Ю.Н. Киселёв, С.Н. Аввакумов, М.В. Орлов - Оптимальное управление. Линейная теория и приложения, страница 8

Используя свойство 7◦ , результат примера 4 из64подраздела 2.5.4, получаемc(F, ψ) = c(F1 + F2 , ψ) = c(F1 , ψ) + c(F2 , ψ) == (a1 + a2 , ψ) + (r1 + r2 ) · ψ = c(Sr1 +r2 (a1 + a2 ), ψ).Итак, два выпуклых компакта F и Sr1 +r2 (a1 + a2 ) имеют одинаковыеопорные функции, следовательно, в силу (14), они совпадают, т.е.установлено правило алгебраического сложения двух шаров:Sr1 (a1 ) + Sr2 (a2 ) = Sr1 +r2 (a1 + a2 ).При алгебраическом сложении шаров получается новый шар, причёмскладываются радиусы шаров и их центры.Рассмотрим сейчас основанные на доказанной теореме свойства11◦ -14◦ опорных функций.

В этих свойствах речь идёт о формулировке условий включения, непустоты пересечения двух множеств втерминах опорных функций этих множеств.Свойство 11◦ (условие вложенности для двух множеств):пусть F1 , F2 ∈ Ω(E n ), тогдаF1 ⊂ F2 =⇒ c(F1 , ψ) c(F2 , ψ)∀ψ ∈ E n =⇒ conv F1 ⊂ conv F22 Проверим первую импликацию. Если выполняется включениеF1 ⊂ F2 , тоc(F1 , ψ) = max(f, ψ) max(f, ψ) = c(F2 , ψ)f ∈F1f ∈F2∀ψ ∈ E n .Проверим теперь вторую импликацию. Если выполнено неравенство c(F1 , ψ) c(F2 , ψ), то, привлекая представление (7) доказаннойвыше теоремы, получаем:conv F1 =({x ∈ E n : (x, ψ) c(F1 , ψ)} ⊂ψ∈S⊂({x ∈ E n : (x, ψ) c(F2 , ψ)} = conv F2 .ψ∈SСледствие из свойства 11◦ .

Для F1 , F2 ∈ conv Ω(E n )F1 ⊂ F2 ⇐⇒ c(F1 , ψ) c(F2 , ψ)65∀ψ ∈ E nЗамечание 5.2. В силу свойства 2◦ опорных функций условиеc(F1 , ψ) c(F2 , ψ)∀ψ ∈ E nравносильно условиюc(F1 , ψ) c(F2 , ψ)∀ψ ∈ S.Аналогичное замечание относится и к свойствам 11◦ − 14◦ , приведенным ниже, и их следствиям.Свойство 12◦ (условия принадлежности точки множеству):пусть f ∈ E n , F ∈ Ω(E n ), тогдаf ∈ F =⇒ (f, ψ) c(F, ψ)∀ψ ∈ E n =⇒ f ∈ conv F2 Свойство 12◦ вытекает из свойства 11◦ при F1 = {f }, F2 = F .Следствие из свойства 12◦ . Для f ∈ E n , F ∈ conv Ω(E n )f ∈ F ⇐⇒ (f, ψ) c(F, ψ)∀ψ ∈ E nСвойство 13◦ (условие принадлежности нулевой точки множеству):пусть 0 ∈ E n , F ∈ Ω(E n ), тогда0 ∈ F =⇒ 0 c(F, ψ)∀ψ ∈ E n =⇒ 0 ∈ conv F2 Свойство 13◦ вытекает из свойства 12◦ при f = 0.Следствие из свойства 13◦ . Для F ∈ conv Ω(E n )0 ∈ F ⇐⇒ 0 c(F, ψ)∀ψ ∈ E nЧрезвычайно важную роль в дальнейшем (при исследовании вопроса об управляемости и доказательстве принципа максимума) играет следующее свойство опорных функций.Свойство 14◦ (условия непустоты пересечения двух множеств):пусть F1 , F2 ∈ Ω(E n ), тогдаF1"F2 = ∅ =⇒ c(F1 , ψ) + c(F2 , −ψ) 0∀ψ ∈ E n =⇒"=⇒ conv F1 conv F2 = ∅66Знаком ∅ здесь обозначено пустое множество.2 Докажем сначала первую импликацию.

