М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 88

В этой задаче изучается движение двух точечных частиц, взаимодействие которых задаётся потенциаломU (|r1 −r2 |), зависящим только от расстояний между частицами |r1 −r2 |. Соответствующий квантовый гамильтониан совпадает с классическим с точностью до шляпок:Ĥ =p̂21p̂2+ 1 + U (|r1 − r2 |).2m12m1(16.1)В случае электрона и атомного ядра, взаимодействующих по закону2Кулона U (|r1 − r2 |) = − |r1Ze−r2 | , мы получаем задачу об атоме водородаили водородоподобном ионе (в нерелятивистском пределе, без учёта спиновчастиц и их размеров).Как мы увидим, задача двух тел в квантовой механике и в классической решается во многом аналогичными методами, поскольку обе задачиимеют практически одинаковые симметрии, а симметриям соответствуютзаконы сохранения, которые позволяют проводить разделение переменныхкак в классическом, так и в квантовом случае.16.1.

Законы сохраненияПеречислим законы сохранения, которые могут возникать в задаче двухтел.• Закон сохранения энергии выполняется, поскольку гамильтониан независит от времени.• Закон сохранения суммарного импульса выполняется, поскольку гамильтониан не меняется при сдвиге системы как целого.• Закон сохранения суммарного орбитального момента импульса выполняется, поскольку гамильтониан не меняется при повороте системыкак целого.488ГЛАВА 16• Закон сохранения пространственной чётности выполняется, посколькугамильтониан не меняется при зеркальном отражении.22|• Для специальных видов потенциала (U (|r1 − r2 |) = k|r1 −r— гармо2Ze2нический осциллятор, U (|r1 − r2 |) = − |r1 −r2 | — кулоновский потенциал) могут возникать дополнительные симметрии, законы сохраненияи соответствующее им вырождение уровней энергии (часто называемое «случайным»)1 .• Если частицы имеют спин, то при гамильтониане (16.1), который недействует на какие-либо спины, спин каждой частицы сохраняется.В этом случае спин влияет только на кратности вырождения уровней,а для тождественных частиц см.

также следующий пункт.• Для двух тождественных частиц система должна быть симметричнойотносительно их перестановки. При этом соответствующая чётностьдолжна быть +1 (волновая функция с учётом спинов при перестановкечастиц не меняется) для бозонов и −1 (волновая функция с учётомспинов при перестановке частиц меняет знак) для фермионов.16.2. Сведение к задаче одного телаКак и в классической механике, мы можем разделить переменные, расписав энергию (гамильтониан) через движение центра масс и относительное движение частиц. Соответствующие выкладки с точностью до шляпоктакие же, как в классике.Суммарный импульс и суммарная масса системы, радиус-вектор центра масс:P̂ = p̂1 + p̂2 ,M = m1 + m 2 ,R=r 1 m1 + r2 m2.m1 + m2Относительный импульс и приведённая масса системы, относительный радиус-вектор:v1v2 p̂p̂2 m1 m2p̂1 m2 − p̂2 m1m1 m 21−=, μ=, r = r1 −r2 .p̂ =m1m2 m1 + m2m1 + m2m1 + m2 vотн.1 Наμсамом деле такие законы сохранения обеспечиваются замкнутостью классических траекторий (эллипсов) при финитном движении.

В случае общего положения вместо замкнутогоэллипса классическая частица будет рисовать «розочку» (прецессия перигелия).16.2. С ВЕДЕНИЕК ЗАДАЧЕ ОДНОГО ТЕЛА489Легко видеть, что для новых переменных выполняются каноническиекоммутационные соотношения:[R̂α , P̂β ] = ih̄δαβ ,[r̂α , p̂β ] = ih̄δαβ ,[R̂α , p̂β ] = [r̂α , P̂β ] = [R̂α , r̂β ] = [p̂α , P̂β ] = 0.Также легко проверить, что замена (r1 , r2 , p1 , p2 ) → (r, R, p, P) сохраняет объём в координатном и импульсном пространстве. Покажем этодля x-компонент: 1D(rx , Rx )−1 = m1m2 = 1,D(r1x , r2x )m1 +m2 m1 +m2 m2−m1 D(px , Px )m+mm+m = 1.1212=1 D(p1x , p2x ) 1Это позволяет записывать волновые функции в новых переменных, не думая об элементах объёма, просто подставляя в старые волновые функциивыражения старых переменных через новые.В новых переменных гамильтониан (16.1) переписывается так (проверку, полностью аналогичную классическому случаю, предоставляем читателю):p̂2P̂2Ĥ =+ U (|r|) +.(16.2)2μ2M Ĥ1Ĥ0Гамильтониан распался на два члена, один из которых Ĥ0 действуеттолько на движение центра масс, а другой Ĥ1 — только на относительноедвижение частиц.

