С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 98

Генерация лазера в терминах теории фазовых переходов; термодииамический потенциал, параметр порядка, критические индексы. Процесс генерации лазера опнсывается уравнением (7.5.23) для номплексной амплитуды А: й З САМОВОЗВУЖДЕИИЕ И ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ Из сравнения (6) и (8) видно,' что комплексная амплитуда А аналогична параметру порядка М, а параметр накачки е-температуре Т, При этом функцию 1(ААч) (6) можно интерпретировать как некий «термодинамическнй потен. циал» лазера. Лействительно, амплитуда А как параметр порядка должна удонлетворять релаксационному уравнению и-'А и'( г(1 йА' ' которое с учетом (6) приводит к уравнению вида (1). Равновесное значение параметра порядка А = А удовлетворяет условиям — -0 ддв ~А,"„' дАдА* ~А, А": откуда, принимая во внимание (6), находим (О, в~1, 1А (в р' ( р„'(а — 1), ейв1 (рт„сх?()). Эгвт результат в точности совпадает с (7.2 16), полученным непосредственно из уравнения (1) (или (?.2.9)).

Неупорядоченной фазе соответствует значение параметра накачки е ( 1, упорядоченной — з ) 1, пороговое значение в= 1 эквивалентно критической температуре. д( у з там д? ур вт Г-е Рис. ?.31. Зависимость средней интенсивности лазерного излучения нике порога генерации от ! — е; е †параметр накачки (45). Рис. 7.30 Зависимость термодинамического потенциала лазерного излучения от параметра порядка (комплексной амплитуды) ' А ~ для фазового перехода второго рода.

1) е < 1; 2) е = 1; 3) в > 1, Рассматриваемый пример лазерной генерации, описываемой термодинамическим потенциалом с положительныч коэффициентом (), относится к фазовому переходу второго рода (рис 7.30): в точке перехода е=- 1 испытывает скачок обобпгеиная восприимчивость дА?дз!г Параметр же порядка А является непрерывной функцией (см рпс. ? 2) П слу чае 6 О для г псапия пропссса во.бухгдепия колсбшши псобходвц ) ац виспа в Р. злоа.еппи термодииами и- гл. т влкктклцми и гннпрлторлх оного потенциала пропорционального ! А,з.

Это жесткий режим генерации, ои аналогичен фазовому переходу первого рода *). Его характерной особенностью является наличие гистерезиса: пороги возбуждения и срыва генерации на совпадают. Резкую зависимость физических параметров системы от температуры в окрестности точки фазового перехода принято характеризовать степенной зависимостью, при этом показатель степени носит название критического индекса Проанализируем полученные в Я 2, 5 результаты, касающиеся по.

ведения лазера вблизи порога геру иерацин, с точка зрения критических индексов. Согласно (7,2.65а) в области ниже порога генерации $И~ средняя интенсивность изменяется как 1 = (172) ( А , ') = (и/4) ы'„6)(1 — е) ' (1 — е)-в, (7.8.11) т е. критический индекс р=!,0 Зто теоретическое значение хорошо согласуется с экспериментальными данными (рис 7.31) Ччо касается времени корреляции излучения т„ 1/быы то в соответствии с (7 2,656) оно равно тк ~ 2(1 — е)о (1 — е) т, (7.8.12) в, следовательно, критический индекс ч = 1,0 В надпороговом режиме генерации (е ) !) средняя интенсивность амплитудных флуктуаций равна (см.

(7.2.37)) 1 (р') = и '2 Рнс. 7.32. Зависимости средней интенсивности (а) и дисперсии флуктуаций интенсивности (б) излучения лазера от параметра накачки е при проходе порога генерации (46). Зависимость (а) ср с рис.7.6. = ' ы(бй(з-1) г-(а 1)-и 8 (7.8.!3) " 1 5 .шзгп:", ; Ьз ч щзч гсрсточом первгп о 1 одз отпосятгя лазеры с нелинейно поглогпзющс(й ячейлой 117, 44! и лазеры ва органических красителях $ а.

