Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем

В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем, страница 19

PDF-файл В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем, страница 19 Механика управляемых систем (53170): Лекции - 7 семестрВ.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем: Механика управляемых систем - PDF, страница 19 (53170) - СтудИ2019-09-18СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "механика управляемых систем" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 19 страницы из PDF

Для применения теоремы Тихонова должна существовать изолированная точка покоя, причем асимптотически устойчивая. В точке покоя выполнены равенства ϕ = ϕ∗ , ω = 0, mαzα +mδz δ = 0, где некоторый угол ϕ∗ = ϕ∗ (vp, θ).Сконструируем управление в виде δ = δ0 +Δδ, где δ0 — программное управление, а Δδ — корректирующее, в виде обратной связи побыстрым переменным.Допустим, что имеется точная информация от датчиков z1 = ω,z2 = ϕ. Тогда Δδ = k1 (ϕ − ϕ∗ ) + k2 ω, где ϕ∗ — соответствующаяточка покоя.129mαδzВ покое mαz (ϕ∗ − θ) + mz δ0 = 0, откуда δ0 = − mδz (ϕ∗ − θ) —изолированный корень.Как будет показано в лекции 20, подбором k1 , k2 можно, например,добиться асимптотической устойчивости уравнений в отклонениях отточки покоя присоединенной системы ( в быстром компьютерном времени) и оптимальности функционала∞(Δϕ2 + ω 2 + Δδ 2 )dτ → min,Δδτ0где Δϕ = ϕ − ϕ∗ , ω — отклонения от точки покоя.По теореме Тихонова в начальный момент точка (ω0 , ϕ0 ) должнапринадлежать области притяжения точки покоя.

Это условие выполнено, поскольку присоединенная система линейна. (При этом ϕ∗ (θ, v)— пока неизвестный нам программный угол тангажа.)3. Редукция к вырожденной (упрощенной) системе с помощью теоремы ТихоноваВырожденная система описывает поведение медленных переменных и имеет вид⎧ dṽ⎪= −c0x ṽ 2 − sin θ̃,ṽ(t0 ) = v0 ,⎪⎪⎪ dt⎨dθ̃cos θ̃(17.4)= cα, θ̃(t0 ) = θ0 ,⎪y (ϕ̃ − θ̃)ṽ −⎪⎪dtṽ⎪⎩ω̃ = 0.ϕ̃ = ϕ∗ (θ̃, ṽ),Согласно теореме Тихонова выполненоlim θ(t, μ) = θ̃(t)∀t ∈ [t0 , tk ],lim v(t, μ) = ṽ(t)∀t ∈ [t0 , tk ],lim ω(t, μ) = ω̃(t)∀t ∈ (t0 , tk ],lim ϕ(t, μ) = ϕ̃(t)∀t ∈ (t0 , tk ],μ→0μ→0μ→0μ→0следовательно, решения вырожденной системы близки к решениямполной системы уравнений.В простейшем случае программное движение для медленных переменных выберем следующим: θ̃ = θ∗ < 0 и ṽ = v∗ — свободное130планирование с постоянной скоростью и постоянным углом снижения.

Отметим, что программное движение реализуется точно, если вначальный момент выполнено v(t0 ) = v∗ , θ(t0 ) = θ∗ .3.1. Построение управления для вырожденной системы ианализ устойчивости программного движения (в реальном времени). Движение с постоянной скоростью v∗ возможно, если sin θ̃ =−c0x v∗2 , откуда θ∗ = − arcsin c0x v∗2 .Выберем балансировочный угол тангажа из соотношенияcos θ∗ϕ∗ = θ∗ + 2 α .v∗ cyОбозначим α∗ = ϕ∗ − θ∗ .Проверим, что программное движение реализуемо, когда имеютсяначальные возмущения v(t0 ) = v∗ и θ(t0 ) = θ∗ . Для этого должны выполняться условия устойчивости балансировочного решения вырожденной системы.Запишем уравнения в отклонениях от программного движения⎧dΔv⎪⎪= −2c0xv∗ Δv − cos θ∗ Δθ⎨dtcos θ∗sin θ∗dΔθ⎪⎪= cαΔv − cαΔθ⎩y (ϕ∗ − θ∗ )Δv +y v∗ Δθ +dtv∗2v∗откуда⎧⎪⎪ dΔv = −2c0xv∗ Δv − cos θ∗ Δθ⎨dtcos θ∗sin θ∗dΔθ⎪⎪= (cα)Δv + (− cα⎩y α∗ +y v∗ )Δθ2dtv∗v∗Найдем корни характеристического уравнения системы−2c0x v∗ − λ− cos θ∗= 0 ⇐⇒cos θ∗sin θ∗αcαy α∗ + v 2v∗ − cy v∗ − λ∗sin θ∗cos θ∗2)λ + cos θ∗ cαα++∗yv∗v∗2sin θ∗+2c0x v∗ (cα)=0y v∗ −v∗λ2 + (2c0x v∗ + cαy v∗ −sin θ∗Так как cαy v∗ − v∗ > 0 (θ∗ < 0), то для устойчивости системы достаточно, чтобы выполнялись неравенства:sin θ∗2c0x v∗ + cα>0y v∗ −v∗cos θ∗ cαy α∗ > 0131Первое неравенство выполнено, поскольку v∗ > 0, все аэродинамические коэффициенты положительны, а θ∗ < 0.Второе неравенство выполнено, если α∗ > 0, т.е.

