Ю.Н. Киселёв, С.Н. Аввакумов, М.В. Орлов - Оптимальное управление. Линейная теория и приложения, страница 4

0 0ṗ1 (t) + p1 (t) − p0 (t)ṗ0 (t)=,0 00−ṗ1 (t) − p1 (t) + p0 (t) + ṗ0 (t)илиṗ0 (t) = 0,ṗ1 (t) + p1 (t) − p0 (t) = 0,−ṗ1 (t) − p1 (t) + p0 (t) + ṗ0 (t) = 0.Из условий ṗ0 (t) = 0, p0 (0) = 1 следует: p0 (t) ≡ 1. Далее из условийṗ1 (t)+p1 (t)−p0 (t) = 0, p1 (0) = 1, p0 (t) = 1 следует, что p1 (t) = 1−e−t .Таким образом, в примере 2.3etA = p0 (t) E + p1 (t) A = 01 011−t=+ 1−e=00 10 −1241 − e−t.e−tВыбор представления экспоненциала (16), на котором основан последний метод, объясняет приведённая в разделе 1.2.4 теорема 2.3. 0 1Пример 2.4. Найти экспоненциал etA для матрицы A =.1 0Решение:ch t sh ttAe = ch t · E + sh t · A =.sh t ch tПример 2.5. Найти etA , где матрица⎛⎞0 1 0A = ⎝0 0 1⎠ .0 0 0Решение: Ak = 0, k 3,t2etA = E + tA + A2 =2!⎛⎞⎛1 0 00= ⎝0 1 0⎠ + t ⎝00 0 10100⎞⎛002t1⎠ + ⎝0200000⎞ ⎛11 t0⎠ = ⎝0 100 0t22t ⎠.1Пример 2.6.

Найти etA для матрицы⎛⎞0 0 1A = ⎝0 1 0⎠ .1 0 0Решение:A2 = A4 = . . . = A2k=EA3 = A5 = . . . = A2k+1 = Ak = 1, 2, . . . ,и по формуле (7) получаемetA = ch t · E + sh t · A =⎛⎞⎛⎞ ⎛1 0 00 0 1ch t 0= ch t ⎝0 1 0⎠ + sh t ⎝0 1 0⎠ = ⎝ 0 etsh t 00 0 11 0 025⎞⎞sh t0 ⎠.ch tПример 2.7. Найти etA , где (n × n)-матрица⎛⎞010 ···0⎜ 001 ···0⎟⎜⎟⎜A = ⎜· · · · · · · · · · · · · · ·⎟⎟.⎝ 000 ···1⎠000 ···0Решение. Так как An = 0,⎛⎜1⎜⎜⎜0⎜etA = ⎜⎜⎜0⎜⎜⎝00то по формуле (7) получаем:⎞2tn−1t t2 · · ·(n − 1)! ⎟⎟tn−2 ⎟⎟1 t ···(n − 2)! ⎟⎟.⎟..⎟0 1 ···.⎟⎟..⎠.0 ···t0 0 ···1Пример 2.8. Найти экспоненциал etA , где (n × n)-матрица⎞⎛λ10 ··· 0⎜ 0λ1 · · · 0⎟⎟⎜⎜..

⎟⎜0λ ··· .⎟(жорданова клетка).A=⎜ 0⎟⎟⎜..⎝· · · · · · · · ·. 1⎠000 ··· λПример 2.9. ПустьJ = diag(J1 , J2 , . . . , Js )– матрица клеточно-диагональной структуры c блоками⎞⎛λm 10 ···0⎜ 0 λm 1 · · ·0 ⎟⎟⎜⎜.. ⎟⎜0 λm · · ·. ⎟Jm = ⎜ 0⎟ , m = 1, . . . , s,⎟⎜..⎝· · · · · · · · ·.1 ⎠000 · · · λm26размерности (km ×km ) (жорданова клетка); k1 +. . .+ks = n. Показать,что (n × n)-матрица J имеет экcпоненциал клеточно-диагональнойструктуры⎞⎛etJ1⎟⎜⎟⎜etJ2⎟⎜tJe =⎜⎟...⎟⎜.⎠⎝tJse00Пример 2.10. Найти etA , если A = T −1 J T , где T – невырожденная (n × n)-матрица, J – матрица из примера 2.9.

