2 (Ю.Л. Словохотов - Материалы по курсу кристаллохимии (2011)), страница 2

2.6 б). Таким образом,двумерные кристаллы могут иметь следующие закрытые элементы симметрии:(2.1а)1, 2, m, 3, 4 и 6,(включая тождественное преобразование 1).36о(а)(б)Рисунок 2.6. (а) Изменение положения узлового ряда с кратчайшей трансляцией а(выделен серым цветом) при повороте плоской сетки на угол =360o/N вокруг узла 0.(б) Плотное заполнение плоскости правильными треугольниками, квадратами,правильными шестиугольниками и невозможность ее заполнения правильнымипятиугольниками.Ограничения на порядок поворотных осей в двумерных решетках переносятся и натрехмерные, поскольку каждое сечение 3D-решетки плоскостью, проходящей через узлы,является плоской сеткой.

Но из-за наличия центров симметрии1 в узлах трехмернойрешетки поворотная ось 3, проходящая через узел, превратится в инверсионную ось3, алюбая четная поворотная ось породит перпендикулярную к ней плоскость m. Такимобразом, в трехмерных кристаллах могут также существовать инверсионные оси 3-го, 4-гои 6-го порядков (Табл. 2.1).6Таблица 2.1Инверсионные оси в 3D-кристаллах (выделены жирным шрифтом)элементыв 2D-сетке +1результатподгруппыm2/m2, m,122/m2, m,1333,144/m4,4, m,166/m6, 3/m =6,3, 3, 2/m, 2, m,1Весь перечень кристаллографических закрытых элементов симметрии (включаятождественное преобразование) для трехмерных кристаллов выглядит так:(2.1б)1, 2, 3, 4, 6,1,2=m,3,4,62.3.

Сингонии, решетки Браве и кристаллографические классыПолный набор кристаллографических классов для двумерных и трехмерныхкристаллов можно построить, перебрав все возможные комбинации элементов симметриииз (2.1а) и (2.1б). Мы придем к тому же результату немного иначе: перечислим всеточечные группы узла в решетке (голоэдрические группы) в порядке повышениясимметрии и выпишем все подгруппы таких групп. На этом пути мы познакомимся сновыми для нас центрированными решетками, которые присутствуют во многихкристаллических структурах.Схему вывода голоэдрических групп вначале рассмотрим на примере плоскихсеток.

Симметрия узла в таких сетках соответствует симметрии координатного креста изкратчайших трансляций a, –a, b и –b (Рис. 2.7). Низшей возможной точечной группе 2отвечает косой координатный крест с произвольными a, b и ≠90о. Элементарная ячейкатакой решетки – параллелограмм (Рис. 2.7 а). Деформируя эту решетку – например,изменяя параметр b и (или) угол  при неизменном а – постараемся добиться появленияновых элементов симметрии: плоскостей m, перпендикулярных к плоскости сетки.

Этоможно сделать двумя способами: (1) направить трансляцию b перпендикулярно к a (=90o)либо (2) установить b=a с произвольным углом . В обоих случаях из-за взаимодействияплоскости m с лежащей в ней поворотной осью 2 (см. ч. 1) точечной группой узластановится mm2, однако в первом случае плоскости m проходят по направлениямкоординатных трансляций a, b прямоугольной элементарной ячейки (Рис. 2.7 б), а вовтором – по диагоналям a+b, a–b ромбической ячейки (Рис. 2.7 в).7Рисунок 2.7.Операции симметрии координатного креста в плоских сетках; их сингонии ирешетки Браве.Изменяя параметр b в прямоугольной сетке до достижения b=a либо установивугол между трансляциями в ромбической ячейке =90о, получим тетрагональную 2Dрешетку с симметрией узла 4mm (Рис.

2.7 г). Если же в ромбической ячейке с b=a сделатьугол между координатными трансляциями равным 120о, благодаря соотношению|b+a|=a=b возникнет гексагональная плоская сетка с симметрией узла 6mm (Рис. 2.7 д).Несколько более детальный анализ показывает, что все варианты возможнойсимметрии узла в плоской сетке исчерпываются четырьмя полученными нами группами(2, mm2, 4mm и 6mm). Выбрав в ромбической ячейке на Рис. 2.7 в новые координатныенаправления a'=a–b и b'=a+b по диагоналями ромба, мы построим прямоугольнуюэлементарную ячейку вдвое большей площади, в которой плоскости m проходят потрансляциям a' и b'.

В отличие от прямоугольной ячейки на Рис. 2.7 б и всех остальныхячеек на Рис. 2.7, узлы которых расположены только в вершинах, в центре «удвоенной»прямоугольной ячейки с координатами a’/2, b’/2 на Рис. 2.7 в также находится узел.Отвлекаясь от метрики плоской сетки, т.е.

от численных величин ее параметровячейки, обозначим координаты центра ячейки в долях координатных трансляций: 1/2, 1/2.Сетки без узлов внутри элементарных ячеек называются примитивными и обозначаютсяp. Сетка с узлом в центре 1/2, 1/2 называется центрированной и обозначается с.Таким образом, все возможные 2D-решетки имеют точечную симметрию узла 2,mm2, 4mm или 6mm, причем решетки симметрии mm2 могут быть примитивными либоцентрированными, а остальные решетки – только примитивными (Табл.

