С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 77

рис. 2.7 н 2.8). Аналогичная картина имеет место и в параметрическом усилителе волн (вырожденном) '). Деухконтурный ПУ. При усилении стационарного внешнего шума в обоих контурах ПУ при этом возбуждаются случайные колебания, которые стационарны и имеют постоянные дисперсии (34). Соответственно фазы этих колебаний будут распределены равномерно в интервале ( — и, и), а распределение огибающих будет зависеть от статистики входного шума.

При гауссовской статистике огибающие, очевидно, распределены по закону Рэлея. й 3. Шумовая накачка в параметрических системах В 22 1, 2 спектр накачки считался бесконечно узким, Ло„=0 (гармоническая накачка). Используя эту модель, мы имели в виду, что на самом деле ширина спектра конечна, но она мала по сравнению с некоторыми характерными частотными параметрами задачи. Как вытекает из рассмотрения одноконтурного и двухконтуриого ПУ, в качестве такого параметра естественно взять ширину полосы пропускания Лопь =2аа (6.3.1) (см. (6.2.16) и (6.2.33)). Однако е в (1) стремится к нулю по мере приближения амплитуды накачки к критическому значению. Следовательно, неравенство Лов '4.

Лопь (6.3.2) всегда нарушается в области, близкой к порогу неустойчивости ПУ. , ~) См. й Ь. ГЛ. О. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Квазнгармоннческая накачка. Рассмотрим одноконтурный ПУ, считая накачку квазигармоническим случайным процессом вида (2.3.1), ширина спектра которого мала: по>н ч» мо. (6.3.3) Будем опять искать коэффициент передачи К(о, 1) усилителя, полагая в (6.2.3) Ж(1)=е' ', и=К(оо, 1)е'"', К (оэ, 1) К,(оо, 1)+ К,(оо, 1) е ло(1) сов(оэ„1+ро(1)) = А (1) е'"н'+ к.с., где, в отличие от (6.2.6), величины Ко(в, 1) и К,(оо, 1) теперь считаются случайным образом меняющимися. Учитывая (3), пред- полагаем, что изменение во времени величин К„КТ и А происхо- дит достаточно медленно: хч'ооох (х=А, Ко, К,). (6.3,5) Подставив (4) в (6.2.3) и учитывая (5), получим для Ко и К, следующие укороченные уравнения: Ко+ 1а — 1(оэо — оо)1 Ко+ — ! А (1) Ко = — ' 21 (6.3.8 ) Х,+( — (мо — ыЛК,— -,")'-А (1) Ко=О.

При монохроматической накачке, когда А**тео/2=сопз1 и Ко,,=О, система уравнений (6) совпадает с (6.2.8). Йз-за флуктуаций коэффициента передачи К(в, 1) отклик (4) ПУ на гармонический сигнал будет теперь флуктуирующим: если Ж(1) исоа(в1+<р), то (1) = Ф евам К (щ 1) + к.с. (6.3.7) Из (7) видно, что среднее значение (и) выражается через моменты первого порядка К,, К,; для того чтобы найти дисперсию и, нужно знать моменты второго порядка К,, К,)(,, К(, тат~, Х,К;, Щ (6.3.8) и т. д. Бели воздействие Ж (1) является шумовым, то дисперсия процесса и(1) ~ К(оо, 1)Жое""йо, (Ж„Ж„) б„(оо)8(оо+оэ'), — ОЗ может быть записана как ((ио)) 2 $ )7 (оо, 1) )о 6,„(оо) йо.

(8.3.8а) о э э. пдэмовАя нАкАчкА в пАРАматРичаских В (8а) двойные угловые скобки означают ус статистическим ансамблям: внешнего шума и нака да ° ° ° --- '. ЛГМ ЧД ° д следние три момента (8). Мы приходим, таким образом, к задаче об определении моментов первого и второго порядка функций К, и К„удовлетворяющих системе линейных дифференциальных уравнений (6) со случайно меняющимися коэффициентами А (1) и Аэ (1). Эта задача решается точно (причем для системы из произвольного числа уравнений), если можно предполохсить, что все случайные коэффициенты б-коррелированы, т. е. что время корреляции коэффициентов А (1) намного меньше, чем наименьшее из времен релаксации системы: в!и (6.3.9) В рассматриваемом здесь случае т„Лад„', тр„сгд, так что неравенства (3) и (9) можно переписать как ~ч й (6.3.10) т.

