С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 76

е. в (3) т = сопз(, ф„= сопз(, г», = 2гоа. (6.2.4) Общее выражение для К (го, () нмеет вид ряда (6.1.2), но достаточно учесть лишь нанболее существенные резонансные члены, ш* 42! 4 т преовРАЗОВАние сигнАлА и шума и велико дополнительное усиление, обусловленное накачкой, (9) можно переписать как вв/4 К„(в) = В этом же приближении (е~1) находим из (8) К,(в)нн " . — е в — тКе(в) — е Оа. в„(4 гл Ор — гн!й . гл ве — в+ (ае гивер венер Полное выражение для коэффициента передачи (6) при аа"'1 будет следующим: ве! +(! — а) е К(" ()=4 + в ~ О, (6.2.14) где тре = вр, + и!2+ ага аг.

(6.2.14а) Усиление сигнала. Согласно (14), если сигнал на входе одно. контурного ПУ является гармоническим, е (() = а, соз(в,(+вр,), то на выходе ПУ возникает сигнал на двух частотах: Вс — ВΠ— 6, Вв = Гов — Гас = ВО+ б, (6.2.15) симметрично расположенных относительно вв (рис. 6,4). Резонансные кривые, соответствующие этим частотам, прн е чк, 1 почти л а!а» и идентичны (для холостой частоты резонансная кривая идет немного ним<е из-за фактора 1 — е(1 в (14)), причем максимальное усиление в в-т~! раз 'больше, чем в «холодном» контуре, а область эффективного усиления соответственно во столько же раз уже: Ьвпр = 2ае = 2а (1 — ! ат !(аг,р).

(6.2.16) др уев Рис. 6 3 Коэффициент параметрического усиления К, в еааиснмостн от ковффнцнеита мо. дуляции гл емкости контура (ц ну=[! (пт(вт„('! '). Рис. 6.4. Преобравоваине спектра сигнала в одиокоитуриом параметрическом усилителе. Прв усиленна гврмоваческого «олебв. кнк с частотой и и — б кв вмкеае с е уснлнтеле еоевакамт Лва гармоввче. снак колебакнк с частотвмв ме.йб ГЛ.

Е ПАРАМЕТРИЧЕСКНЕ СИСТЕМЫ Особо следует отметить случай, когда в,=в,. Согласно (16) при этом сигнальная и холостая частоты одинаковы. В результате интерференции между колебаниями с сигнальной и холостой частотой возникает новый интересный эффект: зависимость усиления от фазы сигнала на входе. Используя (14) и (7), находим при в,=ве и = — 'е'""+'Р К(ве /)+к. с.= зп1 (~рс ) 'соз ~ве/+ 2 )+ юп (ве/+Ч~ (рс)1' (6.2.17) Как видно из (17), при изменении фазы сигнала ср, на и/2 амплитуда колебания и сильно изменяется (в е-'~! раз). Усиление шума. Если Ж (/) — стационарный шум, имеющий спектральную плотность О (в), то дисперсия шумовых колебаний и может быть найдена по общей формуле (3.2.11): (и') = 2 ~ 6 (в),' К (в, /) 1е бв = о „е (/).

(6.2.18) с Как следует из (14), в( с(1 — е/2)' сое' 1вс/+ сР/2) + (е/2) Яп' (вс/+ сР/2) 4 1в,— в)с+аеас Подставив (19) в (18), получим о";„„(/) = —" 1(1 — е/2)' созе (ве/+ ср/2) + (е/2)' з(п' (ве/+ ф/2)] х сс о(в) ев х ~( )в. е е (6220) е Зависимость дисперсии (20) от времени свидетельствует о том, что шумовые колебания в одноконтурном параметрическом уси- лителе с гармонической накачкой представляют собой нестацио- нарный случайный процесс. В рассматриваемом случае имеет место так называемая периодическая нестационарностьс статисти- ческие параметры шума изменяются во времени с периодом, равным периоду накачки.

Двухкоитуриый параметрический усилитель. Упрощенная схема двухконтурного ПУ представлена на рис. 6.1. Записывая дина- мические уравнения, удобно выбрать в качестве переменных величин 1 Г. 1 Г . и,= — ~ 1 е(/, и, = — ~ 1 е(/, где 1,,— токи через нагрузки Яье. При относительно малой ем- кости связи С (/) = Се (/) соз(в„/+ <Р„(/)) ~ Се е, в„ 4 3, пРеОБРАВОВАние сиГнАлА и шумА получим уравнения й,+2а и,+в,'и,— в,*(и,+из) т,(/) соз[в„/+ср„(/)] = (6.2.21) й,+2а и,+в,'и,— вз(и,+и,)пьс(/) соэ[в„/+~р„(/)] = = в~эЖБ (/), где 2ас =)сс/Ц, в," = (/.,С )-', т~ (/) = С, (/)/С, (1 = 1, 2). Козффициеиты передачи.

