2 (Ю.Л. Словохотов - Материалы по курсу кристаллохимии (2011)), страница 4

Две соседние плоскости в15такой системе отсекают от трех координатных осей отрезки длиной aX=a/u, bY=b/v иcZ=c/w (учитывая, что для кубического кристалла a=b=c, рис. 2.12 а).В произвольной сингонии, где условие a=b=c не выполняется или (и) векторыa, b, c не ортогональны, кристаллографические плоскости уже не перпендикулярныкристаллографическим направлениям.

Тем не менее, бесконечную систему параллельныхплоскостей, проходящих через узлы решетки, в этом случае также задают тройкой целыхчисел: индексов Миллера (h k l), которые записывают в круглых скобках без запятых. Поопределению,h = a/aXk = b/bYl = c/cZ,(2.6)где a, b, c – длины ребер элементарной ячейки, aX, bY, cZ – соответственно длиныотрезков, отсекаемых от этих ребер парой соседних плоскостей (Рис. 2.12 б). Индексам(h k l) и (hkl ) отвечает одна и та же система плоскостей с инвертированныминаправлениями всех координатных трансляций. В рентгеновской дифрактометриииндексы h k l также приписывают рефлексам, рассматриваемым как отражениярентгеновского луча от бесконечной системы параллельных кристаллографическихплоскостей, усиленные конструктивной интерференцией.[21]bY(1 2 0)bY00aX(а)d120aX(б)Рисунок 2.12.

(а) Кристаллографическое направление [2 1] и перпендикулярные к немулинии (серого цвета) в квадратной плоской сетке (a=b, =90o): aX = a/2, bY=b.(б) Кристаллографические плоскости системы (1 2 0) (показаны серым цветом, aX=a,bY=b/2) и перпендикулярное к ним некристаллографическое направление (серая стрелка) втрехмерной триклинной решетке. Выделены узлы в начале координат.с0ba(1 0 0)(2 1 0)(2 1 2)Рисунок 2.13. Индексы Миллера для систем кристаллографических плоскостей втрехмерных решетках.16Заметим, что в примитивных решетках индексы Миллера по определению (2.6) немогут иметь общих целочисленных множителей, отличных от 1. Так, в системе (2 2 2)половина всех плоскостей должны проходить не через узлы, а через середины реберэлементарных ячеек – но такие плоскости не являются кристаллографическими.

Если жекристаллографические плоскости параллельны одной либо двум координатнымтрансляциям, соответствующие индексы Миллера для них равны нулю (Рис. 2.13).Индексами Миллера (h k l) в кристаллографии также задают одиночные плоскостииз соответствующего семейства. В этом случае запись (h k l) и (hkl ) отвечает двумпараллельным плоскостям, находящимся на одинаковых расстояниях по разные стороныот начала координат. Этим способом удобно обозначать грани кристалла. Наборсимметрически эквивалентных плоскостей, переводимых одна в другую операциямисимметрии точечной группы кристалла, называется формой {h k l} (либо простойформой); форму обозначают тройкой неотрицательных индексов Миллера в фигурныхскобках (Рис.

2.14).Рисунок 2.14. Октаэдр как простая форма {1 1 1} точечной группы m3 m; показаныиндексы Миллера для двух граней.Кратчайшее расстояние между парой соседних кристаллографических плоскостей всистеме (hkl) (межплоскостное расстояние dhkl) в ортогональных кристаллографическихкоординатах удовлетворяет простым соотношениям(2.7)1/dhkl2 = h2/a2 + k2/b2 + l2/c21/dhkl2 = (h2+ k2)/a2 + l2/c21/dhkl2 = (h2+ k2+ l2)/a2для орторомбической сингониидля тетрагональной сингониидля кубической сингонииФормулы (2.7) легко проверить на примере системы кристаллографических параллельныхлиний в плоской ортогональной сетке (рис.

2.15). Выразив площадь прямоугольноготреугольника ОАВ через произведение длин катетов ОА=aX=a/h, ОВ=bY=b/k и черезпроизведение длины гипотенузы АВ = (aX2+bY2)1/2 на высоту dhk, затем возведя обе частиравенства в квадрат и выполнив сокращение, получим(a/h)·(b/k) = (a2/h2+b2/k2)1/2 dhk,(a2b2)/h2k2 = dhk2(k2a2 + h2b2)/h2k2,откуда, после сокращения знаменателей и деления левой и правой частей на a2b2d2hk ,1/dhkl2 =(k2a2 + h2b2)/ (a2b2) = h2/a2 + k2/b217ВbYdhkАОaXРисунок 2.15. Вывод аналога соотношений (2.7) для плоской ортогональной сеткиАналоги соотношений (2.7) для косоугольных сингоний имеют более сложный види включают элементы матрицы Грама.

На основе всех таких соотношений индексыМиллера (h k l) можно рассматривать как координаты узлов в абстрактной обратнойрешетке с базисными векторами a*, b*, c*, модули которых обратно пропорциональныдлинам координатных трансляций (т.е. имеют размерность обратной длины [Å–1]).Представления об обратной решетке широко используются в теории рентгеновскойдифракции и во многих разделах физики твердого тела.2.5. Открытые элементы симметрииКроме трансляций, в пространственную группу кристалла могут входить закрытыекристаллографические элементы симметрии. (Для бесконечной цепочки полиэтилена нарис.

