Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 20

Предположим, что на этом тепзорпомnроизведении мы выпшшяемортогональное измерение, характеризуемоеполным набором взаимно ортогональных проектороn Е.:LEa =1.а(3.38)3.1.Представим,что99ЗА ПРЕДЕЛАМИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙначальнымсостояниемкванrовойсистемыявляется«Некоррелированное» тензорное произведение состояний(3.39)Тогда с вероятностью(3.40)результатом измерения будет а. В 110м случае новая матрица плотности1будет равна,РАБ~Е.(Рл ® Рв)Е.(3.41)trлв [!'"а(Рл ®Рв)]Для наблюдателя, имеющего доступ только к системе А, ее новую матрицуrшолюсти дает частичный след только что записанпой матрицы плотности)или,tr 8 [E.(pл®P 8 )E.](3.42)РА = trлв [Е.(рА ®Рв)J .Выражение (3 .40) д;тя вероятности результата а также может быть записаноп видеProb(a)= trл [ tr 8 (Е.(Рл ® Рв))] = trл (FаРл);если ввести орmrонаньные базисыL{li)A}(E.)jv,;)Pл);;(Pв)~v~JJ.Шв ?iл, а {l.и)н} в=L?i 8(3.43), то(Fа);;(Рл);;(3.44)ijили(3.45)Из уравненик (3.45) следует, что каждый оператор обладаетF.свой­ствами:(1)Эрмитовость:поскольку эрмитовы Еа и Рв·1Такой Б Ид матрица плотности будет И:\!еть после измерения:, результоп I«.Yroporo зафик­сирован н имеет значение а.

Если же результат не был <(Заnисаю~, то nри таком измеренииматрица плотноспt эволюциоRИрует в соответствии с уравнением(3.15).- Прим. ред.ГЛАВА 3\00(2) ПоJiожительность:В базисе, диагонализующем Рв ~ 2..:Р 1 ,[!')в в(м[,1'А ('P[F аi'Ф) А= 2..>р(А (ф[®JJ(мi)Еа(IФ} А (iiJ lм) в) ?>О,рпоскольку положителен Е а.(3) Полнота:rюск<пы<уI:Ea ·_·lлв• аtrp 8=1.аОднако операторычески кыичествоFаFане обязательно взаимно ортогоналыJЬI.

Факти­ограничено только размерностью(и, возможно, гора1до большей) чем размерность1-l А 01-l в,бодшей1-lл-В общем случае нет простою способа выразить конечную матрщушотности Рл через Рл иFa.Не будем, 0,1нако, обращать внимание на то,как ПОЗ:М и..1меняет матрицу плотности, а вместо это/U .зададимся вонро­сом. Допустим, что 1-lл имеет ра1Мерностьщую изnусловиюN,и рассмотрим ПОЗМ, состоя­одномерных неотрицательпых операторовnI:F а = 1 л-F а•удовлетворяющихМожем ли мы выбрать пространство1-lв,матриr()'a=lшютности Рв в 1-lв и прсекционные операторы Еа n 1-lл 0 1-l 8 (тдс коли­чество Е а. может превосходить количество F а) такие, чтобы вероятностьрезультата n ортогонального измерения удовдстворя:ш ус:ювию 1(3 .46)(Неважно, как ортогональная проекцня модифицирует р л'). Мы будем счи­тать это «реализацией» ПОЗМ с Jюмощт~ю ортоrона.1ьноrо и..змерепия, по­скольку нас не интересует, какова РА ;vrя каждого рсзут.тата и.змерения;мы только требуем, чтобы вероятности рс1улr.татов соr.1асовались с опре­деленной таким образом ПОЗМ.Такая реанизация ПОЗМ действитс;IЬно возможна; чтобы показа:rь зто,еще раз обратимся к теореме Наймарка.

Каждый одномерный операторF "'l Ес:ш количе~·тно Еа больше, •Iем F а• то r1очти все п ре:Jуль-лtтов имеют вероятность,равную иулю.3.1. ЗА IIPE;lEJIAMИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ101а= 1,2! ... ,п. может быть представлен в виде Fa-= j.J;a)(Jal· Сотас­но Наймарку существуютровlv.a)nортовармированных п-компонентных векто­таких, что(347)Начнем с того, что рассмотрим частный с.пучай n = r N, где r- -- по­ложите.Тhное целое чис.tо. Тогда удобно разложить 1-Ф~) на прямуто сум­му N -компонснп1ых вектОров(3.48)Здесь 1"31 а) обозначает первые N комiЮнепт вектора 1,/;;t), i,Pz-J обознача­ет следуЮщие IV компонент и так далее.

Тогда ортонормировЗ.нность век­торов lиа) озна<Iает; чтu1'·-1~ (иаlиь) ~ (фа IФь)Ja.b+ :L (t~ а IФ;,ь).(349)J!=lВыберем теперь 'Н в имеющим размерностьrи обо:шачим ортонормиро­ваиный базис в 'Н в:JLТо1да ю уравнения(3.49)= 0: 1, 2,.,., r- 1.(3.50)следует, чтот-1IФа)Ав ~ IФа)АIО)в + :Liv~;,a)Aii<)в,jt-а =1, 2, . , . , n,(3.51)--1ортuнормированный базис в 'Н л @ 'Н в.Предположим теперь, что состоянием в 'Н л Q9 'Н в являетсяРлв ~ Рл ®IО)в в(ОI,ивмы1(1 ?(3.52)выпо;шяем ортоrональное проецирование на базис { IФ а) АВ}'Н н.

