Ю.Н. Киселёв, С.Н. Аввакумов, М.В. Орлов - Оптимальное управление. Линейная теория и приложения, страница 16

Решить линейную задачу быстродействия, в которойn = 2, t0 = 0, U = S1 (0),0 1A=, M0 = Sπ (0), M1 = {x ∈ E 2 : x1 = 3π, |x2 | π}.−1 0Множество достижимости X(t) = X(0, t, M0 ) = Sπ+t (0) впервыевремени t = t1 = 2π в точкеприкоснётся к множеству M1 в момент3π1x(t1 ) =, причём ψ(t1 ) =(см. рисунок 13.17).00138Имеют место следующие соотношения:∗ψ(t) = e−tA ψ(0),u(t1 ) = ψ(2π) = ψ(0) = 1,0u(t) = ψ(t); x(0) = π ψ(0);x(t1 ), −ψ(t1 ) = −3π ψ1 (t1 ) + π | − ψ2 (t1 )|, πx(0) =– начальная точка траектории x(t),0 3π– конечная точка траектории x(t),x(t1 ) =0cos ttA,x(t) = (π + t) e ψ(0) = (π + t)− sin tcos tu(t) = ψ(t) =,− sin tздесь 0 t t1 = 2π.x2M1X(2π)−πM0π02π 3πx(2π)ψ(2π)x1Рисунок 13.17Оптимальная траектория в примере 13.6 изображена на рисунке13913.18; πx(0) =,0π0= −3π ,x22−2πx(π) =,0 3π0x= 5π ,2 23πx(2π) =,0 1,ẋ(0) =ππ −3π2=,ẋ−12 −1ẋ(π) =,2π 5π 3πẋ= 2 ,121ẋ(2π) =.−3πx2 ẋ 3π2ẋ(π)M1π−2π−πM0 π2π 3π0x1ẋ(0)−π ẋ π2ẋ(2π)Рисунок 13.18В заключение рассмотрим в примере 13.6 геометрическую интерпретацию сопряжённой переменной ψ(t), множества достижимостиX(t) ≡ X(0, t, M0 ) = Sπ+t (0)140и множества управляемости(t−t1 )AZ(t) ≡ Z(t, t1 , M1 ) = e(t−2π)A=et1M1 +e(t−s)A (−У) ds =ttAM1 + S2π−t (0) = e M1 + S2π−t (0),0 t 2π,см.

раздел 3.11.При t = 0 имеем:Z(0) = M1 + S2π (0),X(0) = Sπ (0) = M0 , "π1X(0) Z(0) = {x(0)} =, ψ(0) =00(см. рисунок 13.19).При t = π2 имеем:πππX= S 3π= e 2 A M1 + S 3π(0),Z(0),2222 π " π π π 00Z= x==X,ψ−3π−122222(см. рисунок 13.20).При t = π имеем:X(π) = S2π (0),Z(π) = eπA M1 + Sπ (0), eπA M1 = −M1 , "−2π−1X(π) Z(π) = {x(π)} =, ψ(π) =00(см.

рисунок 13.21).При t = 3π2 имеем: 3π3π3π(0),ZX= S 5π= e 2 A M1 + S π2 (0),222 3π "3π3π3π00X,ψZ= x==5π122222(см. рисунок 13.22).Наконец, при t = 2π имеем:Z(2π) = M1 ,X(2π) = S3π (0), "3πX(2π) Z(2π) = {x(2π)} =,0(см. рисунок 13.23).141 1ψ(2π) =0Z(0)3π x2M12πX(0)πM0−πψ(0)2π 3ππ0x14π5π−π−2π−3πРисунок 13.19 X π2x2πM1M0−π0ψπ2π2π 3π x1−π−2π Z π2−3π−4πРисунок 13.20142πe 2 A ·M1Z(π)eπA M12π x2X(π)π−4πψ(π) −2π−3πM0−π2π03π x1π−π−2πРисунок 13.21x23π Z 3π2ψ 3π 2eM1 X 3π22ππM0−2π −π3πA2M1x10π−π−2πРисунок 13.221432πM13πx2X(2π)3πM1 = Z(2π)2ππM03π 2π −πψ(2π)π02π 3πx1−π−2π−3πРисунок 13.233.14Достаточные условия оптимальности в формепринципа максимума с усиленными условиямитрансверсальностиВ разделе 3.11 доказана теорема о необходимых условиях оптимальности в форме принципа максимума Понтрягинапара (x(t), u(t))M0 , M1 ∈ conv Ω(E n )=⇒удовлетворяетпара (x(t), u(t))принципу максимумаоптимальнаКак показывают примеры (см.

