Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 19

Чтобы достичьболее глубокого понимания процесса измерения, нужно объяснить, почемубазис собственных состояний положения пробной частицы имеет особыйстюус среди других возможных базисов.Если мы действитсньно можем, как это только что было онисано, свя­зать любую наб.JЮil.аС:мую с измеримой «перемепной-указателем», тогдамы в состоянии выполнить любую мыс.1имую ортогоналыrую проекциюв rШIЬбертовом пространстве. 1\ля данного набора операюров {Е"} таких,что(3 11)амы можем выполнить процедуру измерения, которое с вероятностыоProb(a) ~ (Ф1Еа11f')(3.12)иреобразует чистое состояние 1ф) (1/1 1 вEai~;)(,PIEa(ФIЕаiФ)(3.13).Результаты такого измерения можно описать матрицей плотности, котораяполучается сум:миронанием всех возможных рс3улыатов{3.13)(а не вы­бором одного частного результата).

взвешенных вероятностями их появле­ния(3.12).В таком случае измерение иреобразует нач;шьное чистое состо­яние в соответствии с(3 14)аЭто ансамбль чистых состояний, описывающих резу.--тьтаты измерения.Он описыпает сосrояние~ в котором известно выполненное в системе из­мерение, но неизвестен его результат. Следоnателыю, юtчалыше чистое со­сrояние превращается в смешанное, .за исключением тех случаев, ко1·;щ оно3.1.93Зл ПРЬJ,ШIАМИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙоказывается собственным состоянием измеряемой наблюдаемой. EcJПI женача.rrьным сосrоянием перед измереiШем было смешанное состояние, опи­сываемое матрицей плотности р, тогда, представляя р как ансамбль чистыхсостояний, мы обнаружим, что в результате измерения(3.15)3.1.2.Обобщешtые измеренияТеперь мы хотели бы обобщить поняше измсрення, выйдя за пределырассмотренных фон Пейманом ортопшальных измерений.

Путь, ведущийк идее обобщенншо измерения, сосrоит в предноложснии, что наша систе­ма А расширена до тспзорноrо нроизвс;~сния 'НА® 1-lв и мы выполняемв нем ортогона:rьныс измерения, которые в самой системе А уже не обяза­тельно ор'rогоналыrы. Сначала мы пойдем несколько другим нутем, кото­рый, хотя и не имеет физической мотивации. высUI!(ИТ более естественнои просто с математической точки зрения.Предподожим, что I'Ильберто.во пространство 1f. л яwiЯется частт~ю бо­лее широкого пространства, имеюшсJQ струкгуру прямой суммы:1i ~Г!. л if>Гi*(3.16)Нашим наблюдателям, «живущим>> в Нл, доступны ЮJIЪко набmодае­мьrс с носителем в1-l А'то есть такие наблюдаемые М А• что для любо-го IФ') Е щМлi<Р1)~о= (Фj_IМл-(3.17)Например, в двухкубитовом мире мы можем представить, что наши наблю­даемые имеют носитеJIИ только в той части пространства, в которой ВТОIЮЙкубит находится в состоянииrдс1i. 110) 2 .

Тогда 1i. А=1i. 1 010) 2 , а Г!.*=1i. 1 011) 2 ,-- гильберюво пространство первою кубита. (Эта СИ1уация можетtюка.1аться несколько искусственной, чm я и подразумева.iт, 1·о.воря о немо­швированности такого раЗJюжения пространства на прямую сумму.) Нея­кий ра3, когда мы выполняем ортогональное измерение в 'Н., приготавли­вая в нем оцпо из множества взаимно ортогональных состояний, наш на­бто.:tатель будет знаТJ) только о комноненте состояния, принад,.11ежащей егопространству1i.

л-Поскольку в 'Н л эти компоненты не обязательно орто­гопальны. он при11ет к выводу, что измерение ГО1овит одно из множестванеортогональных состояний.Пусть {li)} обозначает базис в 'НА, а {11')} - бюис в 'Н.*. Jl,опусшм,'Ji А И ЧТО МЫ ВЫ­Ч1'0 начальная матрица IIJIOTHOCTИ р А И\оfССТ НОСИТС.JЬ ВПО.1НЯСМ ортоrоналыюе измерениеR'Н.Рассмотрим случай, когда каждыйГЛАВА943оnератор Е. является одномерным проектором, что, вообще говоря, доста­точно дJ1Я наших целей. Таким образом, Е. = lи.) (и. 1, где !и.) -- нор­мировшшый вектор в 1i.

