Ответы на вопросы к зачету, страница 3

Если интенсивность изменяется, то следует писать:=P ( n)∫t I (t ′)dt ′ β u (t ) ,n!nt +Tгде u (t ) =∫ I (t ′)dt ′ ― интегральная интенсивность, T –время регистрации (длительностьt(α ) nвыборки). Вероятность распределения Pexp [ −α ] -условная. Безусловную вероятность=усл ( n u )n!находим при усреднении по распределению u:Pбезусловн (n) =∞∫0(βu )n exp(− βu )w(u )du - формула Манделя. Получаем дважды стохастическийn!процесс.Режим счета фотонов T << τ corr : u (t ) = I (t )T , где T ― время измерения (выборки). Если11w(=u ) δ (u − u0 ) , то распределение Манделя переходит в распределение Пуассона.В общем случае n = β u , σ n2 =()+ β 2 u 2 − u 2 и безусловное распределение отличаетсяфлуктуацииnфотоновфлуктуации поляот пуассоновского.

Заметим, что выборки надо производить через интервал времени гораздобольше времени корреляции.25. Уравнение Фоккера-Планка для функции распределения плотностивероятности.Уравнение Ланжевена: y (t ) + a ( y ) =b( y )ξ (t ) , где ξ ( t ) ― дельта-корр. случайная функция.Пусть F ( y ) ― некоторая функция. Умножим уравнение Ланжевена наFy y (t ) ==F ( y ) − Fy a ( y ) + Fy b( y )ξ (t ) .

Усредняем: F ( y ) + Fy a ( y=)dF ( y )= Fy :dyFy b( y )ξ (t=) D b bFy y(последнее равенство следует из формулы Φ ( x)ξ (t ) =D Φ ′b ).Считаем, что F (=y ) F ( x,=y ) δ ( x − y ) .Функция распределения y ― w( y ) .F ( y) =w( x) ;∫ δ ( x − y)w( y)dy =− ∫ δ ( x − y ) [ a ( y ) w( y ) ] y d y =− [ a ( x) w( x) ]xFy a ( y ) =∫ δ y ( x − y)a( y)w( y)d y=∫ a( y)w( y)d δ ( x − y) =b b Fy  =− ∫ b( y ) [b( y ) w( y ) ] y dδ ( x − y ) =∫ b( y)w( y) b( y)δ y ( x − y)  y d y=b( x) [b( x) w( x) ]x  xyПодставляем все в исходное усредненное уравнение:∂w( x, t )− [ a ( x) w( x) ]x =D b( x) [b( x) w( x) ]x  - уравнение Ф-П. Приведем его к станартному виду.x∂t∂w= aw + D [bw]x b ,x∂taw + D [bw]x b =+aw Dbx wb + Db 2 wx =+aw Db 2 wx + 2 Dbx bw − Dbx bw =(a − Dbbx ) w + D(b 2 w) x ≡{}1( K 2 ( x) w ) x2K1 ( x)= a − Dbbx , K 2 ( x) = 2 Db 2 .

Получаем канонический вид уравнения Ф-П:≡ K1 ( x) w +∂w ∂1 ∂2=[ K1 w] +[ K 2 w]∂t ∂x2 ∂x 226. Стационарное решение уравнения Фоккера-Планка.K∂w ∂1 ∂2∂1 ∂= [ K1 w] +K w =0 , K1 w +0,[ K 2 w] = −2 1 K 2 w ,[ K 2 w] =2 [ 2 ]∂t ∂x2 ∂x∂xK22 ∂xln [ K 2 w] = −2 ∫K ( x ′) CK1 ( x ′)=exp −2 ∫ 1dx ′ , где K1 ( x)= a − Dbbx ,′, wdxK2K 2 ( x ′) K 2 ( x ′)12K 2 ( x) = 2 Db 2 .27. Когда случайный процесс можно считать марковским?Марковский процесс — случайный процесс, эволюция которого после любого заданного значениявременного параметра t не зависит от эволюции, предшествовавшей t, при условии, что значениепроцесса в этот момент фиксировано (иначе: «будущее» процесса не зависит от «прошлого» приизвестном «настоящем»).w ( xm xm −1 , xm − 2 ...x1 ) = w ( xm xm −1 ) .Свойством марковости обладают все процессы, определяющиеся линейными илинелинейными уравнениями (или системами уравнений) первого порядка со случайнымиδ − коррелированными коэффициентами.К классу марковских процессов относится процесс с дельта-корр.