Двухкоитурный Пу имеет два входа (Ж, иЖ,) и два выхода (и, и и,), так что при монохроматической накачке он описывается четырьмя коэффициентами передачи К „(в, /) (т, и=1, 2) вида (6,1.2). Если предположить, что система не аырождена, т. е. частоты в, и в, достаточно разне- сены и резонансные кривые обоих контуров не перекрываются, то в (6.1.2) а каждом случае достаточно учесть лишь по одному члену. Соответственно, если Жд(/) =е"", Ж,(1) =О, (6.2.22) то решение уравнений (21) ищем в виде и,=КН(в)е' ', в Фв;, (6.2.23) и, = Км (в) е ' "'+ Г"', в, — в ж вз.

в (вз — в+ (ат) Км — з/Авдт,е Р«КШ = '/,в,, (6.2.24) (в,— в+йх,)е" К„+'/св,тзКИ=О, из которых находим в,— в+ссс,+ ' в,— в+са Согласно (25) при частоте сигнала, совпадающей с резонанс- ной частотой первого контура, Км(в= вз) =— ВГ 21а, пс,всв,в 1ба,а, Здесь, как и в случае одноконтурного ПУ, происходит компенса- ция активных потерь контуров за счет накачки, причем порог неустойчивости определяется равенством (т1 псс) ые !баса~ 4 (6.2.27) всвз О404' (6.2.26) Для простоты считаем, что тх е=- сопз1, ср„=сопз(, в„=в,+в,. Подставив (22), (23) в (21), получим уравнения, аналогичные (8): 424 гл р параметрические системы выражение (26) можно переписать как Км (в) ' ., — — + —. (6.2. 29) 01а 1 1 1 в1 — в+ сае ' а а1 ас Аналогично находим 9~'~ сна е — 'т,— ьиз (6 2 36) 2 в,— в+!ае Усиление сигнала.

Используя полученные результаты, находим, что при входном гармоническом сигнале Ж1 = а, соз (в,1+ ср,) на выходе первого контура ПУ имеется сигнал на той же частоте Вс В1 и1= — сЕ ' КМ(В,)+К. С. а,. рвс+Ьр 2 соз (врг+ 1Р, — ф), (1о1 — вс)'+ асес (6.2.31) а на выходе второго — сигнал на комбинационной (холостой) частоте в„— в, в,: 2 — ~' соз ! (в„— в,) 1+1р„+1р — —" — 1р,~, (6.2.32) где 1р=агд(в1 — в,+ига).

Мы видим, что вблизи порога нестабильности (когда е ~ 1) обе резонансные кривые ) К„(в) (1 и ( К11(в) ~1 двухконтуриого ПУ имеют одинаковую форму; они идентичны резонансной кривой высокодобротного колебательного контура и характеризуются одинаковой полосой пропускания Лвпр= 2ае= — "'"* !1 — ' 1, (6.2.33) а,+а,[ (зсссср)сср 1' которая стремится к нулю по мере приближения к порогу нестабильности. Заметим, что величина а определяется наименьшей из полос контуров: а=а (а ч а ), а (а ьа ). В отличие от одноконтурного, в двухконтурном ПУ нет зависимости усиления от фазы сигнала.

Усиление шума. Дисперсии флуктуаций в контурах ПУ, обусдовленных шумовым напряжением 61(!), будут согласно (2Щ, где (е1, з'.> 1 — добротности контуров. В области около порога неустойчивости, когда е=1 — — сс~~1, (6.2.28) (Р11есс)прр Ф 3 ПРЕОБРАЗОВАНИВ СИГНАЛА И ШУМА а', — а[ (! — е)2)я — ез(4 аз+а,' (! — е/2)я+аз(4' (6.2.38) ") Стаииоиарность выходного шума, как и отсутствие зависимости усиления к фазы, связана с тем, что в двухкоатураом ПУ комшингинонные частоты вт и вя разделены и усиливаются в разных контурах.

(30) равны (и,') 2 ~ бх (в) ) К,з (в) !' г(в = 2(((ав ~ (6.2.34) ()зшз (и,') =2 ~ бз(в) ~ К„(в) ~за(в= — '' 2(4 а' ~ о где б,(в) — спектральная плотность шума вз((). Периодической нестационарности (как в одноконтурном ПУ) здесь не возникает, т. е. шумовые колебания в контурах стационарны*). Статистика амплитуды и фазы на выходе параметрических усилителей. Одноконтурный Пбг (14).