е. спектр накачки должен быть намного шире резонансной кривой контура. Предполагая условия (!0) выполненными, будем считать теперь в уравнениях (6) процесс А (1) комплексным белым шумом: (А) =О, (АА,) =О, (АА,*) =206(т), (6.3.11) где корреляционную постоянную О следует определить из соотношения СО АА,* бт 20, в левую часть которого подставляется истинная корреляционная функция комплексной амплитуды накачки. Рассмотрим, например, как находятся первые моменты К, и К, Усреднив (6), будем иметь )дэ+[а — д (адо — ад)1 АР+ ф АКд У~. (6.3.12) Кд+[а — 1(ы„— ад))Кд — "— !'А К,=О.

Чтобы решить (12), средние АК, и А'К, нужно выразить через Кэ и К,. Для этого, используя динамические уравнения (6), выделим ту компоненту, например К„ которая линейна по интегралам от случайных коэффициентов уравнений (см, (!.7.20)) д к,а"'= — ",.'КдА (1), ко" — "—,.'Кд4, д[ ~ А (9) иэ. (6.3.13) п<д гл о параметрические системы Только эта компонента Ко коррелирует со случайными коэффициентами А,(1) и А((1) в (6). Используя (13), находим с учетом (11) (А Ко)=(4 Ко )= 2~Ко0' (6.3.14) Для функции К, находим аналогично = 2' КоА (АК,) = (АК,'"') = 2-. К,0.

(6.3.И) Подстаеив (14) и (15) е (12), получим замкнутые уравнения для первых моментов: 4 о 2(' )(Р, + [(х — "— '- 0 — 1((оо — (о)~ К, О, (6.3.16) из котоРых следУет, что в УстановившемсЯ Режиме ®о,=О) (оо!2 о = (~ ) =(о (о+(„1( (ооО(4((1, Ко =и О. (6.3,17) Согласно (4) и (17) сигнал на выходе ПУ будет следующим: и= — 'е'""'о К((о, 1)+ к.с. = 2 — соз ((о)+(р -1- ф), (6.3.18) где ф = агй ((оо — (о+ ихе,), е 1 о 1 Оп аР О „, 4(п (6.3.19) ч~ пор о ' пор о Резонансная кривая для этого сигнала характеризуется шириной б(о)(у = 2ает, (6.3.20) которая уменьшается с ростом спектральной интенсивности накачки, пропорциональной О, и обращается в нуль при 0=0'„',р. (1> Величина О(„",, соответствует потере устой«ивости, т.

е. обращению в и первых моментов й и К,. Заметим, что, в отличие от ПУ с монохроматической накачкой (см. $ 2), здесь нет зависимости усиления от фазы (р сигнала. Это связано с отсутствием второй компоненты сигнала на холостой частоте (так как К,=О). Можно сказать, что холостая компонента при шумовой накачке имеет чисто флуктуационный характер. Линейные уравнения типа (16) могут быть получены для моментов любого порядка. Заметим, что характерные параметры е„, 4 В. шумовАя НАкАчкА В пАРАметРическнх 17по~р и Аю)7у, вообще говоря, уменьшаются с момента. Накачка с днффундирующей фазой.

Эта спе позволяет проанализировать параметрическое у случайной квазигармоннческой накачки с произвольной шириной спектра (ср. с (10)) 2аб.:Аюа'~~~ма. (б 3 21) Амплитуда и интенсивность накачки при этом постоянны и не случайны, а фаза образует случайный винеровский процесс: р А (1) = — е'о» "', т сопз1, (6.3.22) й ядка одель поле Рис. 6.5. Лорснпсвский спектр йн(ю) накачки с днффунднруюп)сй) фазой. Спектр накачка О„<ы) может быть уже )Оа<а) нлм шаре (Оа>а) реэонанпной кранов «холодного» контура. покаэанной пунктаром фн(1)= ~ $(8)дй, — оэ (йй,) = 20„6 (т).

(6.3.23) Здесь Оо — произвольная константа, имеющая размерность частоты. Такая накачка имеет лоренцевскнй спектр ширины Ью, 2В„ симметричный относительно частоты 2юа (рис. 6.5). Подставив (22) в уравнения (6) и полагая Кх=уе Рани), придем к системе линейных дифференциальных уравнений с 6-коррелированным коэффициентом й()): Ко+(~ — (6) Ко+4) у=."- ~У (а — (6 — 4 (0) У вЂ” ~. К, = О, 4! (6.3.24) где 1/ ~ 1 а ~/ 1 1 Оэ Сравнение выражений (6.2.12) и (27) для критического значения коэффициента модуляции показывает, что расширение спектра (6.3.27) где 6 = ю — ю.

Отсюда методом, использонанным в предыдущем разделе, можно получить точные уравнения для К, и р. Уравнение для Ко будет следующим: Ко+)'» — 16 — ')а — ьь - — — (5й) Ко = к,'- (6.3 25) Согласно (25) при нулевой расстройке (6=0) и стационарном режиме усиления (Фо =О) К =— (6.3.26) 432 пардмвтрнчвскнв снстнмы накачки урелнчивает т„,р в )Г1+1ле/а раз, где Оо/а — отношение ширины спектра накачки к ширине резонансной кривой контура. Широкополосная накачка.

Проведенный выше анализ относился к узкополосной случайной накачке (Лв„~ ве), спектры которой схематически представлены кривыми на рис. 6.5 и 6.6 (область б). Используя и принципе ту же методику, можно рассмотреть и широкополосную накачку, для которой (6.3.28) ее спектр 0„(в) =сопз1 показан на рис, 6.6. Рнс. 6.6, Спектр 6-коррелкроаанноа накачки, Ри(в)=РУп. Выделены стзбнлизирующаи ни«нечаст«тизл (а> и дестабнлнзнрующаи «ысоночастотнен зб1 части сне«тра Пунктиром «оказана резона«сали ирна«и «лолоднего резонатора Будем теперь исходить не из укороченных уравнений (6), а из полного уравнения (6.2.3): й+ 2хи+ ве [1 + ь (1)] и = вЯ (1), (6.3.29) где теперь с учетом (28) функцию $(1) можно считать вещественным белым шумом: 3=0, Д~=2Вб(т).

(6.3.30) Полагая и=х, перепишем (29) в виде двух уравнений первого порядка: х = в«о (1) — 2ах — в1[1+ $ (1)) и, и =х. (6.331) Система уравнений (31) того же вида, что и (6) или (24). Однако структура (31) такова, что коррелировать с $ будет лишь компо- т пента х, равная хоо=в3й$, $ )$(В)с16, а и<н~ О. Поэтому вас кинн0, так что, усредияя (31) по ансамблю $, получим Х= — 2иХ вЂ” вгЙ+в«Ж(1), й=Х, или Й + 2сит+ вазй взоЖ (1).

(6.3.32) Мы получили несколько неожиданный результат: согласно (32) накачка типа белого шума вообще не влияет на величину й. Это на первый взгляд не согласуется с полученной ранее картиной; Ф 3 ШУМОВАЯ НАКАЧКА В ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 43З как выражение (18), так и (26), наоборот, показывают, что накачка существенно влияет на велнчнну й, а прн некотором критическом уровне прнводнт к потере устойчивости (й-~оэ). Чтобы разобраться в этом парадоксе, рассмотрим еще один внд шумовой накачки — низкочастотную. Низкочастотная шумавая накачка.