Олмопозвуждение и Флзопые пеРехОды 845 Здесь считаем э(Г) О. По определению (см. 9 5) амплитуда А представляет собой величину, усредненную по длине ! резонатора Поэтому полный втермодинамический потенциал» 7'-~)(А, А*) ПУ= ! ~)(А, А )Цвг, (7.8.15) Ниже порога возбуждения (в линейном приближении) изменение втермо динамического потенциалав на единицу объема равно — ~ (1 + г,',хв) А (х) ' пвх, бр 2а(е — !) Г зв (7.8.16) где от амплитуды Л (г) мы перешли к ее фурье-образу Л(х): А (г) = ) А (х) е гмг в(э вв †плоша поперечного сечения пучка и, как будет показано ниже, г †ради корреляции: а 1 — !!э гв [2 — (1-з)~ в( (7.8.17) Плотность вероятности флуктуации А (г) пропорциональна ехр ( — Ьг!4 т'г!), (7.8.18) согласно (18) спектральная плотность параметра порядка 6 (х)= () А (х) !) в=Се[(1 — а) (1+г',х )1-в, Св=(п)4) ы)звбэ Для поперечной корреляционной функции Д 1 (э) (А (г) А" (г+э)) ) 6 (х) еш' в(~х 19 С.

А. Акмвввв в лэ. (7.8.19) (7.8.20> т е. с Удалением от поРога генеРзции значение гэк Уменьшаетси, пРнчем критический индекс р' 1, О. В области выше порога генерации нефлуктуацнонная, постоянная часть амплитуды увеличивается с ростом параметра накачки в соответствии с (10). Таким образом, средняя интенсивность излучения при проходе через порог генерации растет с ростом е сначала в соответствии с (11), а затем †(10) Флуктуационная же часть интенсивности излучения нарастает при приближении к порогу генерации (1!), достигает максимального значения на пороге н спадает при удалении от порога генерации (13).

Такое поведение интенсивности лазерного излучения наблюдалось экспериментально (46) (см. рис. 7.32). Пространственная статистика в пороговой области; формирование пространственной когерентиости лазерных пучков. Простейшая теория пространственных флуктуаций излучения лазера может быть развита на основе идей феноменологической теории Ландау для фазовых переходов [18) При таком подходе в выражение для плотности термодинамического потенциала лазера (6) следует добавить поперечный градиент У), учитывающий флуктуации параметра порядка А (комплексной амплитуды) в плоскости ху, перпендикулярной направлению а распространения излучения (см, (18], с.

616): /(А Лв)=)в 2 (а)()) (а — !) Л (в+' А !в ! (оЛ))! у А (в (7 8 14) Гл. т. ФлуктуАции В ГенеРАтОРАх в соответствии с (19) получаем ВА(э) 2пС г„-'(1 — а)-эК (з7г), (7.8.2!) гдз Ка(к)-цилиндрическая функция от мнимого аргумента. При а~г имеем В„(з) з !!зехр [ — з7г ). (7.8.2х! Выражение (2!) ие применимо для малых зжяО. В случае з 0 формула яля среднеквздратнчного значения параметра порядка (средней интенсивности излучения) имеет внд (/) ~2нСэй-э(1 — з) э 1п йг„. (7.8.23) Отсюда видно, что критический индекс для средней интенсивности точно такой же, как в случае временных флуктуаций (см.

(11)). Из соотношения (17) следует, что г (1 -е) !гэ (1 — з) (7.8.24) где критический индекс ч' 0,5. Набжодался резкий рост радиуса корреляции лазерного излучения при подходе к порогу генерации, согласующийся с (24) [47[, и получено экспериментальное значение 7г а ч',„,„0,49 -<- 0,05, а для средней интенсивности значение критического индекса было)с 0,9-~-0,2 (рис. 7 33), Согласие теоретических я экспериментальных результатов исследования пространственных флук>;. туаций лазера свидетельствует о плодотворности дг применения методов теории фазовых переходов >ь для анализа процесса генерации лазера. Более строгая теория пространственных флуктуаций лазера вблизи порога возбуждения развита Страто.

