В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем, страница 18

16.2. Двухуровневое управление УДСторой решает задачу стабилизации программного движения⎧ẋ = Ax + BΔu(x̃, t) + CΔv,Δu = K x̃,⎪⎪⎪⎪⎪⎪x̃˙ = Ax̃ + BΔu + K̃(Δz − H x̃),Δz = Hx + ξ,⎪⎨∂f п п∂f п п∂Ψ п(16.5)A=(y , u ), B =(y , u ), H =(y ),⎪⎪∂y∂u∂y⎪⎪⎪⎪⎪⎩ C = ∂f (y п , v п ), v п ≡ 0.∂vСоответствующая функциональная схема управляемой динамической системы изображена на рис.16.22. Оптимизация программного движения.

Принцип максимума ПонтрягинаДля построения программного управления второго уровня, а внекоторых случаях и для синтеза позиционного управления первого уровня, будем использовать следующий результат, полученный в1956–1958 гг. Л.С.Понтрягиным, В.Г.Болтянским и Р.В. Гамкрелидзе. Пусть дана управляемая системаẏ = f (y, u),y(t0 ) = y ∗ ,u(·) ∈ U,t ∈ [t0 , tk ).(16.6)В конечный момент система должна попасть на некоторое гладкое ибез особых точек многообразие M ⊂ Rn , (y(tk ) ∈ M ), причем этопервый конечный момент, когда достигается многообразие M .Предположим, что:1) cистема управляема относительно M , т.е. многообразие достижимо;2) существует оптимальное управление u0 (·), доставляющее локальный минимум функционалу J(u) = ϕ0 (y(tk )):J(u0 ) = min J(u);u(·)∈U1213) многообразие M гладкое- и без особых точек: M = {ϕi (y(tk ) =i= m. Функции f , ϕi , i = 0, 1, . .

. , m0, i = 1, . . . , m}, rank- ∂ϕ∂yjнепрерывно дифференцируемы по своим аргументам.Если известна тройка {y 0 (·), u0 (·), [t0 , t0k ]}, где u0 — оптимальноеуправление, y 0 — соответствующая этому управлению траектория и[t0 , t0k ] — интервал времени, на котором это соответствие реализуетсяв виде тождества ẏ 0 (t) ≡ f (y 0 (t), u0 (t)), то можно выписать сопряженную систему∂f (y 0 (t), u0 (t))ψ,(16.7)ψ̇ = −∂yк системе уравнений в вариациях∂f (y 0 (t), u0 (t))Δẏ =Δy,∂y(16.8)и функцию Понтрягина H = ψ f .Теорема 20. Если {y 0 (·), u0 (·), [t0 , t0k ]} — оптимальный управляемый процесс, то существует ненулевая пара {λ0 ≥ 0, ψ(·)} такая, что1.

max s H(ψ(t), y 0 (t), u) = H(ψ(t), y 0 (t), u0 (t)),u∈Ω⊂R∀t ∈ T ⊆ [t0 , t0k ], где T — множество точек непрерывности управления u(t).Это условие означает, что максимум достигается наоптимальном управлении (условие максимума);∂ϕ (y 0 (t0 ))2. ψ(t0k ) + λ0 0 ∂y k⊥ M — условие трансверсальности;03. H(t) = H(ψ(t), y (t), u0 (t)) ≡ 0 — условие стационарности гамильтониана (t ∈ [t0 , t0k ]).Теорема дает только необходимые условия экстремума, но тем неменее во многих случаях позволяет произвести отбор управлений, подозрительных на оптимальность.3. Два уровня управления для сингулярно возмущенных системЗадачу формирования управляющих сигналов многоуровневойуправляемой системы будем рассматривать для трех вариантов:1.

Автоматических управляемых систем;2. Биологических управляемых систем;3. Полуавтоматических управляемых систем.122В случае полуавтоматического управления движением возникаетеще одна возможная схема двухуровневого управления. Предположим, что второй уровень управления представлен человеком (пилотом), который, используя в реальном времени собственные данные одвижении объекта, управляет им. Первый уровень (автоматического)управления вступает в действие в экстремальной ситуации либо автоматически, либо по сигналу от верхнего (второго) уровня.Динамическая система (после проведения процедур нормализациии обезразмеривания) состоит из двух подсистем вида:dz= ϕ(z, y, u1 ),z(t0 ) = a, u1 (·) ∈ U1 ,(16.9)μdtdy= f (z, y, u2 ),y(t0 ) = b, u2 (·) ∈ U2 ,(16.10)dtгде 0 < μ ≡ const 1.Система вида (16.9), (16.10), с малым параметром μ при производной, принадлежит к классу сингулярно возмущенных систем.

