С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 73

(5 5 49) «о — — 1 « Для вторых моментов уравнения будут следующими: л'+ 2а,п' = 2а«а~ (пг + лг*) + 2а«лол, пг+(а + по+ й«0) пг = = — — а«по~а'+а,лог+а,ао(гг*+го), (5.5,50) го+ 2 (ао+ 2й«О) г' = — аоаопг, 1 гг". + 2аогг' = — 2. а,а, (пг + п г*).

Коэффициенты уравнений (49), (50) вещественны; поэтому моменты г, г', пг и, разумеется, гг* можно считать вещественными функ- циями времени, что позволяет эти уравнения несколько упростить (однако сама случайная функция р(1) (47) комплексна и, напри- мер, го ~=гг"). Решение (49) дает л(1)=л — '(и' «е"'+ '( ' «е«е, (5.5.51) л,— х, '' л,— х, где а,+а«+««О « -4/ (а,-(-а«+««О о ( о(« „«) 2 (5.5.52) а п — стационарное значение л((), к которому эта функция стремится в пределе (-«.оо; l ~ .. аох« и=по/(1+ +«оо), (5.5.53) ГЛ» НЕЛИНЕПНЫЕ ПРЕОГР»ЗОВ»НИЯ ШУМА Величина р(г) стремится к стационарному значению их' 2 (и +/И) При 0=0 выражения (51), (53) и (54) переходят в (8) и (7). Решение (50) в стационарном режиме, когда производными по времени можно пренебречь, дает РР =г 11+ — 1Р0 и»а»-1-а»(а,+а,)х» "! а» а»а»-(-(а»и»+и1и») к» 1' Э (А1х'1 з а,а»х»» (5.5.55) где для сокращения записи мы обозначили а» = а»+ й»0, а, а, +а»+й»0, а, = а, + 2й'0 (5,5.57) Рассмотренные модели дают в области насыщения более быстрый рост о-"„~-„, чем модель узкополосного гауссовского шума: согласно (43) и (56) о-"„,„- о'», в то время как согласно (23) и (25а) оюа о' или (о91по')'.

Шумовые нутацни. Полученные результаты позволяют сделать вывод, что шумовое поле либо совсем снимает нутации (т. е, изменение и (() перестает быть периодическим), либо ускоряет их затухание. Этот эффект связан с двумя факторами: 1) случайностью поля и 2) конечной и|ириной Лм частотного спектра поля. Нутации подавляются тем сильнее, чем больше величина Лм. Действительно, в предельном случае гауссовского оптического шума с очень широким спектром изменение п (() согласно (42) является чисто релаксационным.

В случае ФМ-шума выражение (5!) позволяет определить вид нутацин для любой величины Ля=20. Гогласно (52) нутапии происходят с частотой х/ » !'໠— а, )»»»!Э+2(໠— ай г' ! 2 (5.5.58) х»= ! 1(=» — ",Л+»о+2(,. д ц и,и» ~! 2 4 (5.5.59) Пороговая интенсивность хп минимальна при Т,=Т, (а,=а ), Однако при Т,— Т» — » 0 величина хо стремится не к нулю, как это было в случае монохроматического поля (см.

(14)), а к некоторому конечному зчачению, зав~ ° ~цем> от ширины спектра поля, «,",=Р0'Т'74 (Т,=Т,=Т). (5.5.60) )~ак следует из (58), нутации могут возникнуть лишь при условии, что интенсивность света достигла порогового значения хц, определяемого соотношением % з дВухуРОВнеВая сРедд В сильнОм шумОВОм полн 403 Кроме нугационного порога, из-за конечной ширины спектра поля увеличивается декремент затухания нутации. Согласно (52) зтот декремент равен — )4е )ьт,з = а, + а + йз072. (5.5.61) Из (61) видно, в частности, что добавка к декременту характеризуется сильной зависимостью от кратности й резонансного взаимодейств ~я (-Йз).

На рис. 5.33 приведен ряд кривых п(1), соответствующих различной ширине спектра поля; видно, что с увеличением параметра мзОТз нутации затухают быстрее, а их частота уменьшается. Резонансная генерация гармоник. Располагая решением для (1) или (5), можно рассмотреть возбуждение гармоник Ем=Ам (1) е~~~" +к. с. (5.5.62) нсмоцохроматического поля (2) при резонан ном взаиаюдействии этого поля с двухуровневой средой. Если для простоты преаебречь различием скоростей распространения волн иа частотах ма и тма, то уравнение для А, будет иметь вид 114, 17) ААм — -тм 4м '(7) р, (7), а(г (5.5.63) где ум» вЂ” постоянная, пропорциональная нелинейной восприимчивости, ив расстояние, прощенное волной (62) в резонансной среде (ср.

(63) с уравнением (8 3,2а), описывавшим генерашпо второй гармоники в нерезонапсных условиях). Как следует из (63), Ам=-тлмгАм а(1)ра(7), т. е интенсивность т-й гармоники определяется выражениями Т'„аз'Рл «Р) 'Ргй) ", )т 'Ам', 7= АР) а. (5.5.64) (5.5.65) в (64) и обозначая безразмерную интенсивность осяввиого Подставляя (3) излучения (2) как х=' аа(1] й 5м=4х'л э ~ П а (5.5.66) получим (5.5.67) где 5 =7 /уме — измеренная в отпо нтельных единицах ль 47з,з)за — т !73 лас (5.5.68) хм 3м(с )= (1+х")а ' (5.5.69) *) Прн обычных условиях в нь ах н ааааа зба)~ективно генерируются ли... ~счетяыа гармони гс ~ смежая среду а статическое поле, моаьпо добиться воэб)(жаен н твкжв я четных гармонии. интенсивность т-й гармоники ') Стационарная генерация германна; чинамичесинч вьшарыш.