Показать, чтоetA = T −1 etJ T.Предлагается решить примеры 2.8-2.10 самостоятельно.1.2.4Теорема о представлении экспоненциала в виде конечнойсуммыТеорема 2.3. Пусть A – квадратная матрица n-ого порядка, t –скалярная переменная. ТогдаetA =n−1pj (t) Aj ,(19)j=0где pj (t) – скалярные непрерывные (и даже аналитические) функцииаргумента t.2 Доказательство теоремы 2.3 основано на представлении экспоненциала etA в форме ряда (7) и теореме Гамильтона-Кэли, состоящейв том, что матрица аннулирует свой характеристический многочлен.Запишем формулу (7) в видеetA = E + tA +t2 2A + ...+2!tn−1tntn+1+An−1 + An +An+1 + .

. .(n − 1)!n!(n + 1)!27(20)Пусть⎛a11 − λ⎜a21HA (λ) ≡ det(A − λE) = det ⎜⎝· · ·an1a12a22 − λ···an2············⎞a1n⎟a2n⎟=⎠···ann − λ= (−1)n (λn − hn−1 λn−1 − . . . − h1 λ − h0 )(21)– характеристический многочлен матрицы A. Утверждение теоремыГамильтона-Кэли можно записать в форме= O,(22)HA (λ)⎛0 ···где O = ⎝· · · · · ·0 ···Из (21), (22) следует,λ=A⎞0· · ·⎠ – нулевая матрица размерности (n × n).0что(n)(n)(n)An = q0 E + q1 A + . . . + qn−1 An−1 ,(23)(n)где qj = hj , j = 0, 1, . .

. , n−1, – коэффициенты характеристическогомногочлена (21). Формула (23) показывает, что n-ая степень An матрицы A линейно выражается через меньшие степени A0 = E, A1 , A2 ,(n). . . , An−1 матрицы A, причём коэффициенты qj в (23) определяютсяматрицей A.Покажем, что любая степень Ak , k > n, матрицы A также линейно выражается через A0 , A1 , A2 , . . . , An−1 с некоторыми коэффициентами, зависящими от номера k (и от матрицы A).

Действительно,умножив равенство (23) на матрицу A, получаем:(n)(n)(n)An+1 = q0 A + q1 A2 + · · · + qn−2 An−1 +(n)(n)(n)(n)+qn−1 [ q0 E + q1 A + . . . + qn−1 An−1 =(n+1)= q0(n+1)E + q1(n+1)A + . . . + qn−1 An−1 ,28(24)где(n+1)q0(n+1)q1(n+1)q2=(n)(n)(n)(n)(n)(n)qn−1 q0 ,(n)= q0(n)= q1+ qn−1 q1 ,+ qn−1 q2 ,.........................(n+1)(n)(n)(n)qn−1 = qn−2 + qn−1 qn−1.Аналогично получаем:(n+2)An+2 = q0n+sA=(n+2)E + q1(n+s)q0E+(n+2)A + . . . + qn−1 An−1 ,(n+s)q1A+ ...

+(n+s)qn−1 An−1 ,(25)(26)и так далее. Подстановка соотношений (24) – (26) в ряд (20) приводит(после перегруппировки членов) к представлению (19) экспоненциала etA .Упражнение 2.1. Выписать ряды для коэффициентовp0 (t), p1 (t), . . . , pn−1 (t)в формуле (19) и доказать сходимость этих рядов при любом t.Замечание 2.3. В формуле (19) фактически могут отсутствоватьнесколько старших степеней матрицы A. Например, для матрицы⎛⎞0 0 1A = ⎝0 1 0⎠1 0 0из примера 2.6, где n = 3, мы получили etA = ch(t) · E + sh(t) · A, т.е.здесь в представлении экспоненциалаetA = p0 (t)E + p1 (t)A + p2 (t)A2имеемn − 1 = 2,p0 (t) = ch(t),p1 (t) = sh(t),p2 (t) = 0,2член с A фактически отсутствует. В случае A = E имеем:etA = et · E,т.е. здесьp0 (t) = et ,p1 (t) = .

. . = pn−1 (t) = 0.Теорема 2.3 будет использоваться в разделе 3.15 при доказательстве леммы о внутренней точке интеграла.291.2.5Пример применения формулы Коши для нахождения решения линейных системЗадача Кошиÿ = u2 (t),y(0) = a1 ,(27)ẏ(0) = a2 ,где u2 (t) – заданная функция, a1 , a2 – заданные числа, может бытьрешена двумя последовательными интегрированиями:ttÿ(s) ds = a2 +ẏ(t) = ẏ(0) +0ty(t) = y(0) +tẏ(τ ) dτ = a1 +0t= a1 + a2 t +⎛⎝0τ0⎛⎝a2 +0⎞u2 (s) ds,τ⎞u2 (s) ds⎠ dτ =0u2 (s) ds⎠ dτ = a1 + a2 t +0t(t − s) u2 (s) ds.0Полагая x1 = y, x2 = ẏ, запишем задачу (27) в видеẋ1 = x2 , x1 (0) = a1 ,ẋ2 = u2 , x2 (0) = a2 ,илиẋ = Ax + u,гдеx=x1,x2A=00x(0) =1,0 a1,a2u(t) =(28)0.u2 (t)Найдём решение задачи (28), применяя формулу Коши (5).

Имеем:x1 (t)x(t) ==x2 (t) t 1 t−s01 ta1ds =+=a201u2 (s)0 1=0a1 + a2 t+a2t 0(t − s) u2 (s)u2 (s)30ds =⎛⎞t⎜a1 + a2 t + (t − s) u2 (s) ds⎟⎟⎜⎟⎜0⎟,⎜=⎜t⎟⎟⎜⎠⎝a2 + u2 (s) ds0т.е.t(t − s) u2 (s) ds = y(t),x1 (t) = a1 + a2 t +0tx2 (t) = a2 +u2 (s) ds = ẏ(t).0Упражнение 2.2. Найти решение задачи Коши1)2)1.2.6ÿ + y = u2 (t),...y = u3 (t),y(0) = a1 , ẏ(0) = a2 ;y(0) = a1 , ẏ(0) = a2 ,ÿ(0) = a3 .Явная формула для решения задачи Коши в случае одномерного линейного неоднородного дифференциальногоуравнения с переменными коэффициентамиРассмотрим следующую задачу Кошиx(t0 ) = x0 ,ẋ = a(t)x + b(t),(29)где a(t), b(t) – известные непрерывные функции. Решение x(t) задачиКоши (29) определяется формулой⎛⎞tx(t) = eA(t) ⎝x0 + e−A(s) b(s) ds⎠ ,(30)t0ta(s) dsгде функция A(t) имеет вид A(t) = et0.Упражнение 2.3.

Проверить формулу (30).311.3Множество достижимости, множество управляемости. Их представление на основе формулы Коши. Предварительные соображения о решениилинейной задачи быстродействияРассмотрим линейную задачу быстродействияẋ = Ax + u;x(t0 ) ∈ M0 ,x(t1 ) ∈ M1 ;t1 − t0 → minс классом допустимых управлений У = УU . При изучении этой задачиважную роль играют два множества – множество достижимости имножество управляемости.1.3.1 Множество достижимости X(t) = X(t0 , t, M0 )Введём множество X(t0 , τ, M0 ), определяемое множеством M0 , начальным моментом времени t0 , числом τ > t0 (это множество зависиттакже от матрицы A и от класса допустимых управлений У = УU ).Рассмотрим задачу Кошиẋ = Ax + u(t),t0 t τ ;x(t0 ) = x0 ∈ M0(1)и выпишем её решение по формуле Кошиtx(t) = e(t−t0 )A x0 +e(t−s)A u(s) ds.(2)t0Поставим вопрос: куда можно перейти к моменту времени τ по траекториям дифференциального уравнения (1), исходящим в начальныймомент времени t0 из различных точек x0 ∈ M0 , если разрешаетсяиспользовать всевозможные допустимые управления u(·) ∈ У? Множество концов x(τ ) описанных выше траекторий образует некотороемножество в E n , которое называется множеством достижимости иобозначается X(t0 , τ, M0 ) (см.

рисунок 3.1).Таким образом, x = x(τ ), формула (2) при t = τ ;, (3)X(t0 , τ, M0 ) = x ∈ E n x(t0 ) ∈ M0 , u(·) ∈ У32u(t)x0M0x̂0x(τ )ũ(t)x̃(τ )˜ũ(t)û(t)ˆũ(t)˜ )x̃(τˆ˜ũ(t)x̂(τ )ˆ )x̃(τˆ˜ )x̃(τРисунок 3.1или, в более подробной записи,⎧⎫τ⎨⎬(τ −t0 )A(τ −s)Ax=ex+eu(s)ds,0X(t0 , τ, M0 ) = x ∈ E n ,t0⎩⎭ x0 ∈ M0 , u(·) ∈ Уили⎫⎧τ⎬! ⎨X(t0 , τ, M0 ) =e(τ −t0 )A x0 + e(τ −s)A u(s) ds .⎭⎩x ∈M00u(·)∈УЕстественно считать, что X(t0 , t, M0 )(4)(5)t0t=t0= M0 .

