С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 80

и, ш' (6.5.146) Еслн волны не модулвровзны во времени н А=О, то урзвнення (14) прн- ннмзют следующнй простой внд; — рсАнсА",', дА, (6.5.15) Онн являются пространственным аналогом урзвненнй (6.4.32), н нх решение может быть ззпнсзно нз основзннн (6.4.33) кзк Ад(з)=АМ сЬ Гз+А!се нс Уйс(Резь Гз, Аз(з)= Аист Гг-)-А» ее'Я Уйз(рс зь Гл, где А~,А„, 1'с,с, с (6.5.17) Выражения (16) опнсывзют пространственное усиление волн нз чзстотзх юс н ы, Зависимость змплнтуд волн от г зкспоненпнзльнз.

Согласно (17) яозф. фнпнент прострзнственного уснлення пропорпнонзлен корню нз ннтенснвностн нзкзчкн (ряс. 6.10): = с Г с,с / А / к„,', (6.5.17з) Показав прннпнпнзльную возможность пространственного пзрзметрнческого усиления, рассмотрим теперь более подробно математическое опнсзнне этого зффентз В уравнения (14) могут быть добавлены члены ссь „учнтывзющне лннейное затухание волн: дАь з 1 дАс,з -сзс — + — — '+сс,,А,,-р,,Аю(З) Ай,с . (6.5,16) дз ис з д( й З. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УСИЛЕНИЕ ВОЛН Используя подстановку Ав Веехр( — (бг/2), уравненяям (!8) можно придать вид †" + — †" +(сдь з — /й/2) В,, = йд,зА, (З) В;, (6.5.!9) бг ид,з й При наличии группового синхроиизма (и,=и,=и„) или в случае монохроматической накачки (Ахе Айе=сопз1) УРавненин (19) сводЯтсЯ к системе из двух уравнений с постоянными козффипиентами.

д/ х Га е/ Ряс. 6.10. Зависимость козффипиента усиления й при монохроматической неслучайной накачке от длины взаимодействия (а) и интенсивности накачки (6). Запишем используемые в дальнейшем решения таких уравнений. Рассмотрям систему связанных уравнений дхд д«з — =аых,+аыхь — =аюх,+а,х,, дг дг (6.5.20) г, = В, = Ад ехР (1д)г/2), х =- Вде = Азе ехР ( — 1/(г/2). Общее решение для (20), удовлетворяющее при г 0 граничным условяям «,-хьь г,=хин будет следующим: ,Гдд „, в,Гд* Егдг х,(г)=х„ — д х + «за — лдь 1 — вдлдд ! — дпдлдд ЕГдх яд Лд Етдд х (г)-хц, лдз+х — дпдвз двз прячем аы+ а„- ° / (аы — а,з)з Г з= —.+. +аыам (6.5.22) Г,— а„ вЂ” аы вд= ид,= азд Гх — адд ' аы Г, — аю' Выражениями (21) описывается параметрическое усиление полувямх волн.

Кроме того, возможно также параметрическое усиление еапргчны«волн. В последнем случае граничные условия разнесены: например, амплитуда первой волны задается при г=О, а амплитуда второй, которая бежит навстречу первой,— при г !. Решение, удовлетворяющее таким условиям, имеет вид ед" — ед'"вдвзехР(Г,— Гз)1 (е '* — еды)едехРГз! (6..

) сГ" — сд' ехр (Гд — ГВ ! (ег" — вдет.г") ехр Га1 х (г)=хд, ' ! — едва ехр (Гд — Г,) 1 1 — едва ехр (Г,— Г,) 1 + «и— гл а. плрлмвтрическин системы Заметим, что иногда (например, при расчете полосы пропускания параметрического усилителя — см. (43)) в (14) необходимо учесть дисперсию групповых скоростей в пределах спектра каждой из волн. Зто сводится к добавлению членов со вторыми производными по времени (см. (8.1.20)) (" д 1 д ! даз + — -з- йз е — ) Аз е = Рт аАаа(а) Аф,е-'аа (6.5.24) з,а даа! д/ ! гле йз".т= — ~ = — ~ 1, и(в) — групповые скородаза )е=е, дв ~ и(в) !е=.е сти на частотах в=в!,.