2.1 б такими элементами являются плоскости m, оси 2 и центры инверсии1, длягексагональной пленки мыла на рис. 2.2 б – оси 6, проходящие по осям идеализированных«цилиндров» н-CnH2n+1, и т.д.) Каждому закрытому элементу отвечает набор операцийсимметрии, оставляющих на месте хотя бы одну точку кристалла: эти элементы образуютточечную группу, порядок которой называется порядком элемента симметрии. Дляпроизвольного закрытого элемента симметрии R порядка n справедливо соотношениеRn = 1(n-кратное повторение операции R1 дает тождественное преобразование 1).В отличие от закрытых операций симметрии, трансляции приводят ксамосовмещению бесконечной периодической фигуры, не оставляя в ней неподвижныхточек. Все такие операции называются открытыми.

Поскольку возможен перенос налюбое целое число трансляций, это – открытые операции симметрии бесконечногопорядка. С трансляциями совместимы лишь некоторые закрытые элементы симметрии,называемые кристаллографическими; в двумерных и трехмерных кристаллах этиэлементы (разд. 2.2) могут иметь порядки n = 2, 3, 4 или 6.Добавление трансляций к набору закрытых операций порождает новые, ранее невстречавшиеся нам открытые элементы симметрии: плоскости скольжения (glide planes) ивинтовые оси (screw axies).

Для таких элементов справедливо общее соотношение:(2.8)Rn = pt,18где R – открытая кристаллографическая операция симметрии, t – кратчайшая трансляциякристалла, p < n – целое число (n-кратное повторение операции R1 равнозначнотрансляции). «Чистые» трансляции (R=t) задаются формулой (2.8) при p=n=1, закрытымэлементам симметрии отвечает р=0 (отсутствие трансляций эквивалентно тождественномупреобразованию).Строго говоря, все нетрансляционные открытые элементы R имеют бесконечныйпорядок, так как m-кратное повторение операции R1 приводит к самосовмещениюкристалла при любых целых числах m.

Однако они выводятся из закрытыхкристаллографических элементов конечного порядка n, так что при любом m=An+kрезультат открытой операции Rm является суммой операции Rk (k<n) и трансляции Аt.Говорят, что открытые операции симметрии приводят к самосовмещению «с точностьюдо трансляции». На этом основании плоскостям скользящего отражения приписываютпорядок 2, а кристаллографическим винтовым осям – порядки 2, 3, 4 или 6.Особенно просто открытые элементы выводятся с помощью соотношения (2.8) иззакрытых элементов 2-го порядка. В этом случае открытая операция R являетсясочетанием закрытой операции R’ со сдвигом на половину трансляции, так чтоR2 = (R’)2 + t/2 + t/2 = t(т.е.

p=1). Можно показать, что добавление половины трансляции к инверсии1 непорождает открытых элементов симметрии. Но отражение в плоскости со сдвигом наполовину кратчайшей трансляции в этой плоскости – это открытая операция скользящегоотражения (или «скольжения»). Сдвигам на ½ разных координатных трансляцийсоответствуют разные координатные плоскости:плоскость a: отражение + сдвиг на t/2 = a/2,плоскость b: отражение + сдвиг на b/2,плоскость c: отражение + сдвиг на c/2,Подставив в (2.8) векторную сумму двух координатных трансляций (t=a+b, a+c илиb+c), мы получим диагональные плоскости скользящего отражения со сдвигами наa/2+b/2, a/2+c/2 или b/2+c/2. Все эти плоскости обозначаются символом n.

Наконец,сочетание поворота на 180о со сдвигом на половину трансляции вдоль оси поворота даетеще один открытый элемент второго порядка: винтовую ось 21. Графические символыплоскостей скользящего отражения показаны на рис. 2.16.В кристаллах с центрированными решетками кратчайшие трансляции равныполовине векторной суммы сдвигов по двум координатным направлениям (для решеток A,B, C или F) либо по трем координатным направлениям (для I-решеток).

В этих кристаллахмогут существовать плоскости скользящего отражения со сдвигом на половинуцентрирующей трансляции tцентр. (R2=tцентр.). Такие плоскости, впервые обнаруженные вкристаллической структуре алмаза, называют «алмазными» и обозначают символом d(diamond).

Хотя действие «алмазных» плоскостей включает сдвиг на векторные суммычетвертей координатных трансляций – это открытые элементы второго порядка,поскольку tцентр. представляют собой суммы половин координатных трансляций (a/2, b/2,c/2), так что d 2=tцентр (см. Рис. 2.16). Кроме того, в некоторых кристаллах сцентрированными решетками (например, в молекулярном кристалле иода на Рис. 2.2 в)разные плоскости скольжения могут накладываться.

По решению Международного союзакристаллографов, начиная с 1992 г. «двойные» плоскости скользящего отраженияобозначают символом e (в более ранней литературе специальные обозначения для них неиспользовались).Открытые элементы симметрии второго порядка присутствуют, например, вмолекуле полиэтилена (СН2–СН2)∞, содержащей бесконечную плоскую трансоидную19цепочку из атомов углерода с периодом повторяемости t в два метиленовых звена (см.рис. 2.1 б). (В действительности любая полимерная молекула, как и любой кристалл,состоит из конечного числа звеньев (элементарных ячеек) – но если это число оченьвелико, бесконечная цепь с трансляционной симметрией служит хорошей моделью).Поворот бесконечной цепи полиэтилена вокруг ее осевой линии со сдвигом на t/2приводит к самосовмещению и, таким образом, по этой линии проходит винтовая ось 2 1.Отражение углеродной цепочки в перпендикулярной к ней плоскости, рассекающей цепьвдоль оси 21, со сдвигом на t/2 также приводит к самосовмещению – а значит, этаплоскость является плоскостью скользящего отражения.