Э.Б. Винберг - Курс алгебры

Э.Б.ВинбергКУРС АЛГЕБРЫ2-е изд., испр. и доп. — М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2001. — 544 с.Книга представляет собой расширенный вариант курса алгебры, читаемого втечение трех семестров на математических факультетах университетов. В неевключены такие дополнительные разделы, как элементы коммутативной алгебры(в связи с аффинной алгебраической геометрией), теории Галуа, теорииконечномерных ассоциативных алгебр, и теории групп Ли. Это позволяетиспользовать книгу не только как учебник по общему курсу алгебры, но и какпособие для тех, кто желает углубить свои познания в алгебре.

Изложениеиллюстрируется большим количеством примеров и сопровождается задачами,часто содержащими дополнительный материал.Для математиков и физиков — студентов, аспирантов, преподавателей инаучных работников.ОГЛАВЛЕНИЕПредисловиеПредисловие ко второму изданиюГлава 1.

Алгебраические структуры§ 1. Введение§ 2. Абелевы группы§ 3. Кольца и поля§ 4. Подгруппы, подкольца и подполя§ 5. Поле комплексных чисел§ 6. Кольца вычетов§ 7. Векторные пространства§ 8. Алгебры§ 9. Алгебра матрицГлава 2. Начала линейной алгебры§ 1. Системы линейных уравнений§ 2.

Базис и размерность векторного пространства§ 3. Линейные отображения§ 4. Определители§ 5. Некоторые приложения определителейГлава 3. Начала алгебры многочленов§ 1. Построение и основные свойства алгебры многочленов§ 2. Общие свойства корней многочленов§ 3. Основная теорема алгебры комплексных чисел§ 4.

Корни многочленов с вещественными коэффициентами§ 5. Теория делимости в евклидовых кольцах§ 6. Многочлены с рациональными коэффициентами§ 7. Многочлены от нескольких переменных§ 8. Симметрические многочлены§ 9. Кубические уравнения56771014171925313538434352627386909096103107113119122127136§ 10. Поле рациональных дробейГлава 4. Начала теории групп§ 1. Определение и примеры§ 2. Группы в геометрии и физике§ 3. Циклические группы§ 4. Системы порождающих§ 5. Разбиение на смежные классы§ 6. ГомоморфизмыГлава 5. Векторные пространства§ 1.

Взаимное расположение подпространств§ 2. Линейные функции§ 3. Билинейные и квадратичные функции§ 4. Евклидовы пространства§ 5. Эрмитовы пространстваГлава 6. Линейные операторы§ 1. Матрица линейного оператора§ 2. Собственные векторы§ 3. Линейные операторы и билинейные функции в евклидовомпространстве§ 4. Жорданова форма§ 5. Функции от линейного оператораГлава 7.

Аффинные и проективные пространства§ 1. Аффинные пространства§ 2. Выпуклые множества§ 3. Аффинные преобразования и движения§ 4. Квадрики§ 5. Проективные пространстваГлава 8. Тензорная алгебра§ 1. Тензорное произведение векторных пространств§ 2. Тензорная алгебра векторного пространства§ 3. Симметрическая алгебра§ 4. Алгебра ГрассманаГлава 9. Коммутативные кольца§ 1. Абелевы группы§ 2. Идеалы и факторкольца§ 3.

Модули над кольцами главных идеалов§ 2. Нётеровы кольца§ 3. Алгебраические расширения§ 4. Конечно порожденные алгебры и аффинные алгебраическиемногообразия§ 5. Разложение на простые множителиГлава 10. Группы§ 1. Прямые и полупрямые произведения§ 2. Коммутант141147147154159164167175183183187191202210214214220226237244254254263273283297311311319326332342342355364372375388400409409416§ 3. Действия419§ 4. Теоремы Силова426§ 5.