Тогда, посщыьку нри 1'О в(ОI~>)в ~О, результат IФа)лвtнояв.тiястся с вероятностью(3.53)и, слетювателr.но,(3.54)Гллвл з102Мы дейс-rnительно успешно «реализовали» ПОЗМ, выполняя орrогона.%­ное измерение в Н. А0Н. 8 . Эта конструкция так же эффективна, как н опи­санная выше конструкция {{прямой суммы»; мы выполнили ортогональноеизмерение в пространстве размерностиn -- т N.Если появился результат а, тоtда с помощью измерения приготовлсносостояние(355)Матрица плотности, видимая натодателю, коrорому доступна тош,ко си­стема А, получается взятием частичного следа по1t n:р';, = trв (IФJлв Ав(Ф.I) =r-1IФа)л A(,P.I + LIJ;~:a)AA(ф~,al,=(3.56)p,=lчто не совсем то же самое, что было получено в нашей конс·tрукции «пря­мой суммы».

Во всяком случае существует множество способов реализо­вать JIOЗM с помощью орrогональных измерений, и уравнение (356) при­менимо rолько к выбранной здесь частной конструкции.Тем не менее в действитеньности эта конс·1рукцил идеально водходитдля реализации ПОЗМ, в коrорой сосrояние11,.) А А (.Ь.Iприготавливаетсяв результате появления исхода а. I)'удным моменrом осуществления ПОЗМявляется обеспечениеroro,что результат а появляется с требуемой вероят­ностыо. Посде этого уже легко прийти к соглашению о тuм, что следствиv.tпоявления результата а является сосrояпие I.Ь.) А А (.Ь.I; если ующю, сразукак только измерение выполнено и резу.ilЬтат а получен, мы можем простоотбросить р А и приступитr, к нригоrовлепию требуемою состояния! Факти­чески, в едучае проекции на ба.зис IФ.) АВ мы можем полностью построитьПОЗМ, проецируя систему В на базис {11') в} и сообщая результат в си­стему А Если результатом является IO) 8 , rогда не нужно предприниматьникаких лействий.

Если же результатом является11') В• 1' >О, тогда былоприго·•омено состояние IФ;,.) А• коrорое затем может быть прсобрюованоВ I.Ьa}kДо сих пор мы обсуждали частный случайтельностиn = r ·N -с, О<с< IV,n=т· N.Если в действн­то на~ нужно mшть выбрать рав­ными нулю последние с компонент вектора I,P;"_ 1,.) А и сосrояния IФ) АВпо-прежнему будут взаимно орrогональными. Чтобы по:Jучить пшшый ба­зис, мы можем добави1ъ с состояний:(3.57)3.1.

Зл ПРЕДЕ.1АМ11 ОРТОГОНАЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ103:~лесъ lе,/л -вектор, у которого отлична от нуля только одна i-ая компо­нента, так что !е,/ А гарантированно ортагонален вектору i"Ь;!-_ 1 al А' В этомслучае ПОЗМ реализуется как ортогональное измерение в ЩюстранстверазмерностиrN = n1 с.В качестве примера конструкции тен.10rшого произведения мы вновьможем рассмотреть олпокубитовую ПОЗМ са-1,2,3.(3.58)Мы можем реализовать эту ПОЗМ, вводя второй кубит В.

В двухкубитовомrильбертовом пространстве мы можем проецироватъ на ортанормирован­ный базис1а=1, 2,3,Если начальным состоянием является РАв ~ РА ®10/в 8(01,(3.59)то мы име-ем(360)следовательно, эта проекция осущесталяет ПОЗМ в 'Н. А' (Здесь мы выпол­нили ортогональные измерения в четырехмерном пространстве; в предыду­щей конструющи ((прямой суммы» мы нуждзлись только в трех измерени­ях).3.1.6.

жхйв с позмОбсуждая теорему ЖХЙВ, мы говорили, что, приготовив состояни еIФ.Iлн- Lу'q;IФмlлi!Змlв.(3.61)м1Здесь фа.-w. l;p2)=.J2731i ;fo.) А оmичается: на-1 от соот.ветс-rnующей фазы в урав(i А r f А >л = -1(2 при а -::1 ь. Мып..n"перед fO) А fl) В был положителеи ВQ всех трехнении (3.36); она выбрана таким образом, чтобы Асделали :лот выбор затем, 'rn:!бы mзффкциснтIФ,), IФ,), IФ,).ГЛАВА 3104мы можем реа..1изопать ансамб..чьр_.I: q~lv,~} _.л (Ф,.I.=(3.62)"'выпо.1няя ортшопа.:Тhные измерения в 'Н 8 .

Более того, есJШ (liШ 1-lн =то, измеряя подходящие наб.!rюiщемые в1i в,n,мы \Южем с ::н им одни~f чи­стым состоянием 1Фа) АВ реализо1~юъ тобое приготовление Рл как ансам­бля, содержащего вплоть до n чистых состояний.Теперь можно видс1ъ, чrо если мы готовы допустить в 1iн ПОЗМы.а не только О(Уrоrональные измерения, то даже приdim 1t в = Nможно рс­а..1изовать mобос приготои:-тение р А с Iюмощr.ю подходящего вЬiбора ПОЗМв Н я. Сутr.

в том, что р в имеет носите.1ь в нроС'lранстнс рюмерности са­\ЮС большее 1V. СIС.'Юнатеm.но, можно переписатьIФа}лв=L y'q;]V,~}лi:'JP)LI,(3.63)"г,1с I.B~} в - ортогональная проекция nектора 1,81.} в на носитель \fЗТ)Ш­пы н.ютности р 13 . Мы можем выполнил, fl()1\ll на носителе Pn с Fa- IS,Jн 8 (;}""1 и таким образом приготовить состояние 14•).4 с вероятно­стьюqJ.l.3.2.Супероператоры3.2.1.Представление операторной суммыПерейдем к следующему этапу нашей программы понимания пове­дения части бинарной системы .