Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем

В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем, страница 19

Описание файла

PDF-файл из архива "В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем", который расположен в категории "лекции и семинары". Всё это находится в предмете "механика управляемых систем" из седьмого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 19 страницы из PDF

Для применения теоремы Тихонова должна существовать изолированная точка покоя, причем асимптотически устойчивая. В точке покоя выполнены равенства ϕ = ϕ∗ , ω = 0, mαzα +mδz δ = 0, где некоторый угол ϕ∗ = ϕ∗ (vp, θ).Сконструируем управление в виде δ = δ0 +Δδ, где δ0 — программное управление, а Δδ — корректирующее, в виде обратной связи побыстрым переменным.Допустим, что имеется точная информация от датчиков z1 = ω,z2 = ϕ. Тогда Δδ = k1 (ϕ − ϕ∗ ) + k2 ω, где ϕ∗ — соответствующаяточка покоя.129mαδzВ покое mαz (ϕ∗ − θ) + mz δ0 = 0, откуда δ0 = − mδz (ϕ∗ − θ) —изолированный корень.Как будет показано в лекции 20, подбором k1 , k2 можно, например,добиться асимптотической устойчивости уравнений в отклонениях отточки покоя присоединенной системы ( в быстром компьютерном времени) и оптимальности функционала∞(Δϕ2 + ω 2 + Δδ 2 )dτ → min,Δδτ0где Δϕ = ϕ − ϕ∗ , ω — отклонения от точки покоя.По теореме Тихонова в начальный момент точка (ω0 , ϕ0 ) должнапринадлежать области притяжения точки покоя.

Это условие выполнено, поскольку присоединенная система линейна. (При этом ϕ∗ (θ, v)— пока неизвестный нам программный угол тангажа.)3. Редукция к вырожденной (упрощенной) системе с помощью теоремы ТихоноваВырожденная система описывает поведение медленных переменных и имеет вид⎧ dṽ⎪= −c0x ṽ 2 − sin θ̃,ṽ(t0 ) = v0 ,⎪⎪⎪ dt⎨dθ̃cos θ̃(17.4)= cα, θ̃(t0 ) = θ0 ,⎪y (ϕ̃ − θ̃)ṽ −⎪⎪dtṽ⎪⎩ω̃ = 0.ϕ̃ = ϕ∗ (θ̃, ṽ),Согласно теореме Тихонова выполненоlim θ(t, μ) = θ̃(t)∀t ∈ [t0 , tk ],lim v(t, μ) = ṽ(t)∀t ∈ [t0 , tk ],lim ω(t, μ) = ω̃(t)∀t ∈ (t0 , tk ],lim ϕ(t, μ) = ϕ̃(t)∀t ∈ (t0 , tk ],μ→0μ→0μ→0μ→0следовательно, решения вырожденной системы близки к решениямполной системы уравнений.В простейшем случае программное движение для медленных переменных выберем следующим: θ̃ = θ∗ < 0 и ṽ = v∗ — свободное130планирование с постоянной скоростью и постоянным углом снижения.

Отметим, что программное движение реализуется точно, если вначальный момент выполнено v(t0 ) = v∗ , θ(t0 ) = θ∗ .3.1. Построение управления для вырожденной системы ианализ устойчивости программного движения (в реальном времени). Движение с постоянной скоростью v∗ возможно, если sin θ̃ =−c0x v∗2 , откуда θ∗ = − arcsin c0x v∗2 .Выберем балансировочный угол тангажа из соотношенияcos θ∗ϕ∗ = θ∗ + 2 α .v∗ cyОбозначим α∗ = ϕ∗ − θ∗ .Проверим, что программное движение реализуемо, когда имеютсяначальные возмущения v(t0 ) = v∗ и θ(t0 ) = θ∗ . Для этого должны выполняться условия устойчивости балансировочного решения вырожденной системы.Запишем уравнения в отклонениях от программного движения⎧dΔv⎪⎪= −2c0xv∗ Δv − cos θ∗ Δθ⎨dtcos θ∗sin θ∗dΔθ⎪⎪= cαΔv − cαΔθ⎩y (ϕ∗ − θ∗ )Δv +y v∗ Δθ +dtv∗2v∗откуда⎧⎪⎪ dΔv = −2c0xv∗ Δv − cos θ∗ Δθ⎨dtcos θ∗sin θ∗dΔθ⎪⎪= (cα)Δv + (− cα⎩y α∗ +y v∗ )Δθ2dtv∗v∗Найдем корни характеристического уравнения системы−2c0x v∗ − λ− cos θ∗= 0 ⇐⇒cos θ∗sin θ∗αcαy α∗ + v 2v∗ − cy v∗ − λ∗sin θ∗cos θ∗2)λ + cos θ∗ cαα++∗yv∗v∗2sin θ∗+2c0x v∗ (cα)=0y v∗ −v∗λ2 + (2c0x v∗ + cαy v∗ −sin θ∗Так как cαy v∗ − v∗ > 0 (θ∗ < 0), то для устойчивости системы достаточно, чтобы выполнялись неравенства:sin θ∗2c0x v∗ + cα>0y v∗ −v∗cos θ∗ cαy α∗ > 0131Первое неравенство выполнено, поскольку v∗ > 0, все аэродинамические коэффициенты положительны, а θ∗ < 0.Второе неравенство выполнено, если α∗ > 0, т.е.