иовичем [36[, который получил трехмерный аналог формулы (3). В работе [30) методом теории скейлнига изучен переходный процесс в лазере. Режимы работы лазеров можно классифицировать с точки зрения фазовых переходов; выше были рассмотрены режимы — аналоги фазовых переходов второго и первого рода.

Вместе с теи автоколебательиые системы могут представить интерес и для изучения фазовых переходов, например для моделирования иестацн- онарных фазовых переходов. Б этом отношении интересен генератор Вина [49[, который хорошо описывается феноменологической теорией Ландау. Рис. 7.33. Зависимости средней нитеисивиостн излучения (пунктир) и радиуса корреляции нэпу. чеиия (сплошяая линия) от параметра П= 1 — е Иитенсэвиость 7 измерена в имп/с, а радиус корреляции г„— в мкм [47). 5 9. Флуктуации поляризации лазерного излучения. Деполярнзацня, обусловленная спонтанными переходамн Спонтанное излучение в лазере оказывается причиной нс 1олько естественных флуктуаций ацплигуды и фазы, ио приводит н к деполяризации гене рнруемого излучения.

йз, олуктудции поляризлции ллэирного излучиния 647 Расчет «естественной деполярнззцниь лазерного излучения выполним нз примере лазера с брюстеровским поляризатором. Будем считать, что такой поляризатор, помещенный внутрь резонатора лазера, практически ие вносит потерь в моду, поляризованную вдоль осн к, н в значительной мере подавляет моды, поляризованные ортогональио, вдоль оси у. Однако даже в том случае, когда для моды, поляризованной вдоль оси у, порог самовозбуждеиия ие превышен, в резльиом лазере имеется споитзниое излучение из этой моде. Последнее приводит к слабой деполяризации генерируемого излучения Из-за флуктуаций амплитуд н фаз взаимно ортогоиальиых компонент пзрамстры эллипса поляризации флуктунруют во времени.

Мы рассчитаем стзтистпческие характеристики угла ориентации ф (1.8.44) эллипса поляризации н вспомогательного угла )( (1.8.45), связанного с коэффициентом эллиптичиостн (см. Рис. 1.23). Статистика указанных величии определяется статистикой змплнтуд и фзз ортогоиальиых лазерных компонент. Напомним, что статистические свойства колебаний для произвольного значения параметра накачки е были изучены в 4 2, результаты которого здесь будут использованы Примем для определенности, что к-компонента лазерного поля возбуждзется в надпороговом режиме (ех)1). Прн значительном превышении порога генерации флуктуацнямн интенсивности )х можно пренебречь Тогда функцию РзспРеделеиив огибающей Рх=! Ах! и фазы фх агйАх в соответствии с Результатами 4 2 можно запнсзть в виде 1 2гг ( х )ь')' (7.9.1) где р„— установившееся значение амплитуды, Рь,=((а)8) (е„— 1)) !ш С другой стороны, у-компонента излучения лазера вследствие потерь, вносимых брюстеровскимн окнами, находится в подпороговом режиме генерации (еу ( 1).

Пря этом статистике поля излучения является гауссовской, в для функции распределения огибающей ру и фазы фу имеем Ру ( — Р') ш(р, фу) — ехр( —, У' 2яаз ( 2аз ) (7.9.2) р„е у Р гзо ю(Р Ру 'Рх фу) м(рх фх) ш(ру фу)= (2па)' б(Р— Р ). Перепишем соотношения (1.8.44) и (1.8.456) в виде 1 2рхру соэ (фх — фу) ф = 2 згс(Я э !г (Рх Ру фх фу) 1 2!Эхрч эш (фх — ф„) Х 2 эссэ!п .