Векторная переменная называется медленной, а переменная z — быстрой.Выбор управления u1 (·) ∈ U1 позволяет реализовать синтез нижнего (базового) уровня управления и одновременно выполнить условия теоремы А.Н. Тихонова.Примеры:1) Управление торможением автомобиля: управление u2 реализуется водителем, управление u1 — антиблокировочной системой.2) Управление спуском ЛА с помощью руля высоты u1 и тяги двигателя u2 .Управление u1 выбирается в виде линейной комбинации основногоu01 и дополнительного Δu1 управлений.

Основное управление выбирается из условия существования единственного корня уравнения (16.9)при фиксированном значении координат второй подсистемыϕ(z, y, u01 (y)) = 0 ⇒ z 0 = ϕ−1 (y, u01 (y)).(16.11)Дополнительное управление Δu1 строится как отрицательная обратная связь, позволяющая асимптотически по быстрому времени τ = μtстабилизировать положение равновесия z 0 присоединенной системы:dz= ϕ(z, y, u1 (y, Δz)),(16.12)dτЭтот результат опирается на доказанную А.Н. Тихоновым (1952г.)теорему о поведении решений системы дифференциальных уравнений123Персональнаянавигационнаясистема исистемауправления2-й уровеньyu2u1Исполн. мех.

2Исполн. мех. 1Системауправления1-й уровеньДвижущийсяобъектzСенсорыРис. 16.3. Двухуровневое управление сингулярной системойтипа (16.9), (16.10)⎧dz⎪⎪μ= ϕ(z, y, t),z(t0 ) = z ∗ , t ∈ [t0 , tk ],⎪⎪⎨ dtdy= f (z, y, t),y(t0 ) = y ∗ , y ∈ Rm ,⎪⎪dt⎪⎪⎩0 <μ ≡ const 1,n = l + m.z ∈ Rl ,(16.13)При μ = 0 получим вырожденную систему⎧⎨ ϕ(z̃, ỹ, t) = 0⎩ dỹ = f (z̃, ỹ, t),y(t0 ) = y ∗ .dtПри замене времени t = μτ и μ = 0 получим присоединенную(быструю) систему⎧⎨ dz = ϕ(z, y, t),z(t0 ) = z ∗ ,dτ⎩f (z, y, t) = 0.Теорема 21 (А.Н. Тихонов, 1952).

Пусть выполнены пять условийв открытом выпуклом подмножестве (z, y, t) ∈ D ⊂ Rl+m+1 :1. функции ϕ(z, y, t), f (z, y, t) аналитичны в D по всем переменным;2. Для присоединенной подсистемы уравнение ϕ(z, y, t) = 0относительно z имеет изолированные корни (точки покоя) — zj0 = ϕ−1 (y, t) (при фиксированных y, t);1243. все точки покоя zj0 асимптотически устойчивы;4. начальные условия z ∗ принадлежат области притяжения точки покоя zj0 ;5. функция f (ϕ−1 (y, t), y, t) аналитична в D по y, t.Тогда для решений исходной системы выполняются предельные соотношения∀t ∈ [t0 , t̃], t̃ ≤ tk ;lim y(t, μ) = ỹ(t)μ→0lim z(t, μ) = z̃(t)μ→0∀t ∈ (t0 , t̃].Таким образом, система двухуровневого полуавтоматическогоуправления имеет функциональную схему (см.

рис. 16.3) отличную отсхемы, представленной на рис. 16.2.Возможно также и большое количество уровней управления,образующих иерархическую систему управления движением. Например, система управления тестирующим динамическим стендомтренажером имеет три уровня.125Лекция 17Двухуровневое управлениепланированием ЛАБудем считать, что летательный аппарат (ЛА) представляет собойтвердую оболочку, имеющую плоскость симметрии, совпадающую свертикальной плоскостью. Центр масс (ц.м.) ЛА расположен на продольной оси и не меняет своего положения в процессе полета. Привыгорании топлива создается реактивная тяга P , которая направлена вдоль продольной оси ЛА.

Тогда можно отдельно рассматриватьбоковое движение ЛА и движение в вертикальной плоскости. Для полетов в районе аэродрома пренебрегаем вращением и сферичностьюЗемли.Уравнения движения центра масс в вертикальной плоскостиdV × V ]) = F+ [ΩM(dtспроектируем на оси скоростной системы координат M x y z , где про = (V, 0, 0) , а угловой скоекции вектора скорости ц.м.

имеют вид Vрости аппарата Ω = (0, 0, θ̇) . Тогда уравнения движения ЛА в вертикальной плоскости примут следующий вид:M V̇ = P cos α − X(V, α, ) − M g sin θ,M V θ̇ = P sin α + Y (V, α) − M g cos θ,ϕ̇ = Ω,Jz Ω̇ = Mz (V, α, Ω, δ),Ṁ = −U,(17.1)P = νUḢ = V sin θ,где H — высота полета, V — скорость ЛА, M — его масса, Ω — угловая скорость поворота корпуса ЛА, α = ϕ − θ — угол атаки, ϕ —угол тангажа, θ — траекторный угол, Jz — момент инерции корпусаотносительно z, M g — сила тяжести, X, Y — составляющие суммарной аэродинамической силы, Mz — аэродинамический момент, ν —скорость истечения частиц из сопла двигателя, U — секундный расход топлива, δ — отклонение руля высоты.126yyPYxxαθ VXM−M gРис.

