В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем, страница 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209Дополнение к лекциям 5–7. Декомпозиция алгоритмовуправления и оценивания по компонентам соответственно вектора управления и вектора наблюдения . . . 209Дополнение к лекции 13.Субоптимальное сглаживание . . . 215Дополнение к лекции 14. Меры оцениваемости . . .

. . . . . 220Дополнение 1 к лекции 24. Регулярный синтез по Болтянскому224Дополнение 2 к лекции 24. О достаточности принципа максимума в общем случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229Дополнение к лекции 28. О смешанных стратегиях реализации динамической игры . . . . . . . . . . .

. . . . . . . 230Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236Основная литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .237Дополнительная литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . 2376ПредисловиеПятидесятые и шестидесятые годы прошлого века — времяполучения основополагающих теоретических результатов в механике управляемых систем, связанных с именами Л.С.Понтрягина,Р.Беллмана (методы оптимального управления), А.Н.Тихонова(асимптотические методы), Р. Калмана (теория управляемости инаблюдаемости). К 1967 году профессор Московского университетаЯ.Н.Ройтенберг создает и начинает чтение на Отделении механикимеханико-математического факультета МГУ обязательного годовогокурса «Механика управляемых систем».В 1987 году этот курс был дополнен проведением семинаров (одинраз в две недели) и, наконец, в 2011 году при увеличении срока обучения на механико-математическом факультете до шести лет, УченыйСовет факультета ввел еженедельное сопровождение курса практическими занятиями.

Лекторами в эти годы, кроме Я.Н. Ройтенберга,были В.В.Александров, Н.А. Парусников и С.С. Лемак. За прошедшее время было опубликовано четыре учебных пособия:a) «Нелинейные колебания и автоматическое регулирование».Я.Н. Ройтенберг (1967г.)б) «Автоматическое управление». Я.Н. Ройтенберг (1971,1974,1992гг. — на русском языке; 1974г. — на французском языке;1978г. на польском языке).в) «Ведение в динамику управляемых систем». В.В.

Александров,С.И. Злочевский, С.С. Лемак, Н.А. Парусников (1993г. — нарусском языке, 2010г. — на английском языке).г) «Оптимальное управление движением». В.В. Александров,В.Г. Болтянский, С.С. Лемак, Н.А. Парусников, В.М. Тихомиров ( 2005г. — на русском языке).В настоящее время выходят в свет «Лекции по механике упраавляемых систем».К сожалению вместить в 28 лекций, составляющих годовой курс,весь теоретический материал не представляется возможным. Поэтомуавторы данного учебного пособия вынуждены были давать на лекцияхтолько самые необходимые теоретические методы анализа и синтезауправляемых динамических систем(УДС), оставляя объяснения процессов их реализации для конструирования конкретных алгоритмовнавигации и управления на практические занятия по курсу, а знакомство с конкретными УДС — при проведении занятий по специальному7практикуму.

Следует отметить, что многие важные разделы, напримертакие, как управление распределенными системами или управляемыебиомеханические системы, не рассматриваются в этом курсе.Все замечания и предложения просьба направлять по электронному адресу vladimiralexandrov366@hotmail.com.8Часть IПЕРВЫЙ СЕМЕСТР. ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗИ СИНТЕЗ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМЛекция 1Основные понятия механикиуправляемых систем. Физическая иматематическая модели системы.Программное управление и управлениепри помощи обратной связиВ предлагаемом курсе излагается математическая теория управления, ограниченная системами некоторого класса, который будет определён ниже.Современная математическая теория управления это огромная область знаний, с одной стороны опирающаяся на ряд математическихдисциплин, таких, например, как линейная алгебра, теория дифференциальных уравнений, теория случайных процессов, функциональныйанализ и т.д.; с другой стороны имеющая свой собственный математический язык, свою собственную систему взглядов, понятий, теореми т.п..

Число прикладных задач, решаемых с помощью этой теории,безбрежно.Такие задачи относятся к различным сферам человеческой деятельности: авиационная и космическая техника, биология, медицина,экономика. По-видимому, теория управления — одна из самых динамичных, бурно развивающихся областей человеческого знания.История развития теории управления увлекательна, поучительнаи требует изложения в виде специальных курсов. Здесь она будет затронута более чем кратко в процессе изложения конкретных разделов.Выделим из огромного моря проблем, связанных с управлением,некоторый класс, который будет сейчас описан и является предметомизучения в курсе «Механика управляемых систем».Первичным понятием для нас будет понятие управляемой динамической системы. Будем различать физическую модель такой системы9и математическую.