Условие F1 ∩ F2 = ∅(непустота пересечения множеств F1 и F2 ) означает существованиехотя бы одной общей точки у этих множеств: ∃f ∈ E n , f ∈ F1 , f ∈ F2 .Тогда (−f ) ∈ (−F2 ) и, в силу определения алгебраической суммыдвух множеств, получаем: f + (−f ) ∈ F1 + (−F2 ), т.е. 0 ∈ F1 + (−F2 ).Первая часть свойства 13◦ влечёт неравенствоc(F1 + (−F2 ), ψ) 0∀ψ ∈ E n ,которое, в силу свойства 7◦ , принимает вид:c(F1 , ψ) + c(−F2 , ψ) 0∀ψ ∈ E n ,и, наконец, с помощью свойства 5◦ , окончательную форму:c(F1 , ψ) + c(F2 , −ψ) 0∀ψ ∈ E n .(15)Докажем теперь вторую импликацию свойства 14◦ . Пусть выполнено неравенство (15).

Полагая H1 = conv F1 , H2 = conv F2 , и, привлекая свойство 10◦ , из неравенства (15) получаемc(H1 , ψ) + c(−H2 , ψ) 0∀ψ ∈ E n .Отсюда с помощью свойств 5◦ и 7◦ приходим к неравенствуc(H1 + (−H2 ), ψ) 0 ∀ψ ∈ E n .(16)Так как H1 , H2 ∈ conv Ω(E n ), то H1 +(−H2 ) ∈ conv Ω(E n ). Поэтому всилу следствия из свойства 13◦ неравенство (16)" равносильно условию0 ∈ H1 + (−H2 ), из которого следует, что H1 H2 = ∅, т.е."(conv F1 ) (conv F2 ) = ∅ .Следствие из свойства 14◦ . Для F1 , F2 ∈ conv Ω(E n )"F1 F2 = ∅ ⇐⇒ c(F1 , ψ) + c(F2 , −ψ) 0 ∀ψ ∈ E nПокажем на примере, что последнее утверждение для невыпуклыхкомпактов неверно.

Пусть F1 = Sε (0), 0 < ε < 1; F2 = S, тогда"c(F1 , ψ) + c(F2 , −ψ) = εψ + − ψ = (1 + ε)ψ 0, F1 F2 = ∅(шар радиуса ε с центром в нуле не пересекается с единичной сферой S).672.5.6 Расстояние Хаусдорфа между множествами. Свойства 15◦ ,16◦ опорной функции, связанные с расстоянием ХаусдорфаРассмотрим точку x0 ∈ E n и число ε 0. ε-окрестностьюточки x0 называется шар Sε (x0 ) = {x0 } + Sε (0). Напомним, чтоSε (x0 ) = {x ∈ E n : x − x0 ε}. Пусть r = x0 − y0 – расстояниемежду двумя точками x0 , y0 ∈ E n ; тогда соотношенияx0 ∈ {y0 } + Sε (0),y0 ∈ {x0 } + Sε (0),выполняются для любого числа ε r, причёмr = min {ε 0: x0 ∈ {y0 } + Sε (0), y0 ∈ {x0 } + Sε (0)} .Определение 5.2. ε-окрестностью множества F ⊂ E n называется множество!Sε (f ) .F + Sε (0) =f ∈F%&Рассмотрим пример. Пусть F = x ∈ E 2 : |x1 | 1, |x2 | 1 – квадрат, его ε-окрестность изображена на рисунке 5.4.x2x211F−1F−1 − ε01−1x101x11+ε−1−1Рисунок 5.4Определение ε-окрестности множества F как объединения шаровSε (f ) по всем точкам f ∈ F позволяет в плоском случае дать “механическое” описание процедуры построения ε-окрестности: если считать68круг Sε (f ) покрытым краской, то ε-окрестность множества F состоит из всех окрашенных точек плоскости, когда центр f этого кругапробегает все множество F .Обратимся к определению расстояния между множествами.