17.1. Полет ЛА в вертикальной плоскостиВ рассматриваемом случае управляемый объект имеет два управляющих воздействия — величину тяги P и отклонение руля высотыδ.Аэродинамические силы X и Y вычисляются согласно соотношениямV 2Scy (α),2cy (α) = c0y + cαy α,Y =V 2Scx (α),2cx (α) = c0x + Bc2y (α)X=где S — площадь крыла, — плотность воздуха, cx , cy — безразмерные аэродинамические коэффициенты.Будем рассматривать режим планирования ЛА, при котором справедливы допущения:а) P ≡ 0 — планирование осуществляется без тяги;б) θ < 0 — ЛА все время снижается;в) изменение высоты сравнительно невелико, поэтому , g =const ;г) при вычислении аэродинамических коэффициентов можно пренебречь слагаемыми c0y и Bc2y ;д) аэродинамический момент можно представить как Mz =2Mz (V, α, δ) = − V2 Sb(mδz δ + mαz α), где b — расстояние от ц.м.

доцентра давления ЛА, mδz > 0, mαz > 0 — аэродинамические коэффициенты.127Тогда уравнения (17.1) упрощаются⎧M V̇ = −X(V, α) − M g sin θ,⎪⎪⎪⎪⎨ M V θ̇ = Y (V, α) − M g cos θ,⎪ϕ̇ = Ω,α = ϕ − θ,⎪⎪⎪⎩Jz Ω̇ = Mz (V, α, δ)(17.2)Построим двухуровневую систему управления планированием ЛА,разделив его движение на медленные и быстрые составляющие, используя подход, изложенный в лекции 16. Покажем, что в нашем случае управляемая система является системой Тихоновского типа.Рассмотрим последовательные этапы проектирования двухуровневой системы управления по методике Тихонова.1. Нормализация и обезразмеривание уравненийдвиженияПредположим, что рассматриваемый аппарат принадлежит кклассу тяжелых летательных аппаратов, для которых характерноевремя T2 фугоидных колебаний центра масс порядка T2 ≈ 1мин.Пусть характерная скорость планирования V∗ = 300 м/с, характерное ускорение ц.м.

связано с ускорением свободного падения иgT∗ = V∗ , откуда характерное время спуска T∗ ≈ 30 c.Характерное время движения корпуса вокруг центра масс получим, выписав уравнения колебаний ЛА вокруг центра масс в горизонтальном полете с постоянной скоростью (при θ ≡ 0, δ ≡ 0 )Jz ϕ̈ +2mαz V∗ Sbϕ = 0,2⇔ϕ̈ + ω02 ϕ = 02Jzпри mαz ≈ 1. Параметр T1 представляет харакV∗2 Sbтерное время вращательного движения ЛА (1/6 периода собственныхколебаний корпуса вокруг ц.м. и для нашего аппарата T1 ≈ 1сек).Следовательно, выполнены соотношения T1 T∗ ≈ 12 T2 .

Положим малый параметр равным μ = TT∗1 1.Считаем, что при планировании выполняется соотношение M∗ g =V∗202 S, выражающее баланс сил, действующих на ЛА ( при cx = 1)).Введем новые (безразмерные) переменные: V = V∗ v, Ω = Ω∗ ω,M = mM∗ , T = tT∗ , где Ω∗ = T11 .Выберем T12 =128Нормализованная система уравнений примет вид⎧ dv⎪= −c0x v 2 − sin θ⎪⎪⎪dt⎪⎪⎪cos θdθ⎪⎪⎨= cαy αv −dtvdω⎪α⎪⎪= −(mz α + mδz δ)v 2μ⎪⎪ dt⎪⎪⎪⎪⎩ μ dϕ = ωdt(17.3)Начальные условия для системы (17.3) следующие: начальная скорость v(t0 ) = v0 ≈ 1, наклон траектории θ(t0 ) = θ0 (|θ0 | 1), угловая скорость корпуса ω(t0 ) = ω0 (ω0 ≈ 0), наклон корпуса ϕ(t0 ) = ϕ0(0 < ϕ0 1).Отметим, что остался всего одна управляющая переменная — уголотклонения руля высоты δ.2.

Анализ присоединенной системы и синтез алгоритма стабилизацииРассмотрим быстрое (компьютерное) времяtτ = , t ∈ [0, tk ], tk ≤ 1, τ ∈ [0, τk ], τk → +∞, при μ → 0μПрисоединенная система запишется в виде⎧dωδ2⎪⎨= −(mαz α + mz δ)vdτ⎪⎩ dϕ = ω,α=θ−ϕdτПри ее анализе фиксируем параметры θ, v = const ,т.е. приходим клинейной системе.