Простые группы428§ 6. Расширения Галуа433§ 7. Основная теорема теории Галуа438Глава 11. Линейные представления и ассоциативные алгебры445§ 1. Инвариантные подпространства445§ 2. Полная приводимость линейных представлений458§ 3. Конечномерные ассоциативные алгебры462§ 4. Линейные представления конечных групп470§ 5. Инварианты482§ 6. Алгебры с делением488Глава 12.

Группы Ли501§ 1 . Определение и простейшие свойства групп Ли502§ 2. Экспоненциальное отображение508§ 3. Касательная алгебра Ли и присоединенное представление512§ 4. Линейные представления групп Ли618Ответы к задачам525Словарь сокращений529Список литературы530Указатель обозначений531Предметный указатель534ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ— линейных операторов 219, 465,Автоморфизм группы 176, 411467— внутренний 412— матриц 40, 41, 187, 359, 513— алгебраической структуры 23— многочленов 90, 91алгебра 35, 36, 358, 491— многочленов на алгебраическом— альтернативная 499, 500многообразии 393— — ассоциативная полупростая— многочленов от нескольких464, 470, 491переменных 122-124, 187, 388,— простая 467, 468396— — внешняя векторного— нильпотентная 462пространства 334— октав 499, 500— градуированная 187— полилинейных функций 325— Грассмана (см. алгебра внешняя)— расщепимся 494334— с делением 488, 490, 492-495— групповая 470, 471, 473, 474— с единицей 358— инвариантов 483, 484, 486— — симметрическая векторного— кватернионов 37, 42, 56пространства 328, 329— — обобщенная 489, 490, 494— суперкоммутативная 334— конечно порожденная 388-391,394— тензорная 325— Кэли (см.

алгебра октав) 499, 500— формальных степенных рядов 92— Ли 513— — функций на множестве, F(X;K)— — простая 51935, 359, 360, 483— центральная 489, 492, 494— K[t]/(h) 464, 466, 468алгоритм Евклида 116альтернирование 334аннулятор модуля 367— подпространства 190антиавтоморфизм 490, 499антикоммутативность 15, 513аргумент комплексного числа 24ассоциативность 12, 13, 149ассоциатор 499Базис 34, 56, 58-60, 196, 222, 230Базис абелевой группы 343, 344— жордановый 243— модуля 367, 368— ортонормированный 204, 213— пространства решений 68— симплектический 202— согласованный сподпространством 183, 184— трансцендентности 388, 389бивектор 333Вектор 32, 34— в аффинном пространстве 254— геометрический 32— корневой 237— собственный 220f-вектор выпуклого многогранника270векторизация аффинногопространства 255векторы ортогональные 194, 212— линейно зависимые 52-54, 57, 58,204, 336— — независимые 52-54, 57, 58, 73,336— ориентированные положительно74, 75вершина выпуклого многогранника271— квадрики 285, 286— параболоида 296вершины выпуклого многогранникасмежные 271высота вектора 240— корневого вектора 237, 238— параллепипеда 208— нильпотентного оператора 240вычет числа по модулю 27— квадратичный 200Геометрия аффинная 156, 157, 276,277— конформная 310— Лобачевского 310— проективная 304— псевдоевклидова 283— гипербола 290, 309гиперболоид двуполостный 290-292,309— — однополостный 290-292, 309гипергрань выпуклогомногогранника 270гиперплоскость в аффинномпространстве 256, 265— — в проективном пространстве299Гиперплоскость опорная 265, 267гиперповерхность второго порядка285гомоморфизм алгебр 359— канонический 359— — групп 175, 176, 178, 181— канонический 182Ли 511, 514— — колец 357— канонический 357— — модулей 366— канонический 366— — над полем 380гомотетия 276градуировка 187грань выпуклого многогранника 270,271группа 8, 149— абелева (коммутативная) 12, 13,149, 176, 342-355, 451, 472— — конечно порожденная 352— — автоморфизмов 412— — внутренних 412— конечного расширения полей 433— аддитивная 12, 149— аффинных преобразованийквадрики 293— вращений куба 182, 422, 423— вычетов по модулю n, Zn 28, 29,162, 163, 174, 413, 415— Галилея 157— Галуа 435— дважды транзитивная 478— — движений аффинногоевклидового пространства 278,279, 414— плоскости 8, 148, 153, 156, 170,421, 422— диагональных матриц 411— диэдра, Dn 153, 182, 473— знакопеременная, Aп 177, 179, 417,418, 429, 430— классов идеалов 407, 408— кольца аддитивная 14— комплексных чисел по модулюравных 1, Т 176, 460— конечная 169, 171, 178, 423, 425,458, 470, 478, 482-484, 486— — порядка р2 426— — порядка pq 428— Ли 501— — линейная 503-505— — редуктивная 521— — связная 507, 510, 519— — — простая 519, 521группа линейных преобразованийконечномерного векторногопространства (см.

