Вопросы к экзамену (2006-2007)

Экзаменационные вопросы по курсу Методы Оптимизации[ 1 поток, 7-8 семестр, 2006-2007 учебный год ]Лектор : проф. Васильев Фёдор Павлович1. Методы минимизации функций одной переменной (лекции; [1]: 9-20, 29-30, 33-34, 4546).2. Теорема Вейерштрасса (метрический вариант) ([1]: 74-75; [2]: 46-47).3. Теорема Вейерштрасса (слабый вариант). Применение к задаче минимизацииквадратичного функционала ԡ‫ ݑܣ‬− ݂ԡଶ (лекции; [2]: 49-50).4. Существование решения задач минимизации терминального и интегральногоквадратичного функционалов на решениях линейной системы обыкновенныхдифференциальных уравнений (лекции; [2]: 57-59).5.

Существование решения задачи об оптимальном нагреве стержня (лекции).6. Дифференцирование (первая и вторая производные). Применение к квадратичномуфункционалу ԡ‫ ݑܣ‬− ݂ԡଶ (лекции; [1]: 79-80; [2]: 18-20).7. Градиент терминального квадратичного функционала (лекции; [2]: 29-33).8. Градиент интегрального функционала (лекции).9.

Градиент функционала в задаче о нагреве стержня (лекции; [2]: 116-122).10. Выпуклые функции. Теоремы о локальном минимуме, о касательной плоскости ([1]:161-164; [2]: 24).11. Критерии выпуклости функции. Выпуклость квадратичного функционала (лекции; [1]:165-169; [2]: 24-25).12. Критерий оптимальности для выпуклых задач минимизации. Применение к задачеминимизации квадратичного функционала ([1]: 165-169; [2]: 28-29).13.

Сильно выпуклые функции, их свойства. Критерии сильной выпуклости функции ([1]:181, 184-186; [2]: 25).14. Теорема Вейерштрасса для сильно выпуклых функций. Применение к задачеминимизации сильно выпуклого квадратичного функционала (лекции; [1]: 182-183; [2]:155).15. Проекция точки на выпуклое замкнутое множество из гильбертова пространства, еесвойства.

Примеры ([1]: 188-193; [2]: 72).16. Градиентный метод (скорейший спуск); его сходимость для сильно выпуклых функцийв гильбертовом пространстве ([1]: 261, 266-267; [2]: 67, 70-71; лекции).17. Метод скорейшего спуска для задачи минимизации квадратичного функционала.Примеры (лекции; [2]: 69-70).18. Метод проекции градиента; его сходимость для сильно выпуклых функций вгильбертовом пространстве (лекции; [1]: 277, 281-282; [2]: 73, 76).19.

Метод Ньютона; его сходимость для сильно выпуклых функций (лекции; [1]: 329-333).20. Метод покоординатного спуска; его сходимость (лекции; [1]: 342-345).21. Метод штрафных функций; его сходимость (лекции; [1]: 363-369).22. Правило множителей Лагранжа (лекции; [1]: 379-381).23. Теорема Куна-Таккера (лекции; [1]: 234-240).24. Двойственная задача, ее свойства (лекции; [1]: 248-249).25.

Каноническая задача линейного программирования; ее эквивалентность общейзадаче линейного программирования (лекции; [1]: 101-102, 105-106).26. Критерий угловой точки для канонической задачи (лекции; [1]: 109-113).27. Симплекс-метод для канонической задачи.

Конечность метода в невырожденнойзадаче (лекции; [1]: 113-119, 123).28. Симплекс таблица; ее преобразование на одном шаге симплекс-метода (лекции; [1]:116-124).29. Вырожденная каноническая задача. Антициклин (лекции; [3]: 46-58).30. Метод искусственного базиса для поиска угловой точки в канонической задаче.Теорема Вейерштрасса для канонической задачи (лекции; [1]: 136-137, 145-146).31.

Теорема Куна-Таккера для канонической задачи линейного программирования.Двойственная задача (лекции).32. Градиент в задаче оптимального управления со свободным правым концом (лекции;[2]: 91-95).33. Принцип максимума Понтрягина в задаче оптимального управления со свободнымправым концом (лекции).34. Формулировка принципа максимума Понтрягина (общий случай). Краевая задачапринципа максимума (лекции; [1]: 435-459).Литература[1] Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.

М.: Наука, 1988.[2] Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.[3] Васильев Ф.П. Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. М.: Факториал, 1988,1998..