Ю.Н. Киселёв, С.Н. Аввакумов, М.В. Орлов - Оптимальное управление. Линейная теория и приложения, страница 6

рисунок 4.11). Гиперплоскость Γψ называется опорной гиперплоскостью для компакта H.Неравенство (9) запишем в форме(h, ψ) (h0 , ψ)∀h ∈ H.Из него следует, чтоc(H, ψ) ≡ max(h, ψ) = (h0 , ψ).h∈HФункция c(H, ψ), определяемая компактом H, называется опорнойфункцией этого компакта в направлении вектора ψ. При помощи этой функции можно описать гиперплоскость Γψ и полупространство Πψ :Γψ = {x ∈ E n : (x, ψ) = c(H, ψ)} ,Πψ = {x ∈ E n : (x, ψ) c(H, ψ)} .Достаточно представительный набор опорных гиперплоскостей Γψ1 ,Γψ2 , . .

., ΓψN позволяет строить аппроксимации выпуклых компактовв форме пересечения полупространств Πψ1 , Πψ2 , . . ., ΠψN , каждоеиз которых, как мы видим, описывается опорной функцией c(H, ψ)компакта H.В следующем разделе проводится подробное изучение опорныхфункций.2.5Опорные функции ограниченных множествОпорные функции представляют собой удобный аналитический аппарат для описания выпуклых компактов. Этот аппарат в дальнейшембудет применяться при изучении линейной задачи быстродействия.Опорные функции удобно применять не только для изложения теории, но и при построении численных методов решения задачи быстродействия.492.5.1 Предварительные геометрические соображенияРассмотрим выпуклый компакт F на плоскости. Ясно, что компактF можно приближённо представить при помощи описанных выпуклыхмногоугольников, (см.

рисунок 5.1), причём при подходящем увеличении числа сторон выпуклого многоугольника выпуклый компакт Fможет быть представлен весьма точно.ψ2Γψ 2ψ1x0FFΓψ 1Рисунок 5.1 а)Если выбрать достаточно представительный набор векторов ψ0 , ψ1 ,. . . , ψN ∈ S, то получимF ⊂N(Πψk ≡ MN ,k=0где пересечение конечного числа полупространств (полуплоскостей)– выпуклый многоугольник MN – даёт достаточно точное описаниевыпуклого компакта F . При этом аппроксимация множества многоугольником носит внешний характер: MN ⊃ F . Мы покажем далее2 ,2 Рисунок 5.1 а) носит схематичный характер: плоское выпуклое множество грубоприближается описанным выпуклым пятиугольником. На рисунке 5.1 б) показан результат аппроксимации плоского выпуклого компакта (лунки, см.

пример 21.10) (1−1L = S√2S√2,00√которая является пересечением двух кругов радиуса 2 с центром в точках (1, 0)50что выпуклый компакт F ⊂ E n может быть получен как пересечение всех полупространств Πψ , когда вектор ψ пробегает единичнуюсферу S:(Πψ , Πψ = {x ∈ E n : (x, ψ) c(F, ψ)} .F =ψ∈SТак как каждое из опорных полупространств описывается с помощьюопорной функции c(F, ψ) компакта F , то на этом пути мы приходимк возможности аналитического описания выпуклых компактов припомощи их опорных функций.x21L−101x1−1Рисунок 5.1 б)Эти геометрические соображения полезно иметь в виду при изучении материала раздела 2.5.и (−1, 0), выпуклым N -угольником. Можно показать, что опорная функция лункиопределяется формулой) |ψ1 + ψ2 | + |ψ1 − ψ2 |c(L, ψ) = ψ12 + 3ψ22 + ψ12 − ψ22 −.2При выполнении расчёта и создании рисунка 5.1 б) количество опорных прямых выбрано равным 60: наблюдается высокое качество приближения множества L пересечениемопорных полуплоскостей.

