. пространствосо скалярным произведением, возможно бесконечномерное. В нашей книге мы ограничимся конечномерными пространствами. Будем обозначатьвектора из пространства V как |xi ("кет-вектор"), а соответствующие(см.

параграф 2.2) вектора из сопряженного пространства V ∗ как hx|(бра-вектор). В конечномерном пространстве это будет соответствоватьобычному сопряжению вектора. Таким образом hx||yi - будет обозначатьскалярное произведение. Для простоты одну из двух средних черт опускают и записывают hx|yi.Пример 3.4. Рассмотрим трехмерное пространство с ортонормированным базисом |1i, |2i, |3i. Тогда любой вектор пространства можно записать как |vi = x|1i+y|2i+z|3i, а условие ортонормированности выглядитследующим образом: hi|ji = δij .Теперь рассмотрим пространство V.

. ⊗ V} . Тогда базисом этого| ⊗ .{zpпространства будут вектора |i1 i ⊗ |i2 i ⊗ . . . ⊗ |in i. Для векторов такого12пространства обозначения Дирака допускает еще одно упрощение: вектора вида |i1 i ⊗ |i2 i ⊗ . . . ⊗ |in i можно записывать в виде |i1 i|i2 i . . . |in iили даже |i1 i2 . . . in i.

Т.е. можно убирать знак тензорного произведенияи конструкцию i|, если это не мешает читаемости и не производит путаницы, что к какому пространству относится (т.к. знак тензорного произведения векторов некоммутативен). В некоторых случаях можно длячитаемости отделять индексы запятыми: |i1 , i2 , . . . , in i.3.4Тензоры.Пусть V – n-мерное векторное пространство над полем K.Определение 3.5. Пространство∗. . ⊗ V }∗Tqp (V ) = V. .

⊗ V} ⊗ V| ⊗ .{z| ⊗ .{zpqназывается пространством тензоров типа (p, q) на V . T00 (V ) полагаютравным K.Задача 29. Какова размерность Tqp (V )?Важным примером, который еще ни раз встретится нам в книге является пространство тензоров типа (1,1).