С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 78

В отличие от ранее рассмотренного случая о„=:~2вн, предположим теперь, что он н 6~ ~~он ч~~ он (6.3.33) т. е. спектр накачки $(1) расположен в области низких частот (рнс. 6.6, область а). Условие (33) дает возможность от точного уравнения параметрической системы и+ 2ай+ ой(1+ е (1))и = ойЖ (1) перейти к укороченному, полагая Ж=е' '(о — во), и=емчК(в, 1) я считая К (о, 1) медленно меняющейся случайной функцией (К к,онК). В результате получим уравнение для К(в, 1) следующего вида: К+|а — 16+ 2, е(1)~К= 2., б=о„— в.

(6.334) Если спектр накачки значительно шире резонансной кривой контура, то процесс $ в (34) можно считать б-коррелированным (Д, = 206 (т)). Тогда К< > = — -",— '. К ~ $(з) йз, $К=$К >= — -",'-. 0К. с ск Учитывая этот результат н усредняя (34), получим следующее уравнение для К: + 4 ) 2' (6.3.36) Мы видим, что действие низкочастотной накачки оказывается принципиально другим, чем высокочастотной: она создает положительную добавку к а, т. е.

как бы увеличивает собственные потери контура. Можно сказать, что низкочастотная шумовая накачка стабилизирует систему, в то время как высокочастотная— ее дестабнлнзнровала. Заметим, что этот результат можно было бы предвидеть, так как в рассматриваемом случае в„удовлетворяет соотношению (6.1.3а) вн ве — в О, а не (6.!.3) он — вэ+в-2в„. Стохастнческая нестабильность н стохастнческая стабилизация. Теперь можно объяснить, почему широкополосная накачка нс влияет на величину К(о, 1), хотя высокочастотная приводит к ГЛ. К ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ росту К и даже к обращению К в со (см.

предыдущий раздел). На рис. 6.6 показан спектр широкополосной накачки. Заметное влияние на К могут оказывать низкочастотная и высокочастотная области этого спектра, отмеченные на рис. 6.6 штриховкой. Но область и дает положительную поправку ые0(4 к коэффициенту потерь а, а область б — такую же по величине, но отрицательную (см. (17) и (35)). В результате обе поправки взаимно компенсируются и не влияют иа величину К. Итак, изменение параметров системы по случайному закону может оказывать как стабилизирующее, так и дестабилизирующее влияние. Потеря устойчивости, обусловленная случайным изменением параметров системы, встречается во многих колебательных и волновых задачах (параметрическое взаимодействие, вынужденное комбинационное рассеяние света и т. п.).

Это явление иногда называют стохастической нестабильностью. По аналогии, в тех случаях, когда в результате случайной модуляции устойчивость возрастает, можно говорить о стохастической стабилизации. Простые оценки порога неустойчивости при шумовой накачке. Нормированная резонансная кривая контура может быть записана как ап/ [а'+ (~ — ~д']. Рассмотрим фильтр, настроенный на частоту накачки, но по форме резонансной кривой (К(ы) ' идентичный с контуром: ! К (ы) 'з = а',' (ат — (ы — 2ыА)т1.

Если представить, что накачка $(1), имеющая спектр интенсивности 6„"(е), подана на вход этого фильтра, то средняя интенсивность процесса на его выходе будет равна а = 1 6;(0)) ~К(ОНТйы. 0 Наглядный смысл дисперсии (36) состоит в том, что она характеризует среднестатистическую величину интенсивности накачки в полосе частот, равной полосе пропускания контура. На примере уравнения о+ 2ав+ во (1+ $ (1)1 и = ыо ~е (1) оценим теперь критическую величину интенсивности (36), соответствующую потере устойчивости в одноконтурном ПУ для трех уже рассмотренных видов накачки: (а) гармонической $ (1) = т соз (2оо(+ ~р.); (6.3.37) 4 з штмовля нхкхчкх в пхвхматгнчкскнх системхх 4ЗЬ (б) квазигармонической $(1)=т(1)соз[2оо(+~у„(!)) А(1)с" о'+к.

с., (6.3.38) спектр которой значительно шире резонансной кривой контура: А/А Ьо„, а ч~ Ло„~ оо', (6.3.39) (в) квазигармонической с диффузией фазы $ (() = т соз [2о,1+ ~р„(1)1, спектр которой может быть произвольной ширины: а~~бо„ч о,. Для гармонической накачки (37) г'и (о) 2 б (о — 2оо) и согласно'(36) оа тх!2. Подставив сюда л!=т„,„=2Я, получим о'„„= 2Я' (а). (6.3.4 1) Спектр квазигармонической накачки (38) предполагался почти не меняющим своей величины при изменениях частоты порядка а (см. (39)), так что прн интегрировании в (36) функцию 6„"(о) можно считать постоянной: ох -6„'(2о,)~ К(о),хйо=апбй(2о,).

(6.3.42) о Учитывая (11), выражение (42) можно переписать как е- "2а0. (6.3.43) Согласно (19) пороговое значение константы О равно (6.3.44) Подстановка (44) в (43) дает величину о„',р — 2а0„",', ° 2А;и (б), (6.3.45) совпадающую с (41). Наконец, накачка с диффунднрующей фазой (40) имеет спектр интенсивности ~+ „тзРо ! "= ъ от~т з~. Подставив это выражение в (36) и интегрируя, получим и' ! ! + Рв~~ гл. б пАРАметРические систнмы Но в этом случае согласно (27) гп„,р — — — )/! + Оо/а, 2 так что опять шйор 1 2 2 1+ Ве/а ()з (6.3.46) й 4. Эффекты насыщения Дауююптурвый параметрвческвй генератор. Есля внтевсвавость накачкв превышает пороговое значение (6.3.46), то провсходят потерн устойчкаосгв а свстема становится параметрвческвм генератором.

Огранвченве амплитуды нарастаюшкх колебавпй (васьпценке) проасходпт, очевпдно, за счет обратной реакцвн вх ка накачку. В зтвх услоавях им/г) парамегрнческке колебанвя на частотах ю, в ф юз в колебанкя накачка становятся рааноцраанымв, в задача сводвтск к ксследоазквю ззавЫодейставя колебаккй ка трех частотах мы юз в мв=юл — ю, +юс на нелвкейвом элементе, вапркмер пелпнейной емкостп, заряд на кото- и й/ рой равен д = свп+ сгнв+ .. Рнс. 6.7. Схема пзраметрнческого генератора. В отлнчне от схемы пврвметрнчвмсого усялнтелн (рнс. б. В.

веков нвменення емкости С Н)теперв веренев не нввестс»; он определяется с учетом обратной ревкннн Колебвнна в контурах м„ ° нв нолебвяян в контуре явквчнн мс. Рассмотрим холебанкя н схеме так называемого даухконтурного парзметрвческогв генератора (ПГ), взображенпого на рвс. 6.7. /Еы будем рассматряаать его как нелпнейный усклвтель монохроматяческого свгнала иы(/), вастроеаного и резонанс с частотой первого контура. Таким образом, а этом параграфе мы будем счктатьп что генератор возбуждается от внешнего постоянно действующего свгнала, а ве в результата некоторого начального отклонения от положения равяоаесвя (см.

4 6 гл. 1). Еслв свгвал относвтельно мал (им Спзе), то обе моделя возбужденна н области выше порога генерацпя дают првмерпо одвнаковую карткку колебаяпй, особенно прв шумовой накачке, которая рассматрваастся анже. Амплвтудпма уравненая. Считая контуры аысокодоброгнымк, будем предполагшь, что каждое вз колебанвй яаляетсп узкополосным случайным процессовс ин Ав(Г)в~~я~+к. с, л 1, 2, 3, (6.4.1) прячем амплитуды характервзуются отвоснтельяо мадленнмм вэмепеквем ао Ан/А„~Ил.

(6.4.2) Устойчивость результата о„'„= 2/(/з показывает, что им, повидимому, можно пользоваться для оценки критической интенсивности накачки для спектров (/,"(ш) различной формы. % е эФФнктм нлсмшнния Узость спектров колебаний (1) позволяет вместо точных ураввеняй для и„(!) вада (6.2.2!] вспользовать прн опнсання рассматрпваемой системы укороченные уравнения для Аэ(Г), аналогичные (6.3 6) плп (6.3.12): А,+агАз ВгАзА'+ахАи(!) Аз+ азАз йзАэАе, А -]-аеА — ()зАзАз+изАм(!) (6.4.3а) (6.4.36) (6А.Зв) В этих уравнениях Ам(Г) и Аы(!) являютси задапнымя фуккпвямн времекп: Агэ(!) опнсывэет усвлнваемыч сигнал, а Ам(!) — нанряженпе накачки.

Постоянные аэ равны полушнрнне частотной области резонанса п-го ковтура, КезффяПЯЕНтМ ПРВ НЕЛКИЕйпЫХ ЧЛЕпаХ (]я Фю Подстановка (6.4А) прпводнт (3) к виду Т,а,+аз азпчз +ам(!), Тапа+аз азоч, Тза э+аз = — азпз+пзз (!) (6.4.5а) (6.4.56) (6.4.5в) где Тг=оя ° й(опохроматвческая накачка. Еслв накачка и входной сигнал пемодулярова- вы, а,з, ащ-— сонэ(, то, полагая в (5) а„О, получки пг о м ! — ]а(,!/(1+!а,",)з ' В области лвнейкого усиленна (!аз]~1) согласно (6) а, а,з /(1 — ]а$, , '), что соответствует (6,2.26). Таквм образом, в првпятой нормвровке (4) пороговая внтенспвпосгь для немодулнрованной вакачкв раааа едвнвне: (эср ]озз !пор В области над порогом амплвтуда выходного свгнала мало заввсвт от отно- сительно слабого входного свгявла в, как следует пз (6), ]о)! !аэз! — 1.

(6.4.6] (6.4.6а) С той же точностью уровень колебанпй в контуре накачки в области над порогом остается постоянным: ]азз! — 1 — !ам!з/(!а „, '— 1)-з 1 (6.4.9) (эффект ограничения по накачке). В]уповая накачка — метод уравнений Дайсона. Рассмотрвм теперь шумовую накачку, полагая, что в уравненвя (5в) ащ(!) =К(!)-стаппокарный случайный пронесс с нулевым средним в спектром 6(ю]. Амплитуду входного сягяала ам будем считать для простотм постоянной. Для получения прпблнэгеввых уравнений для средних мм используем метод уравнений Дайсона, рассмотренвмя в гл. 1. Гл.

6. пАРАметРические системы Как видно яз структуры уравнений (5), амплитуда аа является четной функцией 5. а а, я а,— нечетными. Отсюда следует, что отлячное от нуля среднее значение имеет лишь амплитуда а,; аа аз+ йа, ао йв аз= йа, причем йа=й',"+й',"+..., йо й',и+й,"'+..., йз=йп'+й',"+..., где верхний индекс означает порядос по й. Будем искать а,. Проведя усреднение уравнении (5а), получям а,=<й,й,)+а . (6.4.10) Учитывая, далее, в (56) и (5в) лишь флуктуационные члены первого порядка по $, получим два флуктуапионных уравнеияяу той!" +й!" =йааа'аоа, т йаи+йаа'= — аайои+5 (!).

(6Л И) Подставляя в (11) выражения для а',и и а'," в виде интегралов Фурье аяи'= )г аяееаава ав, й )г йоае™ав, получим аде (1+!вт,)(1+! Т,)+, 'а,1 (1+ !Втз) ве азао— (6.4.12) (!+иота) (1-1-!вТ )+1а,,а Теперь можно найти входящую в (10) величину (ааааа) (аи'а,'и*) ) ) ав ав'еПе о )г (аа, ао~,). Подставив (12) в (13) и учитывая, что (оаойва Г С (в) б(в-в), получим С (в) (1 + иоТз) ав Д '(1+авТ,) (1 +!втз)+! а ' 'а' (6Л.

13) Подставив, наконец, (14) в (10), получим искомое уравнение для а,: оо С(в) ав а,=а, ~ !+,,в,(,+ т + „, +око (6.4.15) Рассмотрим два предельных случая. 1. Узкий спектр накачки. В предельном случае бесконечно узкою спектра накачки имеем С(в)-)а!о!5(в). В результате уравнение (15) прямет вид аа)аао ~ й,= (... +ао. Это уравнение, как легко убедиться, в точности совпадает с (6), если заме нить средние величины на мгновенные: ад — а аа, ~ а!о, -о ~ а!о ~. Таням образом, 4 4 эФФекты нлсышения при превышении порога генерации в соответствии с (8) ]а В (/ ]1/г (6.4.16) 2.