раздел 3.13, примеры 13.2, 13.4), обратное утверждение неверно (т.е. пара (x(t), u(t)), удовлетворяющая принципу максимума, может оказаться неоптимальной). Поэтомуважную роль играют теоремы о достаточных условиях оптимальности,в которых содержится утверждение о том, что выполнение принципа максимума плюс некоторых дополнительных условий гарантируетоптимальность рассматриваемой пары (x(t), u(t)), t0 t t1 .

Рольупомянутых дополнительных условий заключается в том, что они не144позволяют множеству достижимости X(t) ранее момента времени t1пересекаться с множеством конечных состояний M1 . Теоремы о достаточных условиях оптимальности не предполагают выпуклости компактов M0 , M1 .Теорема 14.1 (достаточных условиях оптимальности в форме принципа максимума с усиленными условиями трансверсальности).Пусть1) M0 , M1 ∈ Ω(E n );2) пара (x(t), u(t)) удовлетворяет принципу максимума Понтрягинана отрезке [t0 , t1 ] с сопряжённой переменной ψ(t);3) с этой же сопряжённой переменной ψ(t) выполняется неравенство(x(t), −ψ(t)) > c(M1 , −ψ(t)) ∀t ∈ [t0 , t1 )(1)(усиленное условие трансверсальности на множестве M1 ).Тогда пара (x(t), u(t)), t0 t t1 , оптимальна по быстродействию.2 Условие (1) равносильно следующему(x(t), ψ(t)) + c(M1 , −ψ(t)) < 0 ∀t ∈ [t0 , t1 ).(2)Так как пара (x(t), u(t)) удовлетворяет принципу максимума, то, привлекая формулу (12) из раздела 3.11, условие (2) можно записать ввидеc(X(t), ψ(t)) + c(M1 , −ψ(t)) < 0 ∀t ∈ [t0 , t1 ).(3)Из условия (3) следует, что"X(t) M1 = ∅ ∀t ∈ [t0 , t1 )(4)(применить первую часть свойства 140 опорных функций, раздел 2.5).Условие (4) показывает, что объект неуправляем из M0 в M1 на любомотрезке [t0 , t],"где t < t1 .

Так как x(t1 ) ∈ M1 , x(t1 ) ∈ X(t1 ), тоx(t1 ) ∈ X(t1 ) M1 , т.е."X(t1 ) M1 = ∅.(5)Соотношения (4), (5) доказывают оптимальность пары (x(t), u(t)),t0 t t 1 .145Утверждение (4) вскрывает роль усиленного условия трансверсальности (1) в сочетании с принципом максимума. Принцип максимумабез дополнительного условия (1) не может гарантировать выполнениегеометрического условия (4) (см. пример 13.4, раздел 3.13).Приведём примеры применения теоремы о достаточных условиях оптимальности с усиленными условиями трансверсальности. Обратимся к примеру 13.3 из раздела 3.13, в котором построена пара (x(t), u(t)), 0 t t1 , удовлетворяющая принципу максимумас сопряжённой переменной ψ(t):cos t− cos tx(t) = (2π − t), u(t) = ψ(t) =,t1 = π.− sin tsin tЛевая часть неравенства (1) в этом примере принимает вид(x(t), −ψ(t)) = (2π − t) cos2 t + sin2 t = 2π − t,а его правая часть –c(M1 , −ψ(t)) = π − ψ(t) ≡ π,и, очевидно,2π − t > π∀t < t1 = π,(см.

рисунок 14.1), т.е. выполнено усиленное условие трансверсальности (1); следовательно, пара (x(t), u(t)), 0 t π, оптимальна(в разделе 3.13 вывод об оптимальности этой пары был сделан наосновании других соображений).Замечание 14.1. Утверждение рассмотренной выше теоремы сохраняется, если заменить условие (1) условием(x(t), ψ(t)) > c(M0 , ψ(t))∀t ∈ (t0 , t1 ](6)(усиленное условие трансверсальности на множестве M0 ). Действительно, условие (6) равносильно следующим:c(M0 , ψ(t)) + (x(t), − ψ(t)) < 0,c(M0 , ψ(t)) + c(Z(t), − ψ(t)) < 0,M0"Z(t) = ∅,∀t ∈ (t0 , t1 ].146y =π+tyy2πy = 2π − t2πππ0π2πРисунок 14.1t0π2πРисунок 14.2t"Последние соотношения вместе с условием M0 Z(t0 ) = ∅ приводятк заключению об оптимальности пары (x(t), u(t)), t0 t t1 .В некоторых примерах удобнее проверять условие (6) вместо условия (1). Обратимся к примеру 13.5 из раздела 3.13, в котором построена пара (x(t), u(t)), 0 t t1 , удовлетворяющая принципу максимумас сопряжённой переменной ψ(t):− cos t− cos tx(t) = (π + t), u(t) = ψ(t) =,t1 = π.sin tsin tПроверим выполнение усиленного условия трансверсальности в форме (6):(x(t), ψ(t)) = π + t,c(M0 , ψ(t)) = π,π + t > π ∀t ∈ (0, π],(см.

