2 (Ю.Л. Словохотов - Материалы по курсу кристаллохимии (2011)), страница 7

В исходной группе Р2 (см. Рис. 2.21 а) вектор t||=b/2, вливаясьв ось 2, превратит ее в 21 (поворот на 180о + сдвиг на b/2). Полученная ось являетсяэлементом второго порядка, поэтому перпендикулярный вектор t┴=a/2 по правилу №1перенесет ее вдоль a на t┴/2=a/4.27Преобразуя все оси 2, входящие в элементарную ячейку, получим график группыС2 (Рис. 2.23 а): оси 2 и 21 в ней чередуются вдоль направления а через четвертьтрансляции.

Заметим, что к такому же расположению осей приведет и добавлениетрансляции tC= a/2 + b/2 к группе Р21: «параллельный» сдвиг на b/2 переведет винтовуюось 21 в поворотную 2 («с точностью до трансляции»), а «перпендикулярный» векторt┴=a/2 перенесет полученную ось 2 на расстояние a/4.

По соглашению, начало координат вгруппе С2 выбирают на поворотной оси 2. Координату y=0 в этой группе (как и в группахР2 и Р21) произвольно задают для одного из атомов, входящих в ячейку. По такой жесхеме можно построить графики групп Cm и Cc. В группе Cm компонент tC,параллельный к плоскостям симметрии (t||=a/2) превратит плоскость m в плоскость a(соответственно в Cc плоскости c превратятся в плоскости n), а компонент t┴=b/2 сдвинетновые элементы трансляции на b/4 (Рис.

2.23 б, в). Чтобы задать начало координат вкристаллических структурах, относящихся к этим группам, для одного из атомовустанавливают x=0 и z=0.zzzzc(а)(б)(в)Рисунок 2.23. Пространственные группы С2 (а) и Сm (б, в). На проекции (в) показаныточки общего положения в группе Cm.Взаимодействие двух произвольных элементов симметрии 2-го порядкаВ 1-й части пособия рассматривалось взаимодействие закрытых элементовсимметрии 2-го порядка (1, 2 или m), порождающих третий элемент. Эта схемаобобщается на взаимодействие произвольных элементов 2-го порядка: закрытого элементас открытым или двух открытых элементов.Правила взаимодействий произвольных элементов симметрии 2-го порядка R1 и R2очень похожи на правила №№ 1 и 3.

Если действие элемента R1 включает закрытуюоперацию R1’ и сдвиг s1, а элемента R2 – закрытую операцию R2’ и сдвиг s2 (один или обаэти сдвига могут быть равными нулю), возникающий элемент представляет собойрезультат взаимодействия R1’ и R2’, модифицированный суммарным сдвигом s1+s2.Правило №4. Суммарный сдвиг s1+s2= s||+s┴, входящий в состав элементов R1 = R1’+s1 иR2= R2’+s2, представляют в виде суммы двух векторов: параллельного (s||) иперпендикулярного (s┴) к закрытому элементу симметрии R3’, который возникает привзаимодействии соответствующих закрытых элементов R1’ и R2’. «Параллельный» векторs|| вливается в R3’, превращая его в новый элемент R3 = R3’+ s||, а «перпендикулярный»вектор s┴ переносит полученный элемент R3 на s┴/2.В случае взаимодействия оси 2-го порядка и перпендикулярной ей плоскости поправилу №4 возникает центр инверсии, сдвинутый на половину суммы s1+s2 от точки ихпересечения (Рис. 2.24 а).

Две взаимно перпендикулярные оси 2-го порядка (безразлично,поворотные или винтовые), пересекающиеся в точке, порождают ось 2 (Рис. 2.24 б), а двескрещивающиеся перпендикулярные оси – ось 21 (Рис. 2.24 в); положения полученныхосей определяются суммой s1+s2= s┴.. Две взаимно перпендикулярные плоскости дают ось282-го порядка; ее тип и положение определяются, соответственно, компонентамисуммарного сдвига s|| и s┴ (Рис.

2.24 г, д).Правило №4 справедливо для всех комбинаций элементов 2-го порядка. Так, ось 21,лежащая в плоскости m, порождает перпендикулярную к m плоскость скользящегоотражения со сдвигом в направлении оси и служит линией пересечения этих плоскостей.Рассмотренные в ч.1 взаимодействия элементов 2-го порядка с поворотной осью порядкаN>2 также можно распространить на взаимодействие винтовой оси Np cперпендикулярной к ней осью 2: при этом возникает N перпендикулярных осей 2,пересекающих Np и расположенных вдоль нее через интервалы tp/(2N) (Рис. 2.24 е).t2/4t1/4t1/4t/4t/4t2/4(б)(а)(в)1/61/3t/4t/41/41/41/41/41/6(г)(д)1/3(е)Рисунок 2.24. (а–д) Взаимодействие двух элементов симметрии 2-го порядка: (а) винтовойоси и плоскости скольжения, (б) взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся вточке, (в) скрещивающихся осей, (г) плоскостей m и n, (д) двух координатныхпльоскостей.