случайной силой.x) δ ( x − x0 )w ( xτ , x ) = w ( xτ x ) w( x) , ∫ w ( xτ , x ) d x= w ( xτ ) , ∫ w ( xτ , x ) w( x)d x= w ( xτ x0 ) , w(=w=x2 ...xn ) w ( xn xn −1 ) ⋅ ... ⋅ w ( x2 x1 ) w ( x1 ) . Таким образом,( xτ x0 ) P=( xτ x0 ) w ( xτ ) . Итак, w ( x1 , =многомерное стационарное распределение марковского процесса определяется одномернымраспределением w ( x1 ) , которое является стационарным решением уравнения Ф-П, и вероятностьюперехода ρ n ,m = w ( xn xm ) , которая может быть найдена как нестационарное решение Ф-П, вкачестве начального распределения взята дельта-функция w ( x,=0 ) δ ( x − x0 ) : ρ n ,m = w ( x, t ) .28.

Естественная ширина спектра томпсоновскогогенератора, ее зависимость от шумовой температуры идобротности резонатора.Колебания реального генератора, близкие к гармоническим,представляют собой случайный процесс вида:x(t ) =ρ (t ) ⋅ co s[ω0 t + ϕ (t )] .Фаза здесь распределена по Рэлею до порогагенерации и по Гауссу ― после. Вычислим корреляционную функцию(учитывая, что это стационарный случайный процесс, и считаяρ== ρ0 ― усредненное значение):( t ) constB=(τ )x(t ) x(t +=τ ) ρ02 co [ω0 ts + ϕ (t )]co [ω0 s(t + τ ) + ϕ (t + τ )]1 21 2ρ0 cos[ω0τ + ∆ϕ (τ )] + cos[2ω0 t + ω0τ + ϕ (t )=+ ϕ (t + τ )]ρ0 cos[ω0τ + ∆ϕ (τ )]221 22 1 1ρ0 cos[ω0τ ] cos[∆ϕ (τ )] , так как cos[∆ϕ (τ )] = exp − ( ∆ϕ ) = exp − D τ  , то2 2 211 2 1G (ω )B (τ ) exp ( −iωτ ) dτ=B(τ )ρ0 cos[ω0τ ]exp − D τ  .

Теперь ищем спектр.2π ∫2 2=ρ0218π (ω − ω ) 2 + D02( )2. Таким образом, ∆ωест =D . Эта ширина связана с принципиальнонеустранимым источником флукт. ∆ωестшума: G=eI a +0πω02G0= 2 , где G0 ― спектр суммы теплового и дробового2 ρ04kT α 2R( I a ― анодный ток, α =). Вводим эффективную температуру:2Rω02L13T *= T +eI a Rω022kT *α 2,тогда. Средняя мощность генератора, выделяемая наω∆=естρ02 R4 kα 2сопротивлении R : P = R ρ02 2 .