Таким образом, мы представили систему из двух взаимодействующих частиц как объединение двух невзаимодействующих подсистем: движение центра масс и относительное движение частиц.Это позволяет провести разделение переменных. Если в начальный момент времени волновая функция может быть записана в видеψ(r1 , r2 ) = ψ(r, R) = ψ1 (r) · ψ0 (R),то поскольку каждый член гамильтониана действует только на свой множитель(Ĥ1 + Ĥ0 ) ψ1 · ψ0 = (Ĥ1 ψ1 ) · ψ0 + ψ1 · (Ĥ0 ψ0 ), Ĥ490ГЛАВА 16то и в последующие моменты времени волновая функция разлагается надва множителя, каждый из которых эволюционирует сам по себе:∂ψ1∂ψ0= Ĥ1 ψ1 , ih̄= Ĥ0 ψ0 .∂t∂tМы свели задачу двух тел к двум задачам:ih̄• Задача о свободном движении частицы массы M описывает движениецентра масс.• Задача о движении частицы массы μ в потенциале U (|r|) описываетотносительное движение частиц.Если мы ищем энергетический спектр системы двух тел, то собственные состояния могут искаться в виде произведений собственных состоянийдля Ĥ1 и Ĥ0 :Ĥψ1 ψ0 = (E1 + E0 )ψ1 ψ0 ,Ĥ1 ψ1 = E1 ψ1 ,Ĥ0 ψ0 = E0 ψ0 .Для свободной частицы (движения центра масс) собственные состояния могут быть заданы, например, волнами де Бройля:ψ0k = eikr ,E0k =h̄2 k2.2MЗадачу одного тела в центральном поле U (|r|) мы рассмотримв следующих разделах.16.3.

Сведение к задаче о радиальном движенииТеперь мы рассматриваем гамильтониан для относительного движениячастицp̂2Ĥ1 =+ U (|r|).(16.3)2μОбезразмеренный орбитальный момент импульса имеет вид1[r̂ × p̂].h̄В силу сферической симметрии орбитальный момент сохраняется,а значит мы имеем три взаимно коммутирующих оператора, которые могут быть одновременно приведены к диагональному виду:l̂ =ˆl2 ,ˆlz ,Ĥ1 .16.3. С ВЕДЕНИЕК ЗАДАЧЕ О РАДИАЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ491Далее нам удобно перейти к сферическим координатам, потому чтов них повороты влияют только на углы θ и ϕ, оставляя радиальную координату r неизменной и позволяя разделить переменные. Гамильтониан Ĥ1в координатном представлении имеет видĤ1 = −h̄2 + U (|r|).2μЛапласиан в произвольных криволинейных координатах имеет вид∂1 ∂ = |g| g ab b ,a∂x|g| ab ∂xгде g ab — обратный метрический тензор (метрический тензор удобно выражается через элемент длины dl):1, a = cabag gbc = δc =,dl2 =gab dxa dxb ,0, a = cbabа |g|d3 x — инвариантный элемент объёма, который выражается черезопределитель метрического тензора:g = det(gab ).Метрический тензор для сферических координат мы уже вводили ранее (15.5).

Лапласиан в сферических координатах удобно записывается через оператор ˆl2 :!1 ∂ 2 ∂1∂1∂21 ∂= 2r+ 2sinθ+.r ∂r∂r r sin2 θ ∂ϕ2sin θ ∂θ∂θθϕ =−l̂2В гамильтониане из кинетической энергии выделяется центробежный член,L2полностью аналогичный классическому 2μr2:Ĥ1 = −h̄2 1 ∂ 2 ∂r+2μ r 2 ∂r∂rh̄2 ˆl22μr 2 центробеж. энерг.+ U (r).492ГЛАВА 16Мы ищем общие собственные функции для операторов l̂2 и Ĥ1 . Поскольку l̂2 действует только на угловые переменные, будем искать волновуюфункцию в видеψ1 (r) = ψ1 (r, θ, ϕ) = R(r) · Yl (θ, ϕ),где Yl — собственная функция оператора ˆl2 :l̂2 Yl = l(l + 1)Yl .Будет ли Yl также собственной функцией оператора ˆlz нам пока (покане нарушается сферическая симметрия) совершенно не важно, но желающие могут заменить Yl на Ylm , потребовавˆlz Ylm = mYlm ,l̂2 Ylm = l(l + 1)Ylm .Тут важно только число линейно независимых функций Yl при фиксированном l.

В качестве таких линейно независимых функций могут быть выбраны, например Ylm , которых имеется (поскольку m = l, l − 1, . . . , 0, . . . , −l)2l + 1 штука.Из стационарного уравнения Шрёдингера сокращаем Yl , получаемĤ1 (RYl ) = E1 (RYl ) ⇒ ψ1−ψ1!h̄2 1 ∂ 2 ∂h̄2 l(l + 1)r++U(r)R(r) = E1 R(r).2μ r 2 ∂r∂r2μr 2(16.4)Выражение в квадратных скобках отличается от гамильтониана Ĥ1 толькотем, что оператор l̂2 заменился на собственное число l(l + 1).(ф) Мы видим, что происходящий от угловой части кинетической энергии членh̄2 l(l+1)2mr 2h̄2 l̂22μr 2теперь переписался как функция от радиальной координатыи может трактоваться как центробежная потенциальная энергия.То же самое мы имели и в классике, при рассмотрении задачи движениячастицы в центральном потенциале.h̄2 1 ∂2 ∂(ф) Оператор радиальной кинетической энергии − 2μr 2 ∂r r ∂r отличается от обычной кинетической энергии при одномерном движении. Этосвязано с тем, что волна, распространяющаяся по r, — это не плоская волна, а сферическая.