угол атаки положителен. Тогда подъемная сила, действующая на ЛА положительна.Поскольку балансировочный угол атаки в нашей задаче положителен,система уравнений в отклонениях от программного движения вырожденной системы устойчива и для вырожденной системы не потребовалось формировать никакого дополнительного управления верхнегоуровня.В действительности процесс планирования происходит на ограниченном интервале времени, поэтому необходимо провести исследование отклонений и оценить точность управления (величину отклонений)на ограниченном интервале времени.Таким образом, планирование возможно без тяги двигателя.

Дляего осуществления необходимо знать θ∗ , зависящий от v∗ , а также текущие угол тангажа ϕ(t) и угловую скорость корпуса ω(t).132Лекция 18Классическая вариация и необходимоеусловие слабого локального минимумаФормула приращения функционала для задачи сфиксированным временем и свободным концомтраекторииРассмотрим частный случай задачи оптимального управления системой(18.1)y = f (y, u),y(t0 ) = y ∗ ,когда время движения фиксировано t ∈ [t0 , tk ] и правый конец траектории свободен M = Rn .Предположим, что оптимальное управление удовлетворяет условиямu0 (t) ∈ int Ω ⊂ Rs(18.2)u0 (·) ∈ KC 1 [t0 , tk ],и функционал J(u) = ϕ0 (y(tk )) достигает минимума.Процесс {y(t), u(t), [t0 , tk ]} называется допустимым, если управление u(·) удовлетворяет условиям (18.2), а траектория y(·) — условиям (18.1).Обозначим {y 0 (t), u0 (t), [t0 , tk ]} — оптимальный процесс.Введем норму в пространстве C 1 следующим образомyC 1 = max{yC , ẏC }где yC = max |y(t)|.t∈[t0 ,tk ]Определение 19.

Процесс {y 0 (t), u0 (t), [t0 , tk ]} доставляет локальный слабый минимум функционалу J(u), если существуетδ > 0 такое, для любого допустимого процесса {y(t), u(t), [t0 , tk ]}удовлетворяющего условию y(·) − y 0 (·)C 1 ≤ δ справедливонеравенство J(u) ≥ J(u0 ).Такой процесс будем называть локально оптимальным.Запишем полное приращение управления в виде Δu(t) = εδu(t),где вариация управления представляет любые функции δu(·) ∈133KC 1 [t0 , tk ], а величина ε выбрана достаточно малой, чтобы выполнялось условиеu0 (·) + εδu(·) ∈ U = {u(·) ∈ KC 1 [t0 , tk ] u(t) ∈ Ω ⊂ Rs ∀t ∈ [t0 , tk ]}.Соответствующее приращение функционала определяется какΔJ(u0 ) = J(u0 + Δu) − J(u0 ) ==∂ϕ0 (y 0 (tk ))Δy(tk ) + ō1 (|Δy(tk )|).∂y(18.3)Рассмотрим функцию Понтрягина H = ψ f , где ψ — сопряженные переменные, удовлетворяющие системе∂f (y 0 (t), u0 (t))ψ.ψ̇ = −∂y0Положим ψ(tk ) = − ∂ϕ0 (y∂y(tk ))(Позднее докажем, что в данномслучае в формулировке принципа максимума выполнено условие λ0 >0 и в силу однородности сопряженной системы можно положить λ0 =1).