угол атаки положителен. Тогда подъемная сила, действующая на ЛА положительна.Поскольку балансировочный угол атаки в нашей задаче положителен,система уравнений в отклонениях от программного движения вырожденной системы устойчива и для вырожденной системы не потребовалось формировать никакого дополнительного управления верхнегоуровня.В действительности процесс планирования происходит на ограниченном интервале времени, поэтому необходимо провести исследование отклонений и оценить точность управления (величину отклонений)на ограниченном интервале времени.Таким образом, планирование возможно без тяги двигателя.

Дляего осуществления необходимо знать θ∗ , зависящий от v∗ , а также текущие угол тангажа ϕ(t) и угловую скорость корпуса ω(t).132Лекция 18Классическая вариация и необходимоеусловие слабого локального минимумаФормула приращения функционала для задачи сфиксированным временем и свободным концомтраекторииРассмотрим частный случай задачи оптимального управления системой(18.1)y = f (y, u),y(t0 ) = y ∗ ,когда время движения фиксировано t ∈ [t0 , tk ] и правый конец траектории свободен M = Rn .Предположим, что оптимальное управление удовлетворяет условиямu0 (t) ∈ int Ω ⊂ Rs(18.2)u0 (·) ∈ KC 1 [t0 , tk ],и функционал J(u) = ϕ0 (y(tk )) достигает минимума.Процесс {y(t), u(t), [t0 , tk ]} называется допустимым, если управление u(·) удовлетворяет условиям (18.2), а траектория y(·) — условиям (18.1).Обозначим {y 0 (t), u0 (t), [t0 , tk ]} — оптимальный процесс.Введем норму в пространстве C 1 следующим образомyC 1 = max{yC , ẏC }где yC = max |y(t)|.t∈[t0 ,tk ]Определение 19.

Процесс {y 0 (t), u0 (t), [t0 , tk ]} доставляет локальный слабый минимум функционалу J(u), если существуетδ > 0 такое, для любого допустимого процесса {y(t), u(t), [t0 , tk ]}удовлетворяющего условию y(·) − y 0 (·)C 1 ≤ δ справедливонеравенство J(u) ≥ J(u0 ).Такой процесс будем называть локально оптимальным.Запишем полное приращение управления в виде Δu(t) = εδu(t),где вариация управления представляет любые функции δu(·) ∈133KC 1 [t0 , tk ], а величина ε выбрана достаточно малой, чтобы выполнялось условиеu0 (·) + εδu(·) ∈ U = {u(·) ∈ KC 1 [t0 , tk ] u(t) ∈ Ω ⊂ Rs ∀t ∈ [t0 , tk ]}.Соответствующее приращение функционала определяется какΔJ(u0 ) = J(u0 + Δu) − J(u0 ) ==∂ϕ0 (y 0 (tk ))Δy(tk ) + ō1 (|Δy(tk )|).∂y(18.3)Рассмотрим функцию Понтрягина H = ψ f , где ψ — сопряженные переменные, удовлетворяющие системе∂f (y 0 (t), u0 (t))ψ.ψ̇ = −∂y0Положим ψ(tk ) = − ∂ϕ0 (y∂y(tk ))(Позднее докажем, что в данномслучае в формулировке принципа максимума выполнено условие λ0 >0 и в силу однородности сопряженной системы можно положить λ0 =1).