Ширина спектра невозбужденного колебательного контура∆f =α π , значит: ∆ωест = π 2 ( ∆f k )2f kT *ω0kT *π 0 2 .. Добротность контура Q0 =, тогда: ∆f ест =2 PQP2π∆f kОценка: T * = 104 K , f 0 = 106 Hz , Q = 100 , P = 10−6 W =, k 1.38 ⋅ 10−23 => ∆f ест ≈ 10−4 Hz .29. Как проявляется фазовая чувствительность одноконтурногопараметрического усилителя?Существует два режима генерации с одной амплитудой и со смещениемфазы на ±π . Какой режим будет у генератора определяется флуктуациямина начальном этапе.C (t ) =+C0 (1 m sin (ωН t + ϕ Н ) ) , m << 1 .di1+ Ri + ∫ i (t ′)dt ′ =E (t )dtCi (t ) = x(t )Lω1R,α=, ω0 = í .x + 2α x + ω02 x 1 − m sin (ωÍ t + ϕ Í )  =ω02 E (t ) , ω02 =LC02L2ϕϕ ϕ=E (t ) ρ cos (ω0 t =+ ϕc ) ρ cos  ω0 t + í + ϕc − í  , Φ (t ) = ω0 t + í , E (t )= a co sΦ (t ) − b sin Φ (t ) , где22 2ϕí ϕ , b ρ sin  ϕc − í  .a ρ cos  ϕc −==2 2 x=(t ) R(t ) co s(Φ (t ) + ϕ=(t )) A(t ) co sΦ (t ) − B(t ) sin Φ (t )A(t ) = R co sϕ (t ) , B(t ) = R sin ϕ (t ) ,1B(t ).ψ= ϕc − ϕí , tgϕ (t ) =2A(t )Методом медленно меняющихся амплитуд получаемследующие уравнения:1 ωb A + α (1 + µ ) A =ω2 0 ,µ = 1 2 mQ , Q = 0 .2α− 1 ω0 a B + α (1 − µ ) B =2ω0 bω0 a2, B= −, R=A2 + B 2 .A=2(1 + µ )α2(1 − µ )α22Rcos 2 ψ 2  sin ψ=+  Q 2(1 − µ ) 2 ρ (1 + µ )ϕ =arctg 1+ µ a  1+ µB=arctg −ctgψ  =arctg −A 1− µ b  1− µ В зависимости от того в какой интервал14попадает начальной фазы усиливаемого колебания её значение стремится к величине π или −π .

Врежиме параметрической генерации происходит «квантование фазы»30. Динамический хаосДинамические системы с числом степеней свободы 3 2 и более могут иметь хаотическиеколебания в отсутствие шума. Например, модель Лоренца:(t ) σ ( x − z ) x=− xz + rz − y , где r -управляемый параметр, а b, σ ―константы.

Этой системой можно y (t ) = z (t= ) xy − bzописать конвективный поток. Если будем искать решение этой системы, то при r < rc движениерегулярное, а при r > rc наблюдается перемежаемость «регулярное»-«хаотическое»-«рег»-…Существует генератор на котором можно изучать динамический хаос в радиодиапазоне(генератор Теодорчика).

Схема:d 2 i  R (T ) S0 M  di+−+LC  dtdt 2  L,1 ∂R (T ) ∂T  1++i=0 LC L ∂T ∂t R(T=) R0 + LbT - сопротивление зависит оттемпературы линейным образом.∂Tρ q κ T = R(T )i 2 - (известный факт∂t2Rd i∂Tdi2=µ ω02 S0 M − 0 , ω02 = 1 LC , γ = κ ρ q , κ - теплопр. 2 + ω0 i =( µ − bT ) dt − b ∂t i , гдеLdtbLR ∂T + γ =α (=t) α0 +T , α0 = 0α (T )i 2ρ q - потери.ρq ∂tВводим безразмерные величины:bT, τ = ω0 t . Тогда исходная система принимает вид:x = ai , y = − x , z =ω0 x (t ) = m + y − xz y (t ) = − x z (t ) =− gz + gx 2, где m = µγω0 - управляющий параметр, а g = ω0 .При выводе этой системы не использовали Метод медленно меняющихсяамплитуд. Нет предположений о добротности контура.― происходит удвоение периода.Затем происходит каскад удвоенийпериода, и система переходит вхаотический режим по сценариюФейгенбаума.

Возникает странныйаттрактор. В области странного аттракторамалые изменения параметров (начальныхусловий) могут привести к сильнымизменениям в характере поведениясистемы.15.