В двух угловых точках лунки опорная прямая определяетсянеединственным образом.512.5.2 Определение опорной функции ограниченных множествПусть F – ограниченное множество, лежащее в некотором шаре SR (0) пространства E n , ψ – вектор пространства E n .Определение 5.1. Опорной функцией множества F называетсяфункция, определяемая равенствомc(F, ψ) = sup (f, ψ).f ∈F(1)Опорная функция любого ограниченного множества принимает конечные значения при любом векторе ψ ∈ E n . Действительно,|(f, ψ)| f ψ,(f, ψ) ψ sup f ,f ∈F(2)где число |F | = sup f , называемое модулем множества F , не преf ∈Fвосходит R. Отсюда вытекает оценкаc(F, ψ) |F | ψ.(3)Ясно также, что|c(F, ψ)| |F | ψ .Замечание 5.1. Множество F может быть незамкнутым и невыпуклым.Рассмотрим несколько примеров.Пример 5.1.

Рассмотрим на плоскости E 2 множество F = S1 (0) –круг радиуса 1 с центром в начале координат – и найдём его опорнуюфункцию:)c(F, ψ) = sup (f, ψ) = max (f, ψ) = ψ = ψ12 + ψ22 .f 1f 1Пример 5.2. Рассмотрим на плоскости E 2 множество&%F = x ∈ E 2 : x21 + x22 < 1– открытый круг радиуса 1 с центром в начале координат – и найдёмего опорную функцию:)c(F, ψ) = sup (f, ψ) = ψ = ψ12 + ψ22 .f <152Пример 5.3. Рассмотрим на плоскости E 2 множество%&F = S ≡ x ∈ E 2 : x21 + x22 = 1– окружность радиуса 1 с центром в начале координат – и найдём еёопорную функцию:)c(F, ψ) = sup (f, ψ) = max (f, ψ) = ψ = ψ12 + ψ22 .f =1f =1В рассмотренных выше трёх примерах различные множества имеют одну и ту же опорную функцию.

Множества из примеров 5.1, 5.2(замкнутый, открытый круги) связаны между собой: первое множество является замыканием второго. Имеется связь и между множествами из примеров 5.1 и 5.3: единичный круг S1 (0) является наименьшей выпуклой оболочкой окружности S.Пример 5.4.

Найдём опорную функцию множества&%F = x ∈ E 2 : |x1 | 1, |x2 | 1(квадрата, см. рисунок 5.2). Имеемc(F, ψ) = max (f, ψ) =f ∈Fmax|f1 |1, |f2 |11(f1 ψ1 + f2 ψ2 ) = |ψ1 | + |ψ2 | .x2F−101 x1−1Рисунок 5.2Упражнение 5.1. Выяснить, является ли опорная функция множеств из примеров 5.1–5.4 дифференцируемой функцией аргументаψ = (ψ1 , ψ2 ).53Обсудим геометрический смысл опорной функции. Пусть F – компакт, c(F, ψ) – его опорная функция, а вектор ψ ∈ S, т.е.

ψ = 1,c(F, ψ) = max(f, ψ) = (f0 , ψ), f0 ∈ F (см. рисунок 5.3).f ∈FFf0Ff0Γψψ(f0 , ψ) > 0Ff0Γψf0 ψ(f0 , ψ) = 0f0fΓψ0 ψ(f0 , ψ) < 0Рисунок 5.3Опорная функция c(F, ψ) = (f0 , ψ) равна наибольшей величинепроекций векторов f ∈ F на единичный вектор ψ. Знак (f0 , ψ) характеризует взаимное расположение множества F и точки 0 относительноопорной гиперплоскости Γψ : если (f0 , ψ) > 0, то компакт F и началокоординат 0 расположены по одну сторону от опорной гиперплоскости Γψ , рисунок 5.3 а); если (f0 , ψ) = 0, то 0 ∈ Γψ , рисунок 5.3 б);если (f0 , ψ) < 0, то компакт F и начало координат 0 расположены поразные стороны от опорной гиперплоскости Γψ , рисунок 5.3 в). Приψ ∈ S опорная функция c(F, ψ) равна расстоянию от начала координат до опорной гиперплоскости Γψ , причём расстоянию приписываетсяопределённый знак.2.5.3 Cвойства опорных функцийЗдесь будут рассмотрены 10 простейших свойств опорной функции.Свойство1◦ (опорная функция замыкания множества):а) пусть F ∈ Ω(E n ), тогдаc(F, ψ) = max (f, ψ);f ∈Fб) пусть F – ограниченное множество, лежащее в пространстве E n ,а F – замыкание множества F , тогдаc(F, ψ) = c(F , ψ).542 В силу непрерывности скалярного произведения (f, ψ) (по аргументу f ) для компактного множества F максимум скалярного произведения (f, ψ) достигается в некоторой точке f0 ∈ F (теоремаВейерштрасса), поэтому вместо точной верхней грани (sup) в формуле (1) можно записать знак максимума (max), что доказывает утверждение а).