Вырожденный параметрический усилитель; преобразование статистики амплитуды и фазы. Рассмотрим случай, когла частоты в, и ва совпадают: вт=вт=в„!2, А,=А,=А. (6.5.25) Такой ПУ называется вырожденным. Согласно (16) при этом А (г) = А, (г) = Аа с)!Гг+ Ааем оз)! Гг. Записав Аа через квадратурные компоненты ае и Ь;.

(6.5.26) Аа=еге е" (ае+(Ьа), и подставив (27) в (26), получим А (г) =е'е ' [а(г)+ гЬ (г)1, а(г) = а,ег', Ь (г) =Ь,е-г*. (6.5.28) (6.5.27) а) Заметим, что точным аналогом иыромдениого параметрического усилителя бегущей вози ы оказывается олиоконтуонык параметрический генератор (см, й 4 гл. 7 и 1!а,!. Как слелует из (28), вырожденный ПУ обладает следующей особенностью: в нем может усиливатьсп лишь одна из квадратурных компонент, а именно а,.

Это означает также зависимость усиления от фазы входного сигнала. Действительно, полагая А =! Ае;е'е, найдем А (г) = ! Аа ~ ее ~ (егт соз (~ра — зр„а!2) + !е- г'а!п(<ра — <р,а/2) з (6 5.29) т. е. А(г) — сон(ра — чз„е!2). Напомним, что таким же свойством чувствительности к фазе сигнала обладает и одноконгурный ПУ, который может быть назван также вырожденным, поскольку лля него выполнялось условие (25) (см. (6.2.17)) *).

Будем теперь считать сигнал А, случайным. Квадратурные компоненты а„и Ь, при этом случайны, и если сигнал стационарен, то (а,) = (Ь,) = О, (а!) = (Ь',) = оз)а (см. (2.3.3), (2.3.5)). Согласно (28) статистические характеристики квадратурных % о. ИАРАметРическое усиление Воли компонент на выходе вырожденного ПУ будут следующими: (а) = (Ь) О, (а') о1оеого (Ьо) = а~оое-ог'. (6.5.30» Неравенство (а') ~ (Ь') означает, что на выходе ПУ образуется периодически-нестационарный случайный процесс вида (2.4.41), у которого согласно (30) и (2.4.43) Оо = о)о з»з 2Гг~ ро =.

1»з 2Гг Дисперсия поля Е, (Г, г) = Аехр((а,1 — 7оог)+к, с. будет прн этом меняться по периодическому закону (2.4.44) с частотой а„=2а,. Предположим теперь, что входной сигнал Е,(1, О) =росоз(а„1/2+<ро) имеет гауссовскую статистику и стационарен. В этом случае огибающая этого сигнала р, распределена по закону Рэлея, а фаза <р — равномерно. Выходной процесс Е,(1, г) рсоа(а„Ц2+~р) также будет гауссовским, поскольку преобразование (28) линейно. Однако периодическая нестационарность поля Е,(1, г) приводит к тому, что распределения огибающей р и фазы ф будут иметь вид (2.4 47) и (2,4.51) и будут отличаться, соответственно, от рэлеевского и равномерного.

Это отличие растет вместе с усилением. В предельном случае большого усиления (Ггз 1) распределение для р стремится к гауссовскому (2.4.49) на полуоси р =О, а распределениедля ~р тягивается к б функциям(см. (2 4 40)). В этом предельном случае поле Е, имеет вид колебания со случайной гауссовской знакопеременной амплитудой и регулярной фазой: Е, (1, г) а (г) соз (а„(12+ ~р„о/2 — й,г), а (г) = аЕго. (6.5.31) Такое изменение статистики огибающей н фазы является особенностью вырожденного ПУ. Резонансная кривая параметрического усилителя. Усиление монохроматической волны в ПУ зависит от ее частоты.