Подстановка (7) в (67) дает слсдуюшсг выра.ьснь для отно:втельной ивтенсивности ш-й гармоники в стационарном режиме: 5 й, ДВУХУРОВНЕВАЯ СРЕДА В Сг(ЛЬНОА( ШУМОНОА( ПОЛЕ 4СЗ юУ/лв б Рно, З,ЗЗ. Шумовые нутацнн и генерация гармоник при включении слу- чайного поля с диффундирующей фазой. Кривые построенм на основе уравнений (497. (507 при фиксированном отношении времен релаксапии Т,(Т, (, авданной интенсивности поля к= к и раалияимл внвиеиияк шнрннм спектра поля; к = ЗПО.

Нитсисивность ш й гармоники Еш (Р~ ° (тп (см. да.тес,ог)Ь :06 ГЛ. З. НЕЛИНЕННЫЕ НРЕОВРАЭОВАНИЯ ШУМА 1рафик функции (69) при различных соотношениях между ш и й показан нв рнс. 5.34. Если 2А)сл, то Зж сначала растет, а зателс убываег, принимая максимальное значение ('-- =("-.) "( — ".. )' (5.5.70) когда интенсивность падаюшего на среду излучения равна хо ( 2 ) . (5.5.71) В частности, если т=й, то хо ! н (Зщ)юол = 1/4 Рис.

5.34. Зависимость интенсивности Представляет интерес рассмотреть 3 рр' ш-й гармоники от интен- также генерацию гармоник в нестацно. сйвности х падаюшего на двухуров- нараом режиме. Как будет видно из невую среду монохроматического по.та при й-фотонлсом резонансе (а =. дальнейшего, при этом могут быть до= 2А(т ( 2), стигнуты паковые значения Зос, значи- тельно превышающие стационарные(69) Как следует из выражения (67) для Зм, при включении монохроматического света (о(1) сопя( и х(1)=сопя! прн 1)0) максимум интенсивности 5„, гармоники приходится иа максимум величины рз', т.

е. нз тот момент 1=1о, при котором р (1о)=0. 7(ифференцируя (9), получим хза,а."," (1+ хз) ч Г е Л' гн' РК)=р(ссэ) — е ~ч~, — „, (5.572) 2)7 ~ а" — )7 а*+)7 с' где величина )7 а' !' 1 — А)а=-! (а")з — уз5а(а может быть вещественносс (с9 < 1) иля чисто мнимой (со()!). В первом случае (ненутационный режим) нз (72) находим для 1, уравнение вида злс, а" +)7 (5.5.73) а' — Ф' причем, как следует из (67) и (8), ом (1о) =Зол (со) [!+а )7 е ' 1 — Зм (сю) л (5 5 74) где З„,(со) — стационарное значение интенсивности гармоники (69).

Как видно нз (74), интенсивность гармоники достигает наибольше с величины в нестационарном режьлсе. Чтобы оценсшь величину этого липа пшсского выигрыша, преобразуем (74) с учетом (73). В результате полу пмс ы з г 1 )с) ф" 1, а у( — —.-- с )с~ . ХФ а' (5.5.751 4 а. днухуРОВИЙВАя ОРВЛА В сильнОм шумОВОм полк 48 ф„агс(й !' М" — 1 т. е. на первую четверть периода нутацнй (Фз=ф» ~л/2). Подставив (77) н (9) в (57), получим 8,„((») ~ сс",».з,г а' аг 18 Р М» — 111 1+ — М ехр ( — — —,:= — )1 5 ( о) а ( а' )' М» — 1 4.) Прн М = 1 (78) созпадает с (75). Как вндно из формулы (78), с увеличеннем М динамический выигрыш также увеличивается.

При значительном превышении иутацнонного порога огласно (?8) 1+ — М ~ ех ! — - —,1 (МД,1). (5.6,79) 8м (со) ( а, 'х а" 2М»гз ) ) Учнтывая, что (М ~ 1). (5.4.78) » х » агах » М = — =х — „ (а ) (79) можно перепнсать как (х ~ 1). (5.5.80) н при достаточно сильном превышении порога насышевня днаамнческнй вы. ягрыш будет — '--л",м! Хт (Г»1 8, (-о) При малых интенсивностях света динамический вынгрыш, как я следовало ожидать, незначителен; Вблизи нутацнонного порога (М"=1-а, е к 1) соглагно (75) (5.5.76) з„",( )-', т.

е. динамическнй выигрыш будет, например, болъшнм прн Тх~ Т;. В случае М ~ 1 (нутацнонный режим) а'+)7=а (1+)УМ~ — 1) = а*Ма)~епр», где фя=агс)8)г Ма — 1, н согласно (72) р (1) е™ Б!п (01 — ф»). Такам образом, первый и нанбольшяй максимум велнчмны ) рз! прихо- дятся иа момент времени 408 Гл. з. Иелиненные НРВОВРАВОВАнии шзмА Если Т, ~ ~Тв то согласно (80) = [1+~/ — ах Г ехр( — — „~/ г)~ . Отсюда видно, что самый большой динамический выигрыш достигается при выполнении двух условий: Т47зл 1 и х" ~ Т,уТз. 5 атом случае — га ~ 1, ЗД> Т, от (оз) Тз Таким образом, изменение интенсивности генерации гармоник йщ (1) ) рз(1) ) в иутационном режиме имеет импульсный характер, причем величина Рис.