В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем, страница 12

. . , tk = t0 + kΔt, . . .Соответственно, рассмотрим вопрос о получении дискретной во времени модели системы, эквивалентной ее непрерывной модели.77Определение 18. Дискретное и непрерывное во времени представления называются эквивалентными (в рамках корреляционной теории), если векторы состояния имеют одни и те жематематические ожидания и ковариационные матрицы в дискретные моменты времени.Решая уравнение (10.8) на отрезке времени [tk , tk+1 ], получимtk+1x(tk+1 ) = Φ(tk+1 , tk )x(tk ) +Φ(tk+1 , τ )q(τ )dτ,tkгде Φ(tk+1 , tk ) является переходной матрицей системыΦ̇(t, t0 ) = A(t)Φ(t, t0 ),Φ(t0 , t0 ) = E.Введя обозначенияtk+1xk = x(tk ),Φk = Φ(tk+1 , tk ),qk =Φ(tk+1 , τ )q(τ )dτ,tkполучим дискретную во времени, эквивалентную модельxk+1 = Φk xk + qk ,где последовательность {qk } — последовательность типа дискретногобелого шума:Mqk ql=Q∗k δkl ,Q∗ktk+1Φ(tk+1 , τ )Q(τ )Φ (tk+1 , τ )dτ.=tkЗамечание 13.

При малом Δt обычно полагаютΦ(tk+1 , tk ) ≈ E + ΔtA(tk ),либоΦ(tk+1 , tk ) ≈ E + ΔtA(tk ) +ТогдаΔt2 2A (tk ).2!Q∗k ≈ Q(tk )Δt.Примеры.1. Процесс 1-го порядка.Непрерывная модель.√ẋ + λx = σ 2λ q(t),78M q(t)q T (s) = 1 · δ(t − s).Корреляционная функция Kx (τ ) процесса x(t) имеет видKx (τ ) = σ 2 exp−λ|τ | .Дискретная модель.xk+1 = exp−λΔt xk + σ%1 − exp−2λΔt qk ,M [qk ql ] = 1 · δkl .2. Процесс 2-го порядка.Непрерывная модель.%ẍ + 2αẋ + (λ2 + α2 )x = 2σ α(λ2 + α2 ) q(t),M q(t)q T (s) = 1 · δ(t − s).Корреляционная функция Kx (τ ) процесса x(t) имеет видαKx (τ ) = σ 2 exp−α|τ | cos λτ + sin λ|τ | .λДискретная модель.xk+1xk= Φ·+ qk ,yk+1ykxk = x(tk ),&Φ=yk = √cos λΔt+ αλ sin λΔt√λ2 +α2sin λΔt− λM [qk ql ] = Q∗ δkl ,ẋ(tk ),λ2 + α2√λ2 +α2λsin λΔtcos λΔt + αλ sin λΔt',Q ∗ = σ 2 E − Φ · ΦT .79Лекция 11Алгоритмизация задачи оцениванияПоследующее изложение посвящено задачам стохастически оптимального оценивания некоторой скалярной или векторной случайной величины x с помощью скалярной или векторной информации z.Оценка x̃ реализует критерий, минимизирующий в том или ином смысле ошибку оценки Δx = x − x̃.

При этом критерий отражает вероятностные связи, которые существуют между измерениями z и оцениваемой величиной x.Оценка может быть разовой (локальной) или меняющейся со временем. Соответственно условно можно говорить о статических и динамических задачах оценивания.Существует много различных методов стохастически оптимального оценивания.

Источники, излагающие соответствующую теорию стой или иной степенью детализации, весьма многочисленны. Ниже мыостановимся на задачах, связанных с тем, что называют обычно теорией калмановской фильтрации, и примыкающих к ним.Для суждения о качестве оценки обычно используются две характеристики: несмещенность и состоятельность.Оценка x̃ называется несмещенной, если в среднем по вероятности она равна оцениваемой величине:M [Δx] = 0.Пусть x̃n — оценка, использующая результаты n измерений.Оценка x̃ называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемой величине:P {|x̃n − x| > ε} → 0при n → ∞.В некотором смысле состоятельность является стохастическим аналогом асимптотической устойчивости. Отметим, что практически проще оказывается проверка более сильной сходимости — в среднеквадратичном.Количественной характеристикой результата оценивания служитэффективность.

Оценка эффективна (оптимальна), если она наилучшая из всех возможных оценок с точки зрения некоторого заданногокритерия.80В связи с выбором критерия сделаем одно важное для прикладных задач замечание. При построении алгоритма оценивания должныбыть, прежде всего, четко сформулированы модели всех инструментальных погрешностей измерителей, доставляющих первичную информацию, и модели возмущений, действующих на динамическую систему.

Инженеры обычно называют такие модели техническими условиями. Именно выбранная модель погрешностей определяет критерий, а не наоборот.Далее везде принято, что погрешности и возмущения имеют нормальное распределение и его характеристики известны. Это приводитк квадратичному критерию точности, который может использоватьсяв различных формах: критерий минимума дисперсии ошибки оценки,критерий максимального правдоподобия, критерий ортогональности.Ниже в качестве основной формы выбран критерий ортогональности.

Смысл его в рамках корреляционной теории состоит в следующем. Оценка x̃, использующая некоторое измерение z, должна бытьтакова, чтобы ошибка оценки Δx = x − x̃ была не коррелирована сисходной для оценивания информацией z: ◦ M Δxz = 0.Эвристически это означает, что вся содержащаяся в измерении zинформация о величине x вошла в оценку x̃ и, следовательно, в измерении z не содержится никакой информации о неоцененной частивеличины x — ошибке Δx.Ниже, в полном соответствии с гипотезой о нормальности стохастических процессов, будут рассматриваться только линейные алгоритмы оценивания.1.

Решение переопределенных систем линейныхалгебраических уравненийРассмотрим простейшую задачу решения системы линейных алгебраических уравненийz = Hx,(11.1)где x — n-мерный вектор, подлежащий определению; z — известныйm-мерный вектор (вектор измерения); матрица H имеет размерность(m × n) и предполагается имеющей максимальный ранг (на практикеимеет место чаще всего m n и соответственно система линейныхуравнений (11.1) переопределена).81Очевидный подход к решению задачи (11.1) таков.

Посколькукаждому вектору x ∈ Rn соответствует вектор невязки r ∈ Rm :r = z − Hx,то в качестве решения задачи (11.1) естественно выбрать такой векторx, который доставляет минимум длины (нормы) вектора невязки r.Тем самым приходим к классической постановке метода наименьших квадратов (МНК):x̃ = argmin J(x),J(x) = (z − Hx) (z − Hx) = r r = r2 .(11.2)Минимизации функционала J приводит к уравнению∂J= −2z H + 2x H H = 0,∂xиз которого следуетx = (H H)−1 H z = H + z.Матрица(11.3)H + = (H H)−1 H называется псевдообратной.

Матрица H H не вырождена, поскольку матрица H максимального ранга.2. Критерий максимального правдоподобияПридадим задаче решения системы линейных алгебраическихуравнений (11.1) вероятностный смысл. Будем считать, что имеетсявектор измерения z такой, чтоz = Hx + r,(11.4)где r — случайный вектор погрешностей измерения, распределенныйпо нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и известной ковариацией R:(11.5)M [r] = 0,R = M rr .Замечание 14. Форма представления вектора измерения z(11.4) имеет строгий смысл в отличие от записи (11.1), в которой знак равенства условен.Функция плотности вероятности f (r) вектора r имеет вид 1(11.6)f (r) = C · exp − r R−1 r .282Естественный подход к решению задачи в рамках принятой моделипомехи r таков.

Поскольку имеет место (11.1), то для любого значениявектора x случайный вектор z распределен по нормальному закону сизвестной ковариацией R и неизвестным математическим ожиданиемμz . Соответственно функция распределения f (z, μz ) вектора z имеетвид 1(11.7)f (z, μz ) = C · exp − (z − μz ) R−1 (z − μz ) .2Согласно критерию максимального правдоподобия, в качествеоценки μ̃z неизвестного параметра распределения (11.7) принимается такое значение μz , при котором функция плотности распределения f (z, μz ) для полученного в результате опыта (измерения) значенияслучайного вектора z достигает максимума.Условие max f (z, μz ), очевидно, эквивалентно условию min J, гдеJ = (z − Hx) R−1 (z − Hx) .(11.8)Тем самым, приходим к стандартной форме метода наименьшихквадратов, где обратная ковариационная матрица R−1 играет рольметрического тензора в пространстве помех измерения r.Минимизация функционала J (11.8) приводит к следующему решению:−1 −1H R z.(11.9)x̃ = H R−1 HОчевидно, что при равноточных независимых измерениях (R =σ 2 E) из (11.9) вытекает знакомый результат:−1 H z.x̃ = H HПредлагается показать, что оценка (11.9) удовлетворяет условиямлинейности, несмещенности и ортогональности.Замечание 15.

Пусть помимо измерений z привлекается точнаяинформацияz ∗ = Gx,dimz ∗ = (k × 1),k < n,(обычно k n). (11.10)Существует 3 способа ее использования:1. выразив из (11.10) k составляющих вектора x черезостальные, подставить их в уравнение (11.1) и тем самым уменьшить на k размерность вектора, определяемого по МНК;2. можно воспользоваться известным аппаратом множителей Лагранжа;833. наиболее целесообразный способ: образовать вектор измерений(11.11)w = æz ∗ ,где æ – достаточно большое число.

Добавить уравнение(11.11) к уравнению z = Hx. Оценку x̃ искать как решение совокупной системы размерности (m + k). Этотприем эквивалентен тому, что компонентам вектораz ∗ приписываются малые погрешности со среднеквадраσ.тичными отклонениями æ3. Задача сглаживания экспериментальных данных методом наименьших квадратов при помощи кубических сплайновВ качестве примера задачи, приводящей к решению переопределенной системы линейных алгебраических уравнений, рассмотрим задачу сглаживания экспериментальных данных при помощи кубических сплайнов.Пусть g(t) функция времени, измеряемая в дискретные моментыtk :t0 , t1 , . .

. , tk , tk+1 , . . . , tN , Δt = tk+1 − tk = const .Результат измерения естьzk = g(tk ) + rk ,где rk — погрешность измерения.Общее число измерений zk функции g в моменты времени {tk }равно N + 1. Требуется построить оценку g̃(t) на всем отрезке [t0 , tN ].Отрезок [t0 , tN ] разбивается n узлами Ti :T1 , T2 , . . . , Ti , Ti+1 , . . . , ...Tnтак, что выполненоT 1 = t0 ,T n = tN ,ΔT = Ti+1 − Ti = const .Узлы Ti выбираются так, чтобы им отвечали какие-то измерения.Измерения в узловой точке Ti удобнее относить к предыдущему отрезку [Ti−1 , Ti ].