Тогда, поскольку Δy(t0 ) = 0, из (18.3) следуетΔJ(u0 ) = −ψ (tk )Δy(tk ) + ψ (t0 )Δy(t0 ) + ō1 (|Δy(tk )|) =tk=−d(ψ Δy)dt + ō1 = −dtt0tk(ψ̇ Δy + ψ Δẏ)dt + ō1 .(18.4)t0Преобразуем второе слагаемоеψ Δẏ = ψ f (y 0 +Δy, u0 +Δu)−ψ f (y 0 , u0 ) = H(ψ, y 0 +Δy 0 , u0 +Δu)−H(ψ, y 0 , u0 + Δu) + H(ψ, y 0 , u0 + Δu) − H(ψ, y 0 , u0 ) ==∂H(ψ, y 0 , u0 + Δu)Δy + Δu H(ψ, y 0 , u0 ) + ō2 ,∂yгде Δu H(ψ, y 0 , u0 ) = H(ψ, y 0 , u0 + Δu) − H(ψ, y 0 , u0 ).Подставим полученное выражение в (18.4), учитывая что ψ явно∂ψ f∂Hне зависит от y и поэтому ψ ∂f∂y = ∂y = ∂y . Получимtk ΔJ(u ) = −0∂H 00Δy +(u + Δu)Δy + Δu H(u ) dt−−ψ∂y∂y ∂ft0tk tkō2 (|Δy(t)|)dt + ō1 = −−t0134t0∂Δu H(ψ, y 0 , u0 )Δy+∂ytk+ Δu H(ψ, y , u ) dt − ō2 (|Δy(t)|)dt + ō1 (|Δy(tk )|)00(18.5)t0формулу приращения функционала.Необходимое условие слабого локального минимумаВ дальнейшем нам потребуется теорема о непрерывной зависимости решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений(ОДУ) от параметра.Рассмотрим уравнение в вариациях∂f (y 0 , u0 )∂f (y 0 , u0 )d(δy)=δy +δu,δy(t0 ) = 0.dt∂y∂uТеорема 22.

Если правая часть ОДУ гладкая, то приращениетраектории Δy (с точностью ō(ε)) выражается через вариацию Δy = εδy + ō(ε) (Δu = εδu).Поскольку u0 ∈ int Ω, то можно записать∂HΔu + ō3 (|Δu(t))|).Δu H =∂uАналогично∂2H∂Δu H=Δu + ō4 (|Δu(t))|).∂y∂y∂uПодставив Δy в формулу приращения функционала ( учитывая, чтоΔu(t) = εδu) и отбрасывая члены второго порядка малости по ε в(18.5), получимtk∂H0ΔJ(u ) = −εδudt + ō(ε)∂ut0В функциональном анализе доказывается, что если для функционала J(u) существует производная по направлению для любого направления δu, то существует вариация ЛагранжаJ(u0 + εδu) − J(u0 ).δJ(u0 ) = limε→0εВ нашем случае выполнено ΔJ(u0 ) = εδJ(u0 ) + ō(ε), т.е.

найденавариация Лагранжаtk∂H0δJ(u ) = −δudt.(18.6)∂ut0135Так как по предположению {y 0 (·), u0 (·), [t0 , tk ]} оптимальный процесс, то ΔJ(u0 ) ≥ 0, откуда следуетtk∂Hδudt ≤ 0.∂ut0Но точка u внутренняя, потому вариации δu и −δu будут допустимыми и для выполнения неравенства необходимо, чтобы выполнялосьравенство0∂H(ψ(t), y 0 (t), u0 (t))=0∀t ∈ [t0 , tk ],(18.7)∂uкоторое представляет собой необходимое условие слабого локальногоминимума.Покажем, что этот результат следует из формулировки принципамаксимума Понтрягина (ПМП), приведенной в лекции 16.Напомним формулировку ПМП.

Если {y 0 (·), u0 (·), [t0 , t0k ]} — оптимальный процесс, то ∃ нетривиальная пара {λ0 ≥ 0, ψ(·)} такая,что1.max H(ψ, y 0 , u) = H(ψ, y 0 , u0 ) ∀t ∈ T ⊂ [t0 , t0k ];u(t)∈Ω ∂ϕ0 (y0 (t0 )) k2.ψ(t0k ) + λ0⊥ M в точке y 0 (t0k );∂y003.H(t) = H(ψ(t), y (t), u (t)) ≡ 0 при t ∈ [t0 , tk ].Приведем наш случай к общей формулировке, данной на лекции 16.Для этого перепишем систему (18.1) в виде+ẏ =f (y, u),y(t0 ) = y ∗ ,ẏn+1 = 1,yn+1 (t0 ) = t0 .Пусть ỹ = (y , yn+1 ) — расширенный вектор состояния. Тогдаможно записать ỹ˙ = f˜(ỹ, u).

Функция Понтрягина расширенной системы имеет вид H̃ = ψ̃ f˜ = ψ f + ψn+1 = H + ψn+1 .Сопряженная система выписывается как⎧ ˜⎨ ψ̇ = − ∂f ψ∂f˙∂yψ̃ = −ψ̃ =⇒⎩∂ ỹψ̇n+1 = 0Докажем, что задача невырождена. Допустим противное, т.е. λ0 = 0.Терминальное множество M = {yn+1 − tk = 0}, M ⊂ Rn+1 представляет собой плоскость, параллельную span{e1 , . . . , en }, т.е.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5075
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее