С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика (1158187), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Шипении аыишр накачки. Полагая в (15) 6(в) 6, сопш, получям иб,а, (т,+т,) «+) а,)з)— а1е пб ! 1 —— т +т !+)а ] Это выражение показывает, что в рассматряваемом случае пороговая вели- чина спектра накачки равна бпор = (тв+ 7'в)/г( ш аси (6.4.17) р и аэ(ю) «ьа' Вид частотной функции Кз(в) сильно зависит от величины аы т. е.
в конечном счете от превышения накачки над порогом нестабильности Спектр 6 (в] прн 6(в]=бе=сопз1 показан иа рис 6.8. Анализ выражения (20) показывает, что в области малых аэ, когда )ьг Гттг)ьс)' — 1 ф-гггн (6.4.21) функция; Кз (в) з имеет максимум в нуле. При 3 3 1 и 3с)тгу — \1 (6.4.22) в нуле имеется минимум, а два симметричных максимума ( ' К, (в) ,'э †четн функции в) приходятся на частоты , У~ — 1 — — /(-У(!+В+В а Р)э — «+В] (6.4,28) и а К1 бе/6 р) бе/6 р ( 1 (6.4.18) !ага=бе/бпор — 1, бе/бпор)! Таким образом, расширение спектра накачки существенно изменяет зависимость средней амплитуды а, от интенсивности накачки. При узком спектресогласио «6) а, /; прн ши- 1/4.
роком спектре, как видно пз (18), 6 / о 1/г 1/г е зе Нелинейный эффект образования прввала в спектре накачки. Как следует из (!2), спектр колебаний в контуре накачки имеет следующий вид: 6 (в) = Кз (в) )з 6 (в), (6.4.19] К ( з 1+ атее ) «+ (вт,) (1+ !вт )я+ ', а, )в )з ' (6.4.20) Рис. 6.6.
Спектр 6,(в] модуляции емкости С(/) при широком спектре накачки (см. (!9)) К=О 'а — превышение епект. пор ром нвкнчкв а, порогового вне. чення, соотнетсгвуюгпего потере стебнльностн (в лвнеаном ярн. блнменннк М' — нянчение а(. прн котором в спектре ае(и) появляется провел †. (гтн). гл. з плрлмнтричкскин систнмы Сами максимумы равны ] Ка(юаз з Я (6.4,24) ("у) '-П'1" " '4 П-'Г Согласно (20) ° 1 ] Кз]езп 1+ а . ° з 1' (6.4.26) т.
е. провал частотяой функции в нуле углубляется с ростом а,. При боль ших а, из (23] н (24) находам также — взмах> з ] Кз !юах (1 ( )] ] (6.4.26) [уу( з ]Л2+])( бз Дф 1~' ( бз )'" (6.4.28) В заключение отметим, что с увеличением бз остается постоянным произ- ведение бамах ' заз]а йрр ( 1 ) (1 ] сопя( в,т, . в, пбзб (з (з (з=(з — ° (з= т' ' т+т Провал имеется также в спектре флуктуаций аз. Согласно (12) о,]а ]ам!6(в) (аз+мерз в'+(азия+а,о, ~ а, ~з — в')' б (в)— 'а, т а(е] (т,+т,]зез+(1+,а, р 'тзтз]з ' (6.4.29) Максимумы функции ]Ка(в)]з ие совпадают, вообще говоря, с максимумами спектра бз(в) (см (19)) Исключение составлиет случай 6(в)=бз сопя(, который мы и рассмотрим более подробно.
Интегральная интенсивность флуктуаций йз в пбз (1+)]+В ] а, ].] !з 2~ бз(в)]К,(е),"ае о при увеличении бз также увеличивается, т. е. аффект ограничения интенсив- ности ум имевший место при узком спектре накачки, в случае широкого спектра пропадает Как следует из выражений (18) и (25], провал спектра бз(е) при в=б углубляется по мере увеличения мощности накачки: бз (О) = бйор/бз. (6.4.27) Согласно (18) и (22) образование провала спектра в нуле имеет место лишь при достаточно большом превышении порога нестабильности, а именно когда бз(бззр У]+2()+28з=л'.
(6.4,27а) Ширина Ье=2в ю области провала с ростом мощности накачки увеличи- вается, поскольку, как следует из (23), за. плрлматричвскок усиление волн Если 6=6, и 6п/6ппр)(1+Рп)/2(), то спектР 6з(м) имеет мииимУм в иУле )л,) 6, *'/'. а мп1п (1 1 ) д )п)п пм Г 6ппр и два симметрячиых максимума ) д)пр6, з х Г 6„4(1+()з) Ч ' (1+6)'~ 6 пер Р Устаиовлеиие колебаиий в параметрвчесиом генераторе.
Материал предыдущего раздела характеризует статистику установившихся колебаиий в двухкоитуриом параметрическом генераторе. Для того чтобы рассмотреть кврткиу установления параметрических коле. баиий, самовозбуждающихся при / )/п„, уравиеиия следует решить с изчальиыми условиями при / 0: А~(0) Фо, (6.4.31) ш=1, 2 Надо сказатгь что процесс сзмовозбуждеиии параметрического геиерзтора обла- дает целым рядом особеииостей по сравиеиию с самовозбуждеиием томсоиов- ского геяератора, рассмотреииым в 4 7 гл. 1. Например, если изчальиые амплитуды иа обеих частотах ыь ыз отличиы от пуля, то процесс самовозбуж- деиия зависит от соотиошеиия между иачальиыми фазами колебаний иа часто- тах пи, пч и фазой иакачки.
Некоторые следствия этого обстоятельства дли вырожденного режима ы,=оп=-юп/2 обсуждаются в 4 4 гл. 7. Длп моиохроматкческой иакачки, Ам=сопи, начальный этап процесса устаиовлеиип (пока амплитуду иакзчки можно считать ие измеиившейся) опи- сываетсп уравяеииями (Зз), (Зб) (ззтухаииями для простоты преиебрегаем): А, Р,АмАп, Ап=рпАмА;. (6.4.32) С учетом изчальиых условий (31) решение имеет вид Аз (/) = Аз (О) с)з Г/+ Ау (О) е'е" )' рз/()и з)з Г/, (6.4.33) Ап (/) = Ап (О) сЬ Г/ + А, (О) егг" г'()и/р, з)з Г/, где и'е-=А„/ Ам) Г=3 Яь', (6.4.34) Полученные выражеиия показывают, что нарастание во времеви колебзиий происходит по экспоиеициальиому закону: Аж (/) ехр Г/, (6.4.35) причем иикремепт времеииого усиления Г пропорциоиалеи корию из иитеисивиости накачки: )//и /п=~ Ам~к (6.4.36) ф б.
Параметрическое усиление волн ййеханншм параметрического взаимодействия волн. При определенных условиях параметрическое усиление может быть получено в распределенных системах, например в длинной линии передачи, 442 ГЛ. 6 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ если ее реактивные параметры, например распределенная емкость, меняются по закону бегущей волны: С = С, [1+ т соз («6„1 — й„г»1 (6.5.1) (ср. с (6.2.1)). Если величина т в (1) превышает характерное пороговое значение т„р, то в среде, описываемой (1), волны на частотах «ои «в„удовлетворяющих условию «6,+«6»- «6„, могут экспоненциально нарастать в лространсаве: А (г» ехр Гг. (6.5.2) Этот процесс совершенно аналогичен экспоненциальному нарастанию во времени колебаний в двухконтурной системе при 1„ ) 1„,р (см.
(6.4.35)). Хотя такие процессы наблюдаются в диапазоне СВЧ на длинных линиях, нагруженных полупроводниковыми диодами с р — л-переходом, особое значение они имеют в оптике, и ниже основное внимание уделяется оптическим задачам [3, 17, 27 — 29$ В распределенных системах, точно так же как и в системах с сосредоточенными параметрами, модуляция реактивных параметров осуществляется обычно электромагнитной волной (волной накачки). В оптике бегущую волну типа (1) — здесь это, очевидно, должна быть «волна диэлектрической проницаемости» е = е,+е, сов(«6„1 — й„г) (6.5.3» — можно получить, например, если на среду, действительная часть поляризации которой квадратично зависит от напряженности светового поля: Р=ИЕ+уЕ», Р=еЕ=Е+4ПР, (6.5.4) падает интенсивная волна накачки Е„(1, г) = А„сов («6„1 — й„г) (6.5.5) Ниже будут детально рассмотрены различные режимы параметрического усиления волн; особый акцент будет сделан на исследовании так называемой шумовой накачки, т.
е. когда Е„(1, г)— плоская, случайным образом модулированная волна. Амплитудные уравнения. Рассмотрим взаимодействие трех плоских модулированных волн в среде с квадратичной по полю нелинейностью. Полное поле в среде запишем в виде суперпозиции трех волн; нелинейность приводит к медленной (в масштабе длины волны и периода» зависимости комплексных амплитуд от координаты и времени: Е л($, г) =Аь«(1, г)ехр«(«вк»1 — й,,г)+к.
с., (65 6) Е«(1, г» = (А„(1, г) ехр ю'(«661 — й„г)+ к. с. (6.5,7» 4 и. ПАРАметрическое усиление волн 44З Медленно меняющиеся комплексные амплитуды удовлетворяют соотношени ям ~,"< А, дА, индекс «н» соответствует волне накачки. Все волны распространяются слева направо параллельно оси г (рис. 6.9). Падающие на нелинейную среду волны считаются известными, т. е. все амплитуды задаются при г 0 как некоторые функции времени: А (1, г - О) = А. а (!). (6.5.9) Задача состоит в том, чтобы найти амплитуды А„ (илн их статистические характеристики) в области г ) О, заполненной нелинейной средой. Суммарное поле Е удовлетворяет волновому уравнению д'Е ! даЕ 4н даР й!а и йга = са дга . (6.5.!0) огл а г Рис.
6.9. Схема нараметричесиого вааимодействвя волн в нелинейной среде Исходя из (10) и используя (6) — (8), можно получить уравнения, описывающие непосредственно амплитуды А, — так называемые укороченные уравнения. Вывод этих уравнений рассматривается в 9 1 гл. 8.
В случае слабонелинейной квадратичной среды (4) уравнения для амплитуд имеют внд (см. (8.1.20)) (6.5.1! а) — + — — =()аА А,и-ал дА, ! дАа а дг иа д! а 1 а ))„А А егаг дАа ! дАа дг и„й (6.5.11в) (6.5.11б) Постоянные 6 со в этих уравнениях определяются нелинейностью среды (см. (8.1.21)); так называемая волновая расстройка в (11) равна 8 =й„=йх-йа (6.5.12а) и зависит от волновых чисел л = й(го ). Из (11) видно, что эффективное взаимодействие между волнами и, следовательно, эффективное параметрическое усиление возможно лишь при условии, что величина Ь достаточно мала.
Условие Л= О, при котором й„= йг+ йе (6.5.! 26) и взаимодействие волн наиболее эффективно, называют условием фазового синхронизма. Если же Л велико, то правые части в Гл. ь. ПлрлматРнчвскиВ систамы уравнениях (11) быстро осциллируют и волны в среднем практически не взаимодействуют. Приближение заданного поля накачки. Система уравнений (! 1) является нелинейной. Однако если амплитуды А, и А, малы по сравнению с Ан, то нх влиянием на Ан можно пренебречь, записав уравнение (11в) приближенно как дАн 1 дАн "-+ — — "=0.
и Отсюда, учитывая граничное условие (9), находим при л)0 Ан((, г)=А„з(6), 6=! — г/и„. (6.5.13) В этом случае амплитуда накачки в нелинейной среде является известной. Подставив (13) в (1!а) и (116), мы получим теперь систему из двух линейных относительно А, н Аз уравнений: с ! д 4с () А (6) Ане-слг (6.5.14а) дз и, Ф вЂ” з+ — — '=()зАне(6) Ась 'з'. дз .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