Этот вектор имеет единственное орто1-ональноеразложение(3.18)где J"Ь.) иJ,j;;_,L)(пенормированные) векторы из 1iA и 1i* соответствен­но. После измерения новой матрицей плотности будет Jи.)(и.l с вероятно­стью (и.iРАiи.) = (ФаiРАi.Ь.) (поскольку РА fle имеет носителя в 1i*).Но ;о1я нашего наблюдателя, не подозревающего о существовании 1i*,нет физической разницы между Jи.) и J"Ь.) (за исключением нормировки).Если заnисать iФ.) = АIФ.), где IФ.) ··· нормированное состояние, то­гда вдобавок к зтому можно сказать, что др! ограниченнш-о пространстnомнаблюдателя с вероятностью (Ф.IРАIФ.) результатом измерения явля­ется J·Ф.)(Ф.J.1iAОпределим оператор(3.19)(где Елортогональный лроектор, проецирующий 1i на НА). Тогда мыможем сказать, что резу.:rьтат а имеет вероятность tr F аР А.

Очевидно, чтокаждый оператор F а эрмиrов и неотрицателен, но F а не я:в.."'Яется J !роекrо­ром. за искточением случая, коrда Ла-:--; 1.Более того(3.20)сумма всехFаравна единичному оператору в1i А.Ра.1ложение единицы на сумму нсо1рицательных операторов называ­ется поло:!lсительной операторно-значной мерой (ПОЗМ) 1 .

(Термин меранескоJIЬКО неуклюж в нашем конечномерном случае; он более уместен, ко­гда инлекс а может меняться непрерывным образом). В этом обсу-ждениимы прншли к частному случаю ПОЗМ, построенной из одномерных опе­раторов (операторов с одним ошичным от нуля собственным значением).1Строгое опреде.Jение ПОЗМ или, юцс ее чаще называют '8 русской mrrepaтype, разло­жения единицы в гшu.берrовом пространстве наnоминает опреде.1ение вероятностной меры(имеющей, о,'{Нако, не числовые, а операторные Зltаченш). См. в книге: А. С. Холево.

Веро­нтностные и cmamucmwrectшe аспекты квантовой теории, Москва-Ижевск, ИКИПрим. ред.](2003).953.1. ЗА ПРЕДЕЛАМИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙВ обобщенной теории измерений каждый результат имеет вероятность, ко­ТОРУJО можно представить в виде(3.21)Положительность F а и равенствоL Fа=1А необходимы, чтобы обесие-ачить положительность в~ятностей и равенство единице их суммы.Как ПОЗМ общеru яида влияет на квантовое состояние? Простого об­щего ответа на этот чрезвычайно важный вопрос не1; но в случае (толькочто обсуждавшемся) ПОЗМ, построенной из одномерных операторов, ко­гда результат !Фа)(Фаl возникает с )!ероятностью trpлFa, суммированиепо всем исходам даетаа(3.22)а[что обобщает неймановское2:: ЕаРЕа (3.15) на случай, когда Faаются проекторами]. Заметим, чтоtr Рл= tr рА_ =не явля-1, поскольку I: F а= 1ла3.1.3.Однокубитовая ПОЗМВ качестве примера рассмотрим одвн кубит и предположим, что{iia} - Nединичных трехмерных векторов, удовпетворяющих условию(3.23)агде ЛаL--положительные вещественные числа о<ла< 1такие, чтол.=l.

ПустьаF а =л. (1[гце E(na)- проектор1iftо)(tп+ ii. ·а)о=2.\ 0 E(n.)(3.24)!J. Тогда(3.25)следовательно,Fаопреде.1Яют ПОЗ:v!.ГЛАВА 396Н случаеN=2 имеем ii 1 + ii 2се О, 1 следовательно, ПОЗМ являетсяортоrональньrм измерением вдоль осислучае .\ 1= .\2= .\ 3=1имеем it1Приii 1 .+ ii 2 tN = :Jв симметричномr13 = О н(3.26)3.1.4.Теорема НаймаркаМы nритwш к nонятию IIOЗM, рассматривая ор10I"Ональ11ые юмере­ния11более широком, чем НА, nрос1ранстве. Теперь обратим наши рас­суждения и покажем, что таким обра.1ом может быть реализована любаяпозм.Рассмотрим произво;~ьную ПОЗ\1 соператорамиF а•nодномерными nо,тожнтелыrымиnудовлетворяющими условию2::Fа~1.