группа полнаялинейная)Группа Лоренца 283, 507— мультипликативная 13, 149— — корней n-й степени из 1, Сn 162,164— — поля 17, 150, 355, 501— — — С 161, 168, 174, 178, 181— — — Zp 169— — невырожденных квадратныхматриц (см. группа полнаялинейная)— треугольных матриц, Bn(K) 418,505— — обратимых элементов кольца150— — — — Zn , Zn* 29, 163, 169, 170,355, 413— однопараметрическая,порожденная оператором 251— ортогональная, On 152, 170, 232,233, 460, 488, 504, 507, 510, 513,517, 520, 521— — специальная SOn 232, 432, 507,520— параллельных переносоввекторного пространства, TranV 148, 150, 155, 421— подстановок (см. группасимметрическая)— полная аффинная, GA(V) 156, 179,181, 275, 277, 303, 412, 414— — проективная, PGL(V) 302, 412— полная линейная, GL(V), GLn(K)148, 150, 155, 166, 168, 174, 176,179, 181, 411, 412, 414, 418, 453,462, 501, 503, 505, 507, 508— порожденная подмножеством 165— преобразований 147, 150, 157, 159,170, 419— примерная (p-группа) 351, 426— простая 428, 429— псевдоортогональная 283— Пуанкаре 157, 159, 283— разрешимая 418— свободная 343, 344, 349— симметрии фигуры 153, 281— симметрии куба 171, 172, 282, 448,477— — правильных многогранников172, 282— — тетраэдра 180— — треугольника 180— симметрическая 147, 161, 165, 166,168, 170, 174, 176, 179, 412, 414,418, 421, 449, 472, 482, 483— топологическая 459, 460— — компактная 459-462, 486— транзитивная 155— унимодулярная, SLn (K) 153, 154,168, 176, 182, 417, 418, 504, 506,510, 513, 517, 519-522Группа унитарная 236, 460, 505, 507,521— унитарная специальная 236, 505,507, 517, 521— целых чисел, Z 162-164, 174— циклическая 162-164, 169, 175,351, 354, 415, 476— четверная Клейна, V4 180, 421, 431— PSLn(K) 431, 432— S3 151,180,182,412,413,418,439,472, 473— S4 173,180-182,414,448,459,472,476, 477,— SL2(Z) 154, 166Движение аффинного евклидовогопространства 278, 279— винтовое 281— несобственное 279— собственное 278действие группы на множестве 419,420, 482— смежных классов 423— левыми сдвигами 420— правыми сдвигами 420— сопряжениями 421— транзитивное 421, 423— эффективное 420деление окружности на равные части443— — с остатком 94, 114делимость элементов 113делитель нуля 16, 17— в алгебре Ln(K) 41диагональ матрицы (главная) 33— — побочная 35диаграмма коммутативная 423дивизор простой 406дискриминант 135, 136, 138дистрибутивность 14дифференциал 179, 261, 274, 284дифференцирование алгебрымногочленов 99, 100длина вектора 203— орбиты 171дополнение алгебраическое 83— ортогональное 195, 212дробь (в поле отношений) 141, 142,143— несократимая 142— рациональная 143— правильная 143, 144, 145— простейшая 144Единица группы 13, 149— кольца 15— матричная 41— правая 151Задача интерполяции 93— — с кратными узлами 247— о получении максимальнойприбыли 272— транспортная 273закон инерции 199, 212замыкание поля алгебраическое 380— кольца целое 386знак перестановки 77, 176, 177значение собственное 220, 221Идеал алгебры (двусторонний) 358— — левый 358— — правый 358— главный 361, 401— кольца (двусторонний) 356— — левый 356— — правый 356— многообразия алгебраического 394— нормирования 406— простой 374идеалы эквивалентные 407изоморфизм алгебр 38— аффинных пространств 275— векторных пространств 33, 58— действий 423— евклидовых пространств 209— многообразий алгебраических 395— модулей 366— представлений 446— структур алгебраических 9инвариант действия группы 482, 483инволюция стандартная 