2.2). Комбинируясимволы сеток и их точечных групп, запишем все эти варианты как p2, pmm2, cmm2,p4mm и p6mm. Переход от одного «вида» решетки в другой в ходе деформациисопровождается мгновенным изменением симметрии, тогда как при деформациях внутрикаждого «вида» решетки симметрия узла не изменяется. Заметим, что решетки pmm2 иcmm2 также не переводятся одна в другую непрерывными деформациями без измененияточечной группы узла: на таком пути лежит точка a=b, =90o, где возникает поворотнаяось 4-го порядка.8Определение 1.

Бесконечный набор всех решеток, относящихся к одной и той жеголоэдрической группе, называется сингонией.Определение 2. Все решетки одной сингонии, переводимые одна в другую непрерывнымидеформациями, относятся к одному типу Браве.Определение 3. «Безразмерная» (т.е. обладающая произвольной метрикой) решетка,относящаяся к определенному типу Браве, называется решеткой Браве.Мы видели, что плоские сетки разбиваются на четыре сингонии и пять решетокБраве. Названия сингоний и обозначения решеток вместе с условиями, накладываемымисимметрией на параметры элементарной ячейки, приведены в Табл. 2.2.

Там же длякаждой сингонии перечислены все подгруппы соответствующих голоэдрических групп.Десять полученных групп (голоэдрические группы плюс их подгруппы) – это вседвумерные кристаллографические классы, то есть все возможные точечные группы 2Dкристаллов.Таблица 2.2Сингонии, кристаллографические группы и решетки Браве в двумерных кристаллахсингониякосоугольнаяпрямоугольная (ортогональная)тетрагональнаягексагональнаяголоэдрическаягруппа2mm24mm6mmподгруппытипы решетки1m46, 3, 3mpp, cppСингонии, решетки Браве и точечные группы трехмерных кристалловпредставлены в Табл.

2.3. Поскольку любое сечение 3D-решетки плоскостью, проходящейчерез узлы, является плоской сеткой, а всякая проведенная через узлы прямая линия –узловым рядом, ее голоэдрические группы «наследуют» симметрию низшихразмерностей. Низшей голоэдрической группе1 (центры инверсии находятся в узлахлюбой трехмерной решетки) соответствует триклинная сингония.

Добавление к центру1оси 2 или плоскости m из-за взаимодействия элементов симметрии 2-го порядкапорождает голоэдрическую группу 2/m (моноклинная сингония). По той же причине (см.формулы (2 а–в) в ч. 1) добавление к элементам группы 2/m еще одной оси 2 или ещеодной плоскости m, перпендикулярных к уже имеющимся, порождает следующуюголоэдрическую группу 2/m 2/m 2/m, т.е. mmm (орторомбическая сингония).Элементарной ячейкой триклинных кристаллов является косоугольный параллелепипед,моноклинных – прямой параллелепипед (см. ч.1, пример 1 в § 1.4), кристалловорторомбической сингонии (в литературе также называемой ромбической или, реже,ортогональной) – прямоугольный параллелепипед.Дальнейшее повышение симметрии узла – аналогичное двумерным сеткам, но сдобавлением центра инверсии в узле – дает тетрагональную (голоэдрическая группа4/mmm, элементарная ячейка – тетрагональная призма) и гексагональную сингонии(6/mmm, элементарная ячейка – 1/3 гексагональной призмы).

Деформация тетрагональнойрешетки до c=a(=b) при сохранении 90о создает кубическую сингонию сголоэдрической группой m3 m (элементарная ячейка – куб).Кроме этих полиэдров, элементарной ячейкой трехмерного кристалла может быть«деформированный куб», или ромбоэдр – трехмерный аналог плоского ромба, т.е.деформированного квадрата. Решетки с такой ячейкой относятся к тригональнойромбоэдрической сингонии. Ей отвечает голоэдрическая группа3m, которая возникает9при добавлении к элементам группы 2/m поворотной оси 3, проходящей через центринверсии перпендикулярно оси второго порядка.

Можно показать, что других точечныхгрупп у 3D-решеток нет.Таблица 2.3Сингонии, кристаллографические классы и решетки Браве для трехмерных кристалловСингонияРешеткиБраветриклиннаяКристаллографические классыголоэдрич. подгруппыгруппа11Параметрыэлементарнойячейкиa≠b, a≠c, b≠c, ,  – любые2, ma≠b, a≠c, b≠c=≠90omm2, 222a≠b, a≠c, b≠c=4,4, 4/m, 4mm, a=b≠c,=422, 42ma=b=c,3, 3, 3m, 32=≠6,6, 6/m, 6mm, a=b≠c,622, 6m223, m3,43m, 432моноклинная2/mP, C (A)орторомбическаяmmmтетрагональная4/mmmтригональная3mгексагональная6/mmmкубическаяm3 mРP, A (B, C), I,FP, IP(«гексагональная R»)PP, I, FТаким образом, у трехмерных решеток имеется семь голоэдрических групп, каждаяиз которых описывает симметрию узла в определенной сингонии:1 , 2/m, mmm, 4/mmm, 3m, 6/mmm, m3 mКаждый трехмерный кристалл принадлежит к одной из этих семи сингоний.Голоэдрические группы вместе с их подгруппами составляют 32 трехмерныхкристаллографических класса, среди которых присутствуют все двумерные классы (см.Табл.