(е) взаимодействие винтовой оси 31 и перпендикулярной ей оси 2 (осипересекаются).Правила №№ 1–4 позволяют построить графики пространственных группмоноклинной и орторомбической сингоний. Начало координат в таких группах выбираютв положении на закрытых элементах симметрии с минимальным числом степенейсвободы: на оси 2 в группе С2, на плоскости m в группах Pm и Cm, в центре инверсии вгруппах P1, P21/c, Pmmm и т.д. (рисунки 2.20 – 2.25). Точка, выбранная внутриэлементарной ячейки, под действием операций пространственной группы преобразуется ворбиту: совокупность симметрически связанных точек. Хотя число таких точек вкристалле бесконечно, кратностью орбиты называется (конечное) число точек в однойэлементарной ячейке.

Точка, не лежащая на элементах симметрии, называется общимположением (или общей позицией). Положения на закрытых элементах симметрииназываются частными. Среди рассмотренных нами групп кратность общей позиции вгруппах Р1, Р2, Pm, Pc равна двум, в C2, Cm, Cc, P21/c и Pca21 четырем, в группе Pmmmвосьми, а в Р 1 – единице.291/4(а)(б)(в)Рисунок 2.25. Графики пространственных групп (а) P21/c, (б) Pca21, (в) Pmmm.2.7. Общая классификация пространственных группКаждая из 230 пространственных групп принадлежит к одному из 32кристаллографических классов и одной из 14 решеток Браве. По набору порождающих,или «главных» элементов, содержащихся в символе, пространственных группыподразделяются на симморфные и несимморфные.

Символы симморфных групп – этосочетания решеток Браве с кристаллографическими классами (которые обозначаютсязакрытыми элементами симметрии). Прямой перебор всех классов с возможными для нихрешетками (см. Табл. 2.3) дает 66 различных комбинаций, среди которых для семисочетаний возможны по два различных расположения элементов симметрии в решетке,отвечающих разным пространственным группам (Рис. 2.26):Cmm2 ≠ Amm2, P321 ≠ P312, P3m1 ≠ P31m, P3m1 ≠ P31m,P4m2 ≠ P42m, I4m2 ≠ I42m, P6m2 ≠ P62mТаким образом, имеется 73 симморфных пространственных групп, международныесимволы которых состоят только из закрытых элементов симметрии. (Многие из этихгрупп включают открытые элементы – например, группа С2 и Cm, рис. 2.23).Рисунок 2.26.

Различное расположение элементов симметрии в пространственных группахP3m1 (плоскости m перпендикулярны координатным трансляциям) и P31m (плоскости mпроходят по координатным трансляциям). Плоскости скольжения возникают в результатевзаимодействия плоскостей m с наклонными координатными трансляциями.Замена в симморфных группах некоторых или всех порождающих закрытыхэлементов на открытые без учета энантиоморфных осей дает 146 несимморфных групп(вдвое больше числа симморфных групп), вместе составляющие 219 геометрическиразличных пространственных групп. Среди них у 11 несимморфных групп имеютсяэнантиоморфные пары:30P31 || P32, P3121 || P3221, P3112 || P3212, P41 || P43, P4122 || P4322, P41212 || P43212,P61 || P65, P62 || P64, P6122 || P6522, P6222 || P6422, P4132 || P4332С учетом этих пар общее число пространственных групп достигает 230.Обозначениекристаллографическогокласса,ккоторомуотноситсяпространственная группа, можно получить, отбрасывая в символе пространственнойгруппы букву (которая обозначает решетку) и заменяя в оставшейся части всех открытыеэлементы закрытыми.

Так, группа P21/c принадлежит к классу 2/m, группа P212121 кклассу 222, группа Ibam – к классу mmm. Кратность общего положения впространственной группе равна произведению порядка ее кристаллографического классана множитель, учитывающий умножение числа операций симметрии в центрированныхрешетках:P – решетка: 1A, B, C, I –решетки: 2R – решетка: 3F – решетка: 4Кратность положения на закрытом элементе (элементах) симметрии равна частному отделения кратности общей позиции на порядок локальной группы, задающей симметриюположения точки. Так, общая позиция 1 в группе Pmmm имеет кратность 18 = 8, в группеIbam 28 = 16, а частное положение mm2 (порядок этой группы равен 4) в группе Pmmmимеет кратность 8/4=2 (см. рис.

2.25 в)Таблица 2.4.Пространственные группы триклинной и моноклинной сингонийСингония ирешеткиБравеКлассыПространственные группы (в скобках обозначенияпо Шенфлису)симморфныеТриклинная(P)1 (C1)1 (Ci)P 1 (C11)P1 (Ci1)P2 (C21)C2 (C23)Pm (Cs1)Cm (Cs3)2/m (C2h) P2/m (C2h1)C2/m (C2h3)Моноклинная 2 (C2)(P, C)m (Cs)несимморфныеP21 (C22)Pc (Cs2)Cc (Cs4)P21/m (C2h2), P2/c (C2h4),P21/c (C2h5), C2/c (C2h6)Связь пространственных групп с кристаллографическими классами и решеткамиБраве на примере моноклинной сингонии показывает табл.