490индекс подгруппы 169инерции положительный 199, 212инерции отрицательный 199, 212индукция трансфинитная 61Канонический вид квадратичнойфункции 229— — — — эрмитовой 235карта аффинная 300квадрика 283, 285-291, 293, 295, 297,305— коническая 286, 289, 290, 295— линейчатая 309, 310— нецентральная 289, 290, 295— овальная 309, 310— проективная 306— вещественная 308— комплексная 308— невырожденная 306-308, 310— — центральная 285— — неконическая 289, 290, 293, 295— цилиндрическая 288кватернион 489— сопряженный 490Класс отношения эквивалентности 26— смежный 167, 171— сопряженных элементов 421клетка жорданова 241, 245, 371— нильпотентная 241кольцо 14, 176, 356, 365, 373— ассоциативное 15— без делителей нуля 16— вычетов по модулю 25, 28, 29, 42,358, 361— главных идеалов 361, 362, 374— евклидово 114, 115, 117, 362, 368,401— — коммутативное 14— ассоциативное с единицей 42, 92,133— — многочленов113,114,116,358,402— от нескольких переменных 124,373, 403— нётерово 372-375, 385, 386, 400,406— нормальное (целозамкнутое) 386— факторнальное 401, 402, 406— функций на множестве 15, 17— целостное (область целостности)113, 141, 400, 408— целых чисел 15, 16, 19, 113, 114,116, 141, 357, 386— — — поля 387, 407, 408коммутант 416коммутативность 12, 13кратный 418коммутатор 416— матриц 512комплексификация 222, 236композиция отображений 8— линейных 70компонента изотипная 454— неприводимая 398— однородная многочлена 123— связная 506коника 285, 309константы структурные 491конус 286, 292, 305— грассманов 337— квадратичный 290, 291, 305координаты барицентрические 256,262— вектора 34— неоднородные 300— однородные 300— плюккеровы 338— тензора 321— элемента тензорного произведения314корень многочлена (алгебраическогоуравнения) 96, 97, 107, 136— кратный 97, 101, 136Корень многочлена простой 97— первообразный 163коэффициент линейного уравнения43— линейной функции (формы) 188— многочлена 91, 101— — старший 91кривая второго порядка 285критерий Сильвестра 200Лемма Гаусса 120, 402— Даламбера 105— Нётр о нормализации 390— о возрастании модуля 105— о замене 389— о линейной зависимости 55, 57— о неподвижной точке 458, 461— Цорна 61— Шура 450— линейная комбинация векторов 34,52, 60— барицентрическая 255— выпуклая 263— нетривиальная 52, 53— тривиальная 52— оболочка множества 55, 57— часть преобразования 179Матрица 38, 45— билинейной функции 192— верхняя треугольная 47— Грамма (скалярного умножения)204— диагональная 39, 154, 175— единичная 40— жорданова 243, 245, 371— квадратичной функции 194— квадратная 39, 85, 186— кососимметричная 186— косоэрмитова 211— коэффициентов 43— — расширенная 43— линейного оператора 214-216— — отображения 64, 71— невырожденная 59, 72-74, 81, 88— — целочисленная 89, 154— нижняя треугольная 47— нильтреугольная 238, 359, 463— — обратимая 72— обратная 73, 88— ортогональная 205— перехода 59— полуторалинейной функции 211— симметричная 186— скалярная 41— строго треугольная 47, 49, 154— ступенчатая 45Матрица транспонированная 42, 70,81— трапецеидальная 46— унитарная 213— элементарная 51— эрмитова 211матрицы подобные 243метод аксиоматический 11— вращений 51— Гаусса 44, 49-51— Якоби 199минор 83, 89— главный 221— дополнительный 83— окаймляющий 89— угловой 89, 196многогранник выпуклый 268, 272,282— правильный 282— телесный 268многогранники правильныедвойственные 282многообразие алгебраическое 283— аффинное 393, 395, 396, 398, 399,404, 