Периодическая нестациоиарность шума на выходе одноконтурного ПУ приводит к ряду особенностей статистики огибающей и фазы. Рассматривая действие на ПУ стационарного шумового напряжения Ж((), запишем решение уравнения (3) в виде квазигармонического процесса: и Я = и (() соз (в,( — <ра) — Ь (() ой и (во(+ гро) = =р(() сок[во(+~ро+гр(()), (6 2 35) где !ро — произвольная постоянная фаза. Возведем (35) в квадрат н, статистически усреднив, получим (из) = (ив) созе (ве(+ о)а) + +:Ь*,', з)пз (во(+ юРо) —;аЬ) з!п 2 (во(+юРа). (62 36) Сравним (36) с полученным ранее для (ия) =а,";„„выражением (20).

Мы видим, что если выбрать ~ро=фо(2 (фо определяется формулой (14а)), то квадратурные компоненты а(() и Ь(() в (35) будут некоррелированиыми случайными процессами ((иЬ) =О), а их дисперсии будут равны СО е) з (' О(в) Ь 2) 2 Ь) (в,— в)'+а'е" (6.2.37) е' в1 (' о(в)ов 4 2 ) (ва — в)Я+оаез ' о где б(в) — спектр интенсивности входного шума Ж(0, Различие дисперсий квадратурных компонент характеризуется параметром гл.« пхглметгические системы так что о»=о»'(1+[)«), о',=по(1 — ро). где о1=(о(+о,')/2 — среднее по времени значение дисперсии периодически нестационарного шума на выходе (и') = о«[1+ [)«сов (2оз«1+»р«Я, (й») = и,*. (6.2.39) Таким образом, характерным для одиоконтурного ПУ является то, что при больших коэффициентах усиления (т.

е. вблизи порога нестабильности) одна из квадратурных компонент относительно мала по интенсивности (о',~~»оь если е~1, см. (37)) и приближенно шум на выходе усилителя можно считать «однокомпонентным» квазигармоническим процессом вида (2.4.31): и (() = Р (1) соз [е»«1+ ~Р (1)1 а (1) сов (е»,,(+»Р«/2). (6 2.40) Предположим, что распределение вероятностей шума и(1) симметрично: в(и, 1)=в( — и, 1).

(6.2А 1) По обычным правилам можно найти одномерное распределение для а: 1 ди! в(а) =[д, ~в(и () ~и ««о»(е,Ф+Ф»/и =~сок(а«г+фо!2)~в(и, 1)~«а»ов~»»«+е!м (6.2.42) Это распределение также симметрично: в(а) =в( — а), (6.2.43) откуда следует, что фаза»р(1) в (40) принимает лишь два равно- вероятных значения: »р = »р«)2 (а) О) и ф = ф /2 — и (а(0). Таким образом, распределение для фазы процесса (39) имеет вид суммы двух б-функций: В(%) =й б~<Р 2) + -2-б(<р — Ет+»»), — П(~р'с-П.

(6.2.44) Учитывая (43), можно сразу записать и распределение для огибающей р(1) =!а(Р) !: в(р) — 2в(а)~, р)0. (6.2.46) Например, если распределение для и(1) гауссовское, то «- ичв'Ф в(и, 1)=, — оо(и(оо, г'зи о(0 причем согласно (39) здесь о'(1) =о',[1+[)«сов(2а»«(+~ъ)] и при [1« 1 о' (() ж 2о«» соз' (а»«(+»р«(2). 4 к шумоВАя НАкАчкА В ПАРАматРичаских систвмАх 42Г Используя (42), находим, что распределение вероятностей для а при этом также гауссовскве: 1 — А (ИЗ ш(а) ° — Р=-е о, — оо(а(оо, 2 У и оа а распределение (46) для огибающей описывается положительной ветвью гауссовской кривойь аь(р) — е Р 1, р>0.

(6.2.46) Уя Распределение вероятностей для огибающей и фазы гауссовского периодически нестационарного процесса нетрудно найти и в общем случае 0<~()А~(1, т. е. при произвольных уровнях усиления одноконтурного ПУ (см. (2.4.47) и (2.4.51)). С ростом усиления аь(<р) из равномерного трансформируется в сумму двух 6-функций (44), а ш(р) — из рэлеевского в (46), причем ~р и р становятся статистически связанными (см.