Для множества до-стижимости часто удобно использовать краткое обозначение:X(t) ≡ X(t0 , t, M0 ).Множество X(t) с ростом t изменяется. При достаточно малых значениях t − t0 > 0 множество"X(t) M1 = ∅,(см. рисунок 3.2).Если t1 − t0 – оптимальное время перехода из M0 в M1 , то"X(t)M1 = ∅ при t0 t < t1 ,"X(t1 ) M1 = ∅.Подчеркнём, что априори ниоткуда не следует, что множество достижимости X(t), в процессе изменения с течением времени, войдёт вконтакт с множеством M1 .33X(t )X(t1 )X(t )M1M0M0"t0 < t < t < t1M1 = ∅Рисунок 3.21.3.2 Множество управляемости Z(t) = Z(t, t1 , M1 )Введём множество Z(τ, t1 , M1 ), определяемое множеством M1 ,моментом времени t1 , числом τ < t1 (это множество зависит также отматрицы A и от класса допустимых управлений У = УU ).

Рассмотримзадачу Кошиẋ = Ax + u(t),←−−−−−−−τ t t1 ;x(t1 ) = x1 ∈ M1 .(6)Начальное условие в этой задаче задаётся на правом конце отрезка [τ, t1 ]. Выпишем её решение по формуле Коши:(t−t1 )Ax(t) = etx1 +e(t−s)A u(s) ds =t1(t−t1 )A=et1x1 +#$e(t−s)A −u(s) ds. (7)tМножество Z(τ, t1 , M1 ) (множество управляемости) состоит из всехтаких точек z ∈ E n , находясь в которых в момент времени τ , объект вмомент времени t1 попадает на множество M1 при помощи некоторогодопустимого управления:n z = x(τ ), формула (7) при t = τ ;, (8)Z(τ, t1 , M1 ) = z ∈ E x(t1 ) ∈ M1 , u(·) ∈ У34или, в более подробной записи,⎧⎫t1⎨⎬(τ −t1 )A(τ −s)Az=ex+e[−u(s)]ds;1Z(τ, t1 , M1 ) = z ∈ E n ,τ⎩⎭ x1 ∈ M1 , u(·) ∈ У(9)или⎫⎧t1⎬! ⎨(10)e(τ −t1 )A x1 + e(τ −s)A [−u(s)] ds .Z(τ, t1 , M1 ) =⎭⎩x ∈M11u(·)∈УτЕстественно считать, что Z(t, t1 , M1 )= M1 .

Для множества управ-t=t1ляемости удобно использовать краткое обозначение:Z(t) ≡ Z(t, t1 , M1 ).Свойства множеств X(t), Z(t) рассмотрены в разделе 3.8. В случаеt1 − t0 = min между множествами X(t) и Z(t) имеется тесная связь,описанная в разделе 3.11.1.3.3 Представление множеств достижимости и управляемостина основе формулы КошиИмеют место следующие представления:(t−t0 )AX(t0 , t, M0 ) = etM0 +e(t−s)A У ds,(11)# $e(t−s)A −У ds.(12)t0(t−t1 )AZ(t, t1 , M1 ) = et1M1 +tОбсудим структуру правых частей формул (11), (12). Первые слагаемые имеют вид произведения матрицы (экспоненциала) на множество, а вторые слагаемые имеют вид интеграла от класса допустимыхуправлений У.

Для обоснования формул (11), (12) ниже вводятся линейные операции над множеством в пространстве E n , операция интегрирования класса допустимых управлений У.351.3.4 Операции над множествами в пространстве E nОпределение 3.1. Алгебраической суммой двух множеств F1 ,F2 ⊂ E n называется множествоF1 + F2 = {x ∈ E n : x = f1 + f2 ,т.е.!F1 + F 2 =f1 ∈ F1 , f2 ∈ F2 },{f1 + f2 }.f1 ∈F1f2 ∈F2Пример 3.1. ПустьF1 = {x ∈ E 2 : |x1 | 1, x2 = 0},F2 = {x ∈ E 2 : x1 = 0, |x2 | 1}– отрезки. МножествоF = F1 + F 2есть квадрат{x ∈ E 2 : |x1 | 1, |x2 | 1}(см. рисунок 3.3).F2−110x21 x2F11 x1−1−10F1 x1−1Рисунок 3.3Пример 3.2.