405— грассманово 337— дифференцируемое 502— линейное 283многоугольник правильный 282многочлен 90-94, 106, 107, 109, 110,112, 119-122— аннулирующий оператора 244— — матрицы 244— деления круга 121— минимальный матрицы 244— — оператора 244-246— — элемента 377— — на алгебраическоммногообразии 393— неполный 137— неприводимый 116, 383, 403, 404,436, 441— — от нескольких переменных 122124, 151— — — однородный 123, 187— — — симметрический 127-129,151— — — — элементарный 127, 129,133— нормированный (приведенный)99, 119— от матрицы (оператора) 244, 246— примитивный 120, 402— сепарабельный 435— характеристический 221, 224, 225,228, 238, 239, 243, 246множество выпуклое 263, 264, 267,269— замкнутое относительно операции17множители инвариантные 350, 354,370модуль 43, 364Модуль конечно порожденный 367,369, 372— левый 364— над кольцом Z 365— — — многочленов 365— периодический 367— правый 365— свободный 367, 368— циклический 367— — примарный 369модуль комплексного числа 23, 103морфизм многообразийалгебраических 395— представлений 446— — — неприводимых 450Наибольший общий делитель 115,401, 402наименьшее общее кратное 118направление особое параболоида 294начало отсчета 148, 255невычет квадратичный 200неизвестные системы линейныхуравнений главные 47— — — — свободные 47неравенство Коши — Буняковского203, 204норма в векторном пространстве 248— в евклидовом кольце 114— кватерниона 490— линейного оператора 248— октавы 499нормализатор подгруппы 425нормальный вид квадратичнойфункции 198, 199, 212нормирование 406Область целостности 113, 141оболочка аффинная 256— выпуклая 264образ гомоморфизма групп 175— линейного отображения 65объем параллепипеда 208, 209— ориентированный 75оператор альтернирования 334— дифференцирования 218, 220, 225,237, 240, 251— кососимметрический 227, 230— косоэрмитовый 235— линейный 214-216, 219-226, 245,371— — обратимый (невырожденный)220, 233— нильпотентный 240— ортогональный 227, 231— представления 435— присоединенный 514— Рейнольдса 484Оператор самосопряженный 227, 235— симметрирования 328— симметрический 227-229— — положительно определенный230, 233— сопряженный 227, 235— тождественный 219— унитарный 235— эрмитовый 235— — положительно определенный235операция коммутативная 10определитель Вандермонда 83, 127,403— матрицы 75, 79-82, 176, 192— оператора 220орбита 421— точки 170, 171основание параллепипеда 208остаток от деления многочленов 94ось движения 280— параболоида 296отображение аффинное 273, 274— линейное 62-64, 66-71— полилинейное (p-линейное) 311,312, 317— — кососимметрическое 332, 333— — симметрическое 326, 327— скользящее 281— факторизации 26— эквивариантное 422— экспоненциальное 508-509отражение 224, 227, 279отрезок 263отношение элементов 13— на множестве 25— (простое) точек 278— двойное 304, 305— сравнимости по модулю 27— — — подгруппы 167, 173, 174, 356— эквивалентности 25— — согласованное с операцией 26— — определяемое действием 421Парабола 290, 291, 299параболоид 296, 307— гиперболический 290-292, 309— эллиптический 290-292, 309параллепипед 208, 268— фундаментальный 345перемена знака 109перенос параллельный 148пересечение подпространств 184перестановка элементов 77— тривиальная 77— четная (нечетная) 77, 78перманент квадратной матрицы 331плоскость бесконечно удаленная 300— в аффинном пространстве 256,259, 260, 267Плоскость в проективномпространстве 299, 301площадь параллелограммаориентированная 74поверхность второго порядка 285поворот зеркальный 231, 281поворот на угол 217, 220, 223подалгебра 38подгруппа 17, 18, 151— дискретная 345, 346— кручения 352— p-кручения 353нормальная 173, 413— — порожденная множествомэлементов 165p-подгруппа силовская 426, 427подгруппы сопряженные 425подкольцо 18— порожденное над кольцом 376подматрица 83подмодуль 365— кручения 370— порожденный множеством 367подполе 19, 32— порожденное элементами 379— G-инвариантных элементов 433подпредставление 447, 451подпространства линейнонезависимые 185подпространство векторногопространства 33, 58, 190, 191— инвариантное 215, 447, 518— корневое 238, 239— невырожденное 195— собственное 223, 225— циклическое 240подстановка 147— нечетная 177— четная 177подъем индексов тензора 322поле 16, 29, 30, 35— — алгебраически замкнутое 103:— алгебраических чисел 380, 387— комплексных чисел 20, 21, 34, 36,37, 41, 56, 103, 116, 358— конечное 29, 382, 383, 436, 439поле круговое (деления круга) 378,384, 387, 437, 439— отношений (дробей) 142, 388— разложения многочлена намножители 380, 436, 437, 439поливектор (p-вектор) 333полупространство ограниченноегиперплоскостью 265— опорное 265поляризация 330— квадратичной функции 194Порядок группы 163, 169порядок элемента 160-163, 169последовательность векторовсходящаяся по норме 248— комплексных чисел сходящаяся103— финитная 60, 91представление линейное 445— — алгебры Ли 515— — — — присоединенное 515, 516— — ассоциативной алгебры 446— — — — регулярное 450, 464— — вполне приводимое 451, 453,457, 458— — группы 420, 446, 475— — — Ли 514, 518, 519— — — — присоединенное 515— — изотипное (S-изотипное) 454— — неприводимое 448,450,451,475— — — тривиальное 469— — множества 445, 454— — мономиальное 449— — одномерное 448представления линейныеизоморфные 446преобразование аффинное 156, 157,179, 275, 303— Лоренца 159— линейное 214— множества 147, 218— ортогональное 152— проективное 302, 303— сохраняющее ориентацию 181преобразования элементарныесистемы линейных уравнений44, 45— — столбцов матрицы 70, 347— — строк матрицы 44, 45, 62, 347приведение к главным осям 229принцип тензорной алгебрыосновной 317присоединение корня многочлена 377программирование линейное 272проективизация 306проектирование ортогональное 217проектор 224— ортогональный 227проекция вектора 186— ортогональная 205, 213произведение внешнееполилинейных функций 336произведение групп полупрямое 415— — прямое 351,411— идеалов 407— матрицы на матрицу 38, 39— — — элемент 38— (композиция) отображений 8— — линейных 70— подгрупп полупрямое 414Произведение подгрупп прямое 409,410— — симметрическое полилинейныхфункций 331— — тензорное векторныхпространств 312-314, 316-318— — матриц 318— — операторов 318— — полилинейных функций 325— — представлений 457, 473производная 100, 251пространство аффинное 254, 275— — евклидово 262— векторное (линейное) 31, 365— — бесконечномерное 55, 60, 61,190, 249— — евклидово 202, 210— — конечномерное 34,36,55,56,58,187, 188, 248, 249— касательное к группе Ли 504, 509,512, 514— Минковского 283— полилинейных функций 311— — кососимметрических функций332— — симметрических функций 326— — отображений 311, 314, 317— представления 445— проективное 299— псевдоевклидово 283— — аффинное 283— сопряженное 188, 189, 226— счетномерное 60, 61— тензоров типа (p, q) 319— топологическое нётерово 398— — неприводимое 398— — связное 506— финитных последовательностей60, 91, 190— функций на группе 473— — — множестве со значениями вполе, F(X,K) 32, 33, 35, 56, 57,188, 218, 420— эрмитово 212, 213процесс ортогонализации Грамма —Шмидта 197, 206прямая в аффинном пространстве 256— в проективном пространстве 299пфаффиан матрицы 340Радикал алгебры 463— — кольца (нильпотентный) 374разделение орбит 482разложение многочлена намножители 106, 107, 113, 117— — полярное 233, 236— — элемента на простыемножители 117, 118,401Размерность векторногопространства 50, 56, 60— многообразия алгебраического 399— представления 445— пространства решений системылинейных уравнений 67разность элементов 12— — симметрическая 16разрешимость в квадратныхрадикалах 441, 442ранг абелевой группы 343— билинейной функции 193, 202— квадратичной функции 194— матрицы 61— модуля 368— оператора 220— произведения матриц 73— системы векторов 61расстояние 207, 262расширение Галуа 435— кольца 375— — алгебраическое 376— — конечно порожденное 376— — конечное 385— — целое 385— поля 136, 246, 315, 379, 467— — алгебраическое 376— — квадратичное 377, 387, 436— — конечное 376, 378, 379, 492— — простое 377расщепимое 492ребро выпуклого многогранника 270редукция по модулю 120резольвента кубическая 134репер аффинного пространства 255рефлексивность 26решение общее системы линейныхуравнений 47решетка в пространстве En 345ряд абсолютно сходящийся 249— — композиционный группы 429Свертка 320сигнатура квадратичной функции 199— билинейной функции 199символ Кронекера 189— Лежандра 355симметричность 26симметрия центральная 276симплекс n-мерный 264симплекс-метод 273система алгебраических уравнений392— векторов 52— — эквивалентная 61— порождающая 165— координат аффинная 255— — прямоугольная 263Система линейно независимая 343— уравнений линейных 43, 44, 50, 67— — — неопределенная 48, 49, 50— — — несовместная 44— — — однородная 49, 50, 67, 68— — — определенная 48, 49, 62— — — совместная 44, 49, 62— — — строго треугольная 47— — — ступенчатая 47— образующих (порождающих)модуля 367— точек общего положения 304системы линейных уравненийэквивалентные 44след матрицы 188смежный класс 167, 171соотношения Плюккера 338составляющая вектора ортогональная205сопряжение комплексное 23спектр алгебры 396спуск индексов тензора 322стабилизатор точки 170, 425старший член многочлена 126степень алгебры 493— внешняя векторного пространства334— многочлена 91— — по переменной 124— — по совокупности переменных123— расширения 376— симметрическая векторногопространства 328— трансцендентности 389— элемента алгебраического 377строка 13— единичная 34— нулевая 13сумма матриц 38— подпространств 183, 185, 186— представлений 453— прямая алгебр 360— прямая групп 351— — колец 360— — модулей 365— — подгрупп 350— — подпространств 185, 323 •— — пространств 324схема Горнера 95Тело 488выпуклое 264-266тензор 319ковариантный 325контравариантный 323кососимметрический 334Тензор метрический 322симметрический 328теорема Безу 95Бернсайда 456Ведцербёрна 496Вильсона 99Гамильтона — Кэли 246, 371Гильберта о базисе идеала 373— о нулях 393об инвариантах 484, 486, 522Декарта 109Жордана— Гёльдера 429Кронекера — Капелли 62Кэли 421Лагранжа 169Менелая 258Минковского — Вейля 269о гомоморфизме алгебр 359групп 177, 182колец 357модулей 366примитивном элементе 377, 492ранге матрицы 89об определителе матрицы с угломнулей 82основная алгебры комплексныхчисел 103теории Галуа 438— отделимости 