Покажем, ч·юa=lэту nозм всегда можно реализовать путем расширения rильбертова про­странства и выполнения opтoiQHaJIЫюro измерения в это\f б<тсе широкомпространстве. Это утверждение назьmается теорrшой HaiLuapКJJ=2Чтобы ,~оказать это, рассмотрим Iилr.берrово пространство 1i с dirн 1t ~N и ПОЗМ {F.}, а~ 1, 2, ... ,n сn? N. Каждый одномерный положи­тельный оператор может быть записан в виде{3.27)где векторi,J;.)не нормирован. Выписывая в я11ном ниде матричные оле­\tенты равенстваL: F,~ ::::- 1, получим:а =1nnL(F .),, ~·a=lLа-";,:,Ф., ~Теперь_ изменим точку зрения на уравнениевюъ ('Фа.\ не какn~N.s,,(3.28)l(3.28).!iудем интерпрстиро­век-юров в j\.Г-мерном пространстве, а как N :::;;1Конечно, это равенство справедливо ;шшь в симметричном сJ1учае •\рый здесь nо-видимому нодра'\уменэ.етс.я:..= Л2n'-'---- ~, кото­Прим.

ред.2Обсу.r\.аенuе ПО.ЗМ н rеоремы Наймаржа можно найти 1:1 книге: А. Peros. Quantum theory:Concepts and Methods, Кlщver Academic PuЫisbers, Ne"'· York et al (2002) tHa русском языкесм.: Н. И. Ахис~~ер, И. М. Глаз.чап, Теория onepamopиJ в гильбертова'>1 пространстве, Наука,М.:(1966).

·- llpu:•.t. ред.j3.1 . ЗА ПРlЩЕ.lАМИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ97Rекторов ({/[)" в n-мерном пространстве. Тогда уравнение (3.28) уrвер­ждае·•; что этиNвекторов образуют ортогональный набор. Естественно,что он может быть расширен до ортогонального базиса в n-мерном ПJ.!О­странстве. Другими словами, существует n х rz-матрица 1.tai с uai =при а = 1,'Фаiтакая, что2.... , f\[L и:iuaj = бij'(3.29)аили, в матричной форме,utu -1. Отсюда следует, чтоuut1,по-скольку для любого вектора IФ)щutu)IФ)а областыо действияU=(u'u 1 )UIФ) ~ UIJ~,),(3.30)(по крайней мере для конечномерных мюриц) >~в­ляется все п-мернос пространство. nозвращаясь к компонентной записи,имеем2.:Uaju(;j=баь·(3 .31)jСледовательно,(и а) i образуют полный ортонормиронанпый набор векто-1ров .Пусть IСперь в пространстве размерностиn :;, Nвыполняется ортого-надьпае измерение:(3.32)Мы построИШI векторы \и а} так, ч·ообы каждый из них имел орrоп.шапьноеразложение(3.33)гдеi?,iJЕ Н, а iФ,1-) Е Hj_.

Тогда ортоrопальным просцировавием этогобазиса на}{ мы воспроизводим ПОЗМ {F а}. Этим завершается доказатель­ство теоремы Наймарка.Чтобы проиллюстрировать теорему Паймарка в действии, рассмотримеще раз однокубитовую ПОЗМ(3.34)а=1,2,3,гдеn1 + f1 2 + ii 3=О. Соrласно теореме ПОЗМ может бытьреализована как ортогональное измерение «кутрита))в трехмерном гильбертоном пространстве.-квантовой системыГЛАВА 398Пусп.ii 1 = (0,0, 1), ii 2(vГз/2, О, -1/2), ii3( -vГз/2, о, -1/2),тогда, вспоминая ч·rоIB, 'Р =О} =cos!l)( . 2J ,(3.35)sшмы можем записатъ три вектора IФ.} =J273IB,<p= О, 27Г /3, 47Г /3) как=О} (где 8 1 ,82 ,83(3.36)Теперь мы можем интерпретировать эти три двумерных вектора, как3- матрицу,2ха теорема Наймарка гарантирует, чщ две ее строки орщнорми­рованы. Следовательно, мы можем добавить еще одну ортонормированнуюстроку:(3.37)Мы видим, чщ (как и утверждает теорема) С11Jлбцы lиа} также ортонор­мированы.

ЕсJШ мы выnоmшм ортогона.:Тhное измерение в базисе векто­ров lиа}, то живущий в двумерном подпространстве наблюдатель придет квыводу, Ч11J мы реализовали ПОЗМ {F 1 , F 2 , F 3 }. Мы показали, что еслинаш кубит фактически ЯВJIЯСТСЯ двумя компонентами кутрита, то ПОЗМможет бьrгь реализована как ортоrональное измерение зто1'0 кутрита.3.1,5.Ортогональное измерение на тепзорвом провзведенииТем не менее типичный кубит не скрывает никакого секрета. Чтобывыполнить обобщенное измерение, нам необходимо запастись дополни­тельными кубитами и выпоШiить совместные ортогuпальные :и3мерения нанескольких кубит·ах сразу.Рассмотрим случай лвух (изолированных) систем А и В, описываемыхтензорным произведением 'Н А® 'Н в.