Рассмотрим в E n два ограниченных множества F1 , F2 ; ясно, что существует такое число R > 0, чтоF1 ⊂ F2 + SR (0),F2 ⊂ F1 + SR (0).Таких чисел R существует много, и можно поставить вопрос о выборе“наименьшего” из таких чисел, для которых оба записанные включения выполняются. На этом пути приходим к определению расстояниямежду множествами (расстояния Хаусдорфа).Определение 5.3.

Пусть F1 , F2 ∈ Ω(E n ). Расстоянием Хаусдорфа между множествами F1 и F2 называется неотрицательное числоh(F1 , F2 ), определяемое формулой F ⊂ F + S (0)2r 1.(17)h(F1 , F2 ) = min r r0 F2 ⊂ F1 + Sr (0)Расстояние Хаусдорфа h(F1 , F2 ) определено для любых множеств F1 , F2 ∈ Ω(E n ).Упражнение 5.4. Проверить, что расстояние h(F1 , F2 ) удовлетворяет трём аксиомам метрики метрического пространства:1) h(F1 , F2 ) 0;h(F1 , F2 ) = 0 ⇔ F1 = F2 ;2) h(F1 , F2 ) = h(F2 , F1 )(симметричность);3) h(F1 , F3 ) h(F1 , F2 ) + h(F2 , F3 ) ∀ F1 , F2 , F3 ∈ Ω(E n )(неравенство треугольника).Упражнение 5.5. Установить для модуля |F | = max f множеf ∈Fства F ∈ Ω(E n ) формулу|F | = h({0}, F ) .Найдём расстояниеХаусдорфа между%& кругом F1 = S1 (0) и квадратом F2 = x ∈ E 2 : |x1 | 1, |x2 | 1 на плоскости.

Очевидно, чтоF1 ⊂ F2 + Sr (0) для любого r 0, так как F1 ⊂ F2 . Далее, F2 ⊂69√F1 + Sr (0) для любого r 2 − 1, так как F1 + Sr (0) = S1+r (0). Легко видеть, что минимальное значениеr, для которого выполняется√включение F2 ⊂ S1+r (0), равно 2 − 1. Следовательно,√h(F1 , F2 ) = 2 − 1.Замечание 5.3. Расстояние Хаусдорфа можно определить для любых множеств из E n , заменив в формуле (17) знак “min” знаком “inf”.Пример 5.5. ПустьF1 = S1 (0)– замкнутый круг,2F2 = {x ∈ E : x21 + x22 < 1}– открытый круг.Покажем, что h(F1 , F2 ) = 0. Действительно, F2 ⊂ F1 + Sr (0) прилюбом r 0, так как F2 ⊂ F1 . Включение F1 ⊂ F2 +Sr (0) выполняетсяпри любом r > 0. Поэтомуh(F1 , F2 ) = inf {r: F1 ⊂ F2 + Sr (0), F2 ⊂ F1 + Sr (0)} = 0 .r0Пример 5.6.

Пусть%&F1 = x ∈ E 2 : x2 = 0– прямая,2F2 = {x ∈ E : x2 = arctg x1 } – график арктангенса.Эти множества замкнуты, но неограничены, и очевидноh(F1 , F2 ) =π.2Рассмотрим в заключение два свойства опорных функций, связанных с расстоянием Хаусдорфа.Свойство 15◦ (условие Липшица по первому аргументу):c(F1 , ψ) − c(F2 , ψ) ψ h(F1 , F2 ) ∀ F1 , F2 ∈ Ω(E n ) .(18)Здесь множитель ψ играет роль константы Липшица.2 Из определения расстояния Хаусдорфа следует включение F1 ⊂F2 + Sh(F1 ,F2 ) (0). Отсюда, привлекая свойство 11◦ (часть 1), свойство 7◦ и пример 2 из раздела 2.5.4, получаем:c(F1 , ψ) c(F2 + Sh(F1 ,F2 ) (0), ψ) = c(F2 , ψ) + ψ h(F1 , F2 ),70т.е.c(F1 , ψ) − c(F2 , ψ) ψ h(F1 , F2 ).Если поменять ролями множества F1 и F2 , то, в силу симметричностирасстояния Хаусдорфа, получим неравенствоc(F2 , ψ) − c(F1 , ψ) ψ h(F1 , F2 ).Из двух последних неравенств следует неравенство (18).Следствие из свойства 15◦ .