265— Ферма малая 30, 170— Фробениуса 495— Штейница 271— Чевы 259— Эйлера 170, 232тождество Якоби 15, 37, 513топология Зарисского 397тор, Tn 460точка аффинного пространства 254— внутренняя 264— граничная 264— крайняя 268, 271точки аффинно зависимые 257точки аффинно независимые 257, 277— — бесконечно удаленные 300транзитивность 26транспозиции смежные 166транспозиция 177, 165тривектор 333трисекция угла 443Удвоение куба 443угол между векторами 203умножение в алгебре 36— левое 219— линейных отображений 70— матриц 38-40, 59— скалярное 202, 205, 212Упорядочивание лексикографическое125уравнение линейное 43— — — однородное 43— — разрешимое в радикалах 440Факторалгебра 358факторгруппа 174, 182факторкольцо 356фактормножество 26фактормодуль 366факторпредставление 448, 451факторпространство 366фигуры эквивалентные (равные)относительно группы 154, 156флаг многогранника 282форма алгебраическая комплексногочисла 22— билинейная 192— вещественная группы Ли 520, 521— линейная 188— квадратичная 194— тригонометрическая комплексногочисла 24формула Бернсайда 425—для возведения в степенькомплексного числа 24— — деления комплексных чисел 24— интерполяционная Лагранжа 146,247— Кардано 140— Муавра 24— преобразования координат 59— разложения определителя по i-йстроке (j-му столбцу) 84формулы Виета 98— Крамера 87, 88— Тейлора 101фундаментальная система решений68функция аффинно-квадратичная 284,286, 288— аффинно-линейная 261, 265, 272— билинейная 192, 226— — кососимметрическая 193, 201,202— — невырожденная 193, 195— — отрицательно определенная 198— — положительно определенная198— — симметрическая 193, 196— дифференцируемая 502— квадратичная 194, 199, 200— — положительно определенная198— — отрицательно определенная 198— — невырожденная 194, 195, 200— — эрмитова 211— — — положительно определенная212— — координатная 189Функция линейная 69, 188— от линейного оператора 250— полилинейная (n-линейная)76,311, 325— кососимметрическая 76, 78, 80,332— симметрическая 326— полуторалинейная 210— — косоэрмитова 211— — невырожденная 211— — эрмитова 211— центральная 475— Эйлера 170, 361— δ-функция 56Характер представления 475, 476характеристика поля 29, 30, 161Целая часть дроби 144центр алгебры ассоциативной 470— — Ли 516— аффинно-квадратичной функции284— группы 412— — Ли связной 516— квадрики 285, 287— тела 489— тяжести 255— выпуклого множества 460централизатор элемента 425цикл в симметрической группе 161циклы независимые 161Частное 13— неполное 94числа Ферма 444число комплексное 20— целое алгебраическое 386— — гауссово 114— сочетаний 30— сочетаний с повторениями 123Экспонента 354— от линейного оператора 251элемент алгебраический 375, 378— — целый 385— ведущий 45— матричный представления 474,476— нильпотентный 374, 462, 464— обратный (в группе) 13— обратный (в кольце) 16— обратимый 16, 149— — в Zn 29— — в Ln(K) 41,72— порождающий 162— правый обратный (в группе) 151— представимый в радикалах 440— простой 116— противоположный (в группе) 12— разложимый 315, 317, 327, 333— трансцендентный 375элементы алгебраически зависимые376, 388— ассоциированные 114— взаимно простые 114, 402— модуля линейно независимые 367— сопряженные в группе 421— сравнимые по модулю подгруппы167эллипс 290, 291, 309эллипсоид 290, 292эндоморфизм группы 176— — Фробениуса 383Ядро билинейной функции 193— гомоморфизма групп 175— линейного отображения 65, 67— неэффективности 420, 424.