Определим эту зависимость. Рассмотрим граничные условия (9) вида А,о(1) = А,е'"", А,о(1) = О, Аоо — — сопз1, (6.5.32) которые соответствуют усилению сигнальной волны Е, с частотой а,=а,+а. Частота а, пока произвольна, но в дальнейшем мы увидим, чему должна быть равна а„чтобы она совпадала с центром резонансной кривой ПУ, когда усиление на частоте а, максимально. В результате взаимодействия сигнальной волны Е, и волны накачки Е„в нелинейной среде возникает также холостая волна, имеющая частоту а„=а„— а,= ао — а.

Таким образом, решенив Гл.о.пАРАметРнчесхне системы для уравнений (!4) нужно искать в виде Ао (1, г) = АоК1 (а, г) е'о/ Ао (1, г) = АооКо (а, г) ело/ (6.5.33) Здесь Ко и Ко — частотные коэффициенты передачи, аналогичные коэффициентам передачи К линейных колебательных систем. В случае волновых систем коэффициент передачи, описывающий усиление, дополнительно зависит от длины г области взаимодействия волн.

Подставив (33) в (14), получим после подстановки К, х е-/о./о К, х /ох/о (6.5.34) для х, и х, уравнения вида (20): йх1 . /а д~ ех, ./а ь~ —,'+с(„— — — ) х,=(),А„охо, — '+1 ~ — -1- — ) хо =~оА,*ого (65.35) 1 ий Решение этой задачи дается выражениями (21), в которых согласно (22) . а /1 !т (Ь вЂ” ао)о Гьо= — 1 — 1'-+ — ~ ~ Го— (6.5.36) 2 ~~и, ио~ 4 Го =()6()о ~ А„о ~о, т= 1!и, — 1/ио. (6.5.37) За усиление ответственна вещественная часть Га равная Гхе Г, =)/ Го — (Л вЂ” ат)о/4. (6.5.38) Таким образом, усиление максимально для сигнальной частоты а„ =а,+Л7т и, соответственно, холостой частоты а„=а, — Л/т.

Определим теперь, какая волновая расстройка Л соответствует резонансным частотам аго и а„. Согласно (12) Ло = й (ао) й (а66) й (аа) — й(а„) — й(ао) — й (а,) — — й(а,)+й'(ао)- Ь Ь о о Но й(а„) — й(а,) — й(ао) =й„— й, — йо=Л, й' (а1) = ! /и„й' (а,) = 1(ио. Таким образом, о ~й1 йо/ о т. е. максимальное усиление в ПУ достигается на тех же частотах, на которых происходит обращение в нуль волновой расстройки (точно выполняется условие фазового синхронизма Л =О). Считая, что частота а, совпадает с резонансной (/о, = а„), положим в (34) — (38) Л=О.

Используя (34), находим теперь, $ г ИАРАметрическое усиление ВОлн что в случае большого усиления (г йеГг~!) К,(а, г) — ' = --ехр !ь — ! — ( - + '+ у Гг — — )г, ! — агвгг 2 1 2 !,иг иг! У 4 .1 ~К,(а, г)~ — ехр 2 ~/ à — — г — — егг*ехр ( — — 4Г аг), Гг,л !. (6.5.39) Таким образом, резонансная кривая ПУ имеет форму симметричной гауссовской кривой. Из условия уменьшения величины !Кг!г в два раза относительно максимального значения получим следующее выражение для полосы пропускания ПУ: (6.5.40) !ч! !' г Резонансная кривая вырожденного ПУ.

Выражение (40) дает в случае вырожденного ПУ (и,=и„ч=О) бесконечно широкую полосУ УсилениЯ. В Действительности Лапу остаетсЯ конечной, но ее величина определяется имеющейся зависимостью групповых скоростей от а. Формула (40) эту зависимость не учитывает. Обратимся к более точным уравнениям (37). Полагая в них Л О, имеем "+ — — '' — — 'й" "'„' =6А„Аг, ! (6.5.41) дг и д! 2 дн Используя (ЗЗ), получим для К, и К, следующие уравнения: дК, .ргы ! д, +' (- + 2 й"а'~Кг =6А.аКг, (,и д +! ( — — 2 й а ) Кг=РАырКг. дг (,и Эти уравнения того же вида, что и (20), и согласно (21) и (22) усиление связано с величиной Г,= -+1 Г (й") '".