рисунок 14.2). Следовательно, построенная в этом примере пара (x(t), u(t)), 0 t π, оптимальна.Аналогичным образом проверяется условие (6) в примере 13.6 израздела 3.13, где t0 = 0, t1 = 2π,cos tcos tx(t) = (π + t),u(t) = ψ(t) =,− sin t− sin tc(M0 , ψ(t)) = π,(x(t), ψ(t)) = π + t,π+t>π∀t ∈ (0, 2π].1473.15Локальная управляемость и её примененияВ разделе 3.10 введено понятие управляемости объекта на заданном отрезке времени [t0 , t1 ] из множества M0 в множество M1 ; управляемость равносильна условию"X(t0 , t1 , M0 ) M1 = ∅.3.15.1 Локальная управляемостьРассмотрим управляемый объектẋ = Ax + u;У = УU ;M1 ∈ Ω(E n );пусть [t, t1 ] – заданный отрезок времени, t < t1 .Определение 15.1.

Объект называется локально управляемым назаданном отрезке времени [t, t1 ] на множестве M1 , если существуеттакое число ε > 0, что для любой точки y ∈ M1 + Sε (0) объект является управляемым на отрезке времени [t, t1 ] из одноточечного множества M0 = {y} на множество M1 . Другими словами, объект локальноуправляем на отрезке времени [t, t1 ] на множестве M1 , если∃ ε > 0: M1 + Sε (0) ⊂ Z(t, t1 , M1 ).Это определение схематически иллюстрирует рисунок 15.1.M1 + Sε (0)yεyM1y, y ∈ M1 + Sε (0)Рисунок 15.1148(1)Из определения локальной управляемости в форме (1) вытекаетследующее необходимое условие локальной управляемости:∃ ε > 0: c(M1 , ψ) + εψ c(Z(t, t1 , M1 ), ψ)∀ψ ∈ E n .(2)Из (2) следует, чтоc(M1 , ψ) < c(Z(t, t1 , M1 ), ψ)∀ψ ∈ S.(3)В случае выпуклости компакта M1 условия (2) и (3) являются не только необходимыми, но и достаточными условиями локальной управляемости (см.

раздел 2.5, свойство 11◦ опорных функций и следствие изэтого свойства).3.15.2 Теорема о достаточных условиях оптимальности в формепринципа максимума Понтрягина с условием локальнойуправляемостиТеорема 15.1. Пусть1) M0 , M1 ∈ Ω(E n );2) пара (x(t), u(t)) удовлетворяет принципу максимума Понтрягинана отрезке [t0 , t1 ];3) объект локально управляем на множестве M1 на любом отрезкевремени [t, t1 ], t0 t < t1 .Тогда пара (x(t), u(t)), t0 t t1 , оптимальна.2 Доказательство этой теоремы сводится к применению теоремыраздела 3.14. По условию 3) данной теоремы (локальная управляемость) для любого t ∈ [t0 , t1 )∃ ε > 0: M1 + Sε (0) ⊂ Z(t) ≡ Z(t, t1 , M1 ).Отсюда на основании первой части свойства 110 и свойства 50 опорных функций из раздела 2.5, следует, чтоc(M1 , ψ) + εψ c(Z(t), ψ)∀ψ ∈ E n .(4)Положим в (4) ψ = −ψ(t), где ψ(t) – та сопряжённая переменная, с которой пара (x(t), u(t)) удовлетворяет принципу максимума (см.

условие 2) данной теоремы); в результате этого последовательно получаемc(M1 , −ψ(t)) + ε − ψ(t) c(Z(t), −ψ(t)),c(M1 , −ψ(t))< c(Z(t), −ψ(t)), t ∈ [t0 , t1 ).149(5)Привлекая лемму об эквивалентной формулировке принципа максимума (раздел 3.11, подраздел 3.11.5), перепишем условие (5) в формеc(M1 , −ψ(t)) < (x(t), −ψ(t)), t ∈ [t0 , t1 ).Последнее условие совпадает с усиленным условием трансверсальности в форме (1), раздел 3.14.

Теперь утверждение данной теоремы обоптимальности пары (x(t), u(t)), t0 t t1 , вытекает из теоремы 14.1о достаточных условиях оптимальности с усиленным условием трансверсальности на множестве M1 .Доказанная теорема часто оказывается более удобной для практического применения при решении конкретных задач по сравнению стеоремой 14.1.3.15.3 Локальная управляемость в начало координатРассмотрим частный случай множества конечных состояний объекта M1 = {0}, состоящего из одной точки – начала координат пространства E n .