Опорная функция c(F, ψ) непрерывнапо первому аргументу, т.е. c(F , ψ) → c(F, ψ), h(F, F ) → 0. ЗдесьF , F ∈ Ω(E n ), ψ ∈ E n .Следствие из свойств 14◦ , 15◦ . Опорная функция c(F, ψ) непрерывна по совокупности аргументов, т.е.c(F , ψ ) → c(F, ψ)приh(F, F ) + ψ − ψ → 0 .Здесь F , F ∈ Ω(E n ), ψ , ψ ∈ E n .Упражнение 5.6. Доказать последнее утверждение.Свойство 16◦ (вычисление расстояния Хаусдорфа между выпуклыми компактами при помощи опорных функций этих компактов):пусть F1 , F2 ∈ conv Ω(E n ), тогда имеет место формула(19)h(F1 , F2 ) = max c(F1 , ψ) − c(F2 , ψ) .ψ∈S2 Полагая M = max c(F1 , ψ) − c(F2 , ψ), перепишем (19) в формеψ∈Sh(F1 , F2 ) = M .(20)h(F1 , F2 ) M .(21)Докажем сначала, чтоИз свойства 15◦ следует неравенствоc(F1 , ψ) − c(F2 , ψ) h(F1 , F2 ) ∀ψ ∈ S,которое в силу определения числа M влечет (21).Докажем теперь, чтоh(F1 , F2 ) M .Из определения числа M следует, чтоc(F1 , ψ) − c(F2 , ψ) M71(22)∀ψ ∈ S ,или ψ c F1 , ψM− c F2 ,ψψ ∀ψ ∈ E n , ψ = 0 .Умножив почленно последнее неравенство на ψ и привлекая свойство 2◦ , получаемc(F1 , ψ) − c(F2 , ψ) M ψ ∀ψ ∈ E n ,или−M ψ c(F1 , ψ) − c(F2 , ψ) M ψ∀ψ ∈ E n .(23)◦Используя правую часть последнего неравенства, свойство 7 , получаемc(F1 , ψ) c(F2 , ψ) + c(SM (0), ψ) = c(F2 + SM (0), ψ)∀ψ ∈ E n .Так как компакты F1 и F2 + SM (0) выпуклы, то по следствию из свойства 11◦ опорных функций последнее соотношение влечёт включениеF1 ⊂ F2 + SM (0) .(24)Левая часть неравенства (23) при помощи аналогичных рассужденийприводит к включениюF2 ⊂ F1 + SM (0) .(25)Итак, для числа M одновременно выполняются включения (24),(25), и, таким образом, определение расстояния Хаусдорфа (17) приводит к обоснованию неравенства (22).

Из (21) и (22) вытекает требуемое равенство (20).Замечание 5.4. Формула (19) доказана для выпуклых компактов.Приведем пример, показывающий, что без условия выпуклости этаформула неверна. Пусть n = 2, −1100,, F2 =,∈ Ω(E 2 ) ,F1 =00−11– множества, каждое из которых состоит из двух точек. Ясно, чтовключенияF1 ⊂ F2 + Sr (0), F2 ⊂ F1 + Sr (0)72√√выполняются лишь при r 2, поэтому h(F1 , F2 ) = 2. С другойстороны,|−|ψ|M = maxc(F1 , ψ) − c(F2 , ψ) = 2max|ψ = 1.122ψ1 +ψ2 =1ψ∈S√Таким образом, h(F1 , F2 ) = 2 > 1 = M , т.е.