Физическая модель включает в себя пять элементов:1. Управляемый объект.Примеры таких объектов: самолет, биосреда, человеческий организм, экономическая система.2. Цель управления.Примеры таких целей: приведение самолета к заданному аэродрому; защита биосреды от вредных воздействий человеческойдеятельности; излечение человека от какой-то болезни и.т.д.3. Измерительные устройства.Прежде чем управлять надо знать состояние объекта.Примеры измерительных устройств: датчики, позволяющиеопределить текущие координаты самолета; измерители, определяющие состояние среды, в частности, степень загрязненности вредными примесями; сенсоры состояния человеческогоорганизма и.т.д.4.

Управляющие (исполнительные) устройства.Примеры: рули крена, курса, тангажа на самолете; препараты,очищающие среду; лекарства.5. Вычислитель.Этот элемент управляемой динамической системы занимаетособое положение. В нем собирается вся информация об объекте, о работе измерительных и исполнительных устройств, реализуются алгоритмы, доставляющие выходную информацию,и алгоритмы, формирующие законы управления.Вычислитель — это именно то устройство, которое в наибольшейстепени служит содержанием работы прикладного математика.Физическая блок-схема управляемой динамической системы имеет вид (рис.1):Хотя физическая модель управляемой системы и дает базовоепредставление о предмете нашего изучения, она мало конструктивнаиз-за её неконкретности.

Конструктивность вносит математическаямодель управляемой системы.Приведем в качестве примера одну из содержательных математических моделей, отражающую достаточно широкий класс прикладных задач управления движением: космический корабль должен прилуниться в заданном районе Луны. Траектория его полета состоит изнескольких участков: участок разгона и торможения, когда работаютдвигатели корабля, участок, когда корабль движется по баллистиче10-ОбъектУправляющиеисполнительныеустройства6?ИзмерительныеустройстваВычислительные устройстваРис.

1.1. Блок-схема управляемой системыской траектории, участки, на которых эта траектория корректируетсяпри помощи специальных устройств.Траектория полета заранее рассчитывается исходя из необходимости попасть в цель и, по возможности, максимально сэкономитьгорючее. Организуется управление кораблем так, чтобы в идеальномслучае без учета возмущений, он двигался по вычисленной траектории. Такое движение будем называть программным, соответствующееуправление — программным управлением.Но из-за всякого рода возмущений и погрешностей в работе двигателя, реальная траектория будет отличаться от программной.

Имеяв своем распоряжении измерительные устройства, определяющие местоположение корабля, и специальные корректирующие двигатели,можно организовать дополнительное управление как функцию рассогласования реального движения корабля с программным. Такоеуправление мы будем называть управлением с обратной связью.Математическая модель, описывающая задачу управления подобного типа, такова: пусть управляемая динамическая система описывается дифференциальным уравнением:ẏ(t) = f (y, w, t) + q(t),где y — вектор состояния системы, w — управление, подлежащее выбору, q — возмущения, в том числе элемент незнания точной моделидинамической системы.

Для простоты здесь оно предполагается аддитивным, что не слишком ограничивает общность постановки, поскольку во многих случаях аддитивности удается добиться за счет линеаризации.Функция f предполагается дифференцируемой по своим аргументам, управление w(t) — кусочно-непрерывной функцией времени (илидаже кусочно-гладкой).

Значения функции w(t) выбираются из неко11торого ограниченного множества U, отражающего ограниченность ресурсов управления.Программное управление, обозначаемое далее через w∗ , выбирается из внутренней области множества U в пространстве управлений(w∗ ∈ int U) и минимизирует некоторый функционал, отражающийряд целей: минимизацию энергии, точность, заданность значений y вконечный момент времени, нежелательность, чтобы y(t) в процесседвижения выходил за рамки некоторой трубки и т.д. Здесь математически этот функционал пока не описывается. Тот факт, что управление w∗ должно выбираться из внутренней области множества U впространстве управлений, отражает необходимость сохранения частирезервов для организации управления с обратной связью.