Тогда, поскольку Δy(t0 ) = 0, из (18.3) следуетΔJ(u0 ) = −ψ (tk )Δy(tk ) + ψ (t0 )Δy(t0 ) + ō1 (|Δy(tk )|) =tk=−d(ψ Δy)dt + ō1 = −dtt0tk(ψ̇ Δy + ψ Δẏ)dt + ō1 .(18.4)t0Преобразуем второе слагаемоеψ Δẏ = ψ f (y 0 +Δy, u0 +Δu)−ψ f (y 0 , u0 ) = H(ψ, y 0 +Δy 0 , u0 +Δu)−H(ψ, y 0 , u0 + Δu) + H(ψ, y 0 , u0 + Δu) − H(ψ, y 0 , u0 ) ==∂H(ψ, y 0 , u0 + Δu)Δy + Δu H(ψ, y 0 , u0 ) + ō2 ,∂yгде Δu H(ψ, y 0 , u0 ) = H(ψ, y 0 , u0 + Δu) − H(ψ, y 0 , u0 ).Подставим полученное выражение в (18.4), учитывая что ψ явно∂ψ f∂Hне зависит от y и поэтому ψ ∂f∂y = ∂y = ∂y . Получимtk ΔJ(u ) = −0∂H 00Δy +(u + Δu)Δy + Δu H(u ) dt−−ψ∂y∂y ∂ft0tk tkō2 (|Δy(t)|)dt + ō1 = −−t0134t0∂Δu H(ψ, y 0 , u0 )Δy+∂ytk+ Δu H(ψ, y , u ) dt − ō2 (|Δy(t)|)dt + ō1 (|Δy(tk )|)00(18.5)t0формулу приращения функционала.Необходимое условие слабого локального минимумаВ дальнейшем нам потребуется теорема о непрерывной зависимости решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений(ОДУ) от параметра.Рассмотрим уравнение в вариациях∂f (y 0 , u0 )∂f (y 0 , u0 )d(δy)=δy +δu,δy(t0 ) = 0.dt∂y∂uТеорема 22.

Если правая часть ОДУ гладкая, то приращениетраектории Δy (с точностью ō(ε)) выражается через вариацию Δy = εδy + ō(ε) (Δu = εδu).Поскольку u0 ∈ int Ω, то можно записать∂HΔu + ō3 (|Δu(t))|).Δu H =∂uАналогично∂2H∂Δu H=Δu + ō4 (|Δu(t))|).∂y∂y∂uПодставив Δy в формулу приращения функционала ( учитывая, чтоΔu(t) = εδu) и отбрасывая члены второго порядка малости по ε в(18.5), получимtk∂H0ΔJ(u ) = −εδudt + ō(ε)∂ut0В функциональном анализе доказывается, что если для функционала J(u) существует производная по направлению для любого направления δu, то существует вариация ЛагранжаJ(u0 + εδu) − J(u0 ).δJ(u0 ) = limε→0εВ нашем случае выполнено ΔJ(u0 ) = εδJ(u0 ) + ō(ε), т.е.

найденавариация Лагранжаtk∂H0δJ(u ) = −δudt.(18.6)∂ut0135Так как по предположению {y 0 (·), u0 (·), [t0 , tk ]} оптимальный процесс, то ΔJ(u0 ) ≥ 0, откуда следуетtk∂Hδudt ≤ 0.∂ut0Но точка u внутренняя, потому вариации δu и −δu будут допустимыми и для выполнения неравенства необходимо, чтобы выполнялосьравенство0∂H(ψ(t), y 0 (t), u0 (t))=0∀t ∈ [t0 , tk ],(18.7)∂uкоторое представляет собой необходимое условие слабого локальногоминимума.Покажем, что этот результат следует из формулировки принципамаксимума Понтрягина (ПМП), приведенной в лекции 16.Напомним формулировку ПМП.

Если {y 0 (·), u0 (·), [t0 , t0k ]} — оптимальный процесс, то ∃ нетривиальная пара {λ0 ≥ 0, ψ(·)} такая,что1.max H(ψ, y 0 , u) = H(ψ, y 0 , u0 ) ∀t ∈ T ⊂ [t0 , t0k ];u(t)∈Ω ∂ϕ0 (y0 (t0 )) k2.ψ(t0k ) + λ0⊥ M в точке y 0 (t0k );∂y003.H(t) = H(ψ(t), y (t), u (t)) ≡ 0 при t ∈ [t0 , tk ].Приведем наш случай к общей формулировке, данной на лекции 16.Для этого перепишем систему (18.1) в виде+ẏ =f (y, u),y(t0 ) = y ∗ ,ẏn+1 = 1,yn+1 (t0 ) = t0 .Пусть ỹ = (y , yn+1 ) — расширенный вектор состояния. Тогдаможно записать ỹ˙ = f˜(ỹ, u).

Функция Понтрягина расширенной системы имеет вид H̃ = ψ̃ f˜ = ψ f + ψn+1 = H + ψn+1 .Сопряженная система выписывается как⎧ ˜⎨ ψ̇ = − ∂f ψ∂f˙∂yψ̃ = −ψ̃ =⇒⎩∂ ỹψ̇n+1 = 0Докажем, что задача невырождена. Допустим противное, т.е. λ0 = 0.Терминальное множество M = {yn+1 − tk = 0}, M ⊂ Rn+1 представляет собой плоскость, параллельную span{e1 , . . . , en }, т.е.

Свежие статьи
Популярно сейчас