Утверждение б) вытекает из определений опорной функции, замыкания множества и непрерывности скалярного произведения (f, ψ).Свойство 1◦ можно проиллюстрировать примерами 5.1, 5.2.Свойство 2◦ (положительная однородность опорной функциипо второму аргументу):c(F, λψ) = λc(F, ψ)∀λ 0, ψ ∈ E n .2 Имеем:c(F, λψ) = sup (f, λψ) = sup λ (f, ψ) =f ∈Ff ∈F= λ sup (f, ψ) = λ c(F, ψ).f ∈F*Для множества F = S1 (0) из примера 5.1 c(F, ψ) = ψ12 + ψ22 .Пусть λ 0, ψ = (ψ1 , ψ2 ), тогда λψ = (λψ1 , λψ2 ) и)*c(F, λψ) = (λψ1 )2 + (λψ2 )2 = λ ψ12 + ψ22 = λc(F, ψ) .Проверить выполнение свойства 2◦ для множества из примера 5.4.Упражнение 5.2.

Являются ли функции)f (ψ1 , ψ2 ) = ψ12 + ψ22 , g(ψ1 , ψ2 ) = 1 + ψ12 + ψ22опорными функциями некоторого компакта F ∈ Ω(E 2 )?Свойство 3◦ (полуаддитивность по второму аргументу):c(F, ψ1 + ψ2 ) c(F, ψ1 ) + c(F, ψ2 ) ∀ψ1 , ψ2 ∈ E n .2 Пусть F – замыкание ограниченного множества F . Тогда множество F ∈ Ω(E n ). Привлекая свойство 1◦ , получаем:c(F, ψ1 + ψ2 ) = c(F , ψ1 + ψ2 ) = max(f, ψ1 + ψ2 ) = (f0 , ψ1 + ψ2 ) =f ∈F= {f0 ∈ F } = (f0 , ψ1 ) + (f0 , ψ2 ) max(f, ψ1 ) + max(f, ψ2 ) =f ∈Ff ∈F= c(F , ψ1 ) + c(F , ψ2 ) = c(F, ψ1 ) + c(F, ψ2 ) .55Упражнение 5.3. Доказать выпуклость опорной функции c(F, ψ)по второму аргументу (использовать определение выпуклости функции и свойства 2◦ , 3◦ опорных функций).

Проверить выполнение этогоутверждения в примере 5.1.Свойство 4◦ (условие Липшица по второму аргументу):|c(F, ψ1 ) − c(F, ψ2 )| |F | · ψ1 − ψ2 ∀ψ1 , ψ2 ∈ E n ;здесь |F | = sup f – модуль множества F ; множитель |F | играетf ∈Fроль константы Липшица.2 Используя свойство 3◦ , получаем:c(F, ψ1 ) = c(F, (ψ1 − ψ2 ) + ψ2 ) c(F, ψ1 − ψ2 ) + c(F, ψ2 ) .Отсюда, привлекая неравенство (2), находим:c(F, ψ1 ) − c(F, ψ2 ) |F | · ψ1 − ψ2 .Поменяв роли векторов ψ1 и ψ2 в предыдущих рассуждениях, приходим к неравенствуc(F, ψ2 ) − c(F, ψ1 ) |F | · ψ1 − ψ2 .Из двух последних неравенств вытекает двойное неравенство−|F | · ψ1 − ψ2 c(F, ψ1 ) − c(F, ψ2 ) |F | · ψ1 − ψ2 ,т.е.|c(F, ψ1 ) − c(F, ψ2 )| |F | · ψ1 − ψ2 .Следствие из свойства 4◦ .