С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 72

НЕЛННЕННЫЕ ПРЕОВРАЗОВАННЯ ШУМА чайной величиной с некоторым распределением вероятностей в (х) *). Под действием случайного поля разность населенностей тоже становится случайной, и ее можно записать как сумму среднего значения и флуктуаций: п=л+Л.

Оценим величину флуктуациоиной компоненты й. Используя (7), первый и второй моменты п можно записать как о Вычислив их, найдем дисперсию о."„= (йн) = (и') — (л)'~0 (5.5.16» или относительную дисперсию сн -= — =- — — 1~0, (дн) (он) н!и (п)н (п)н (5.5.17) т. е. относительная дисперсия разности населенностей равна центральному моменту 2й-го порядка для интенсивности света. Прн у~1, наоборот, спад функции в(х) происходит, когда х~~н1, т. е.

сходимость интегралов (15) фактически определяется множителями (18) (если й~2). Полагая, соответственно, в (15) в(х) =в(0), найдем о-"-= . — — 1. А — 1 н!и (и/А) ндн пы(0) яп (п(А — 1))А) ( ) 5.5.20 Например, для гауссовского стационарного поля раопределение интенсивности имеет вид в (х) и — к!о~/он х он (хчн) лт)онм (5 5 21) * ] Аннлогнчный подход нспольноннлся прн ныноде формулы Мняделя (2.9,6] которая оценивает относительную величину флуктуаций й около среднего значения и. Общие результаты можно получить для двух предельных случаев, когда средняя интенсивность поля много меньше (х м ' 1) или много больше (х )~ 1) интенсивности насыщения.

При д сн 1 считаем, что функция в (х) заметно отличается от нуля лип!ь в области х ~1. Поэтому множители при в !х) в (!5) 1 1 1+ хн ' (1+ лл)н (5.5.18) можно разложить по степеням х". В результате получим, что о'„;, = (х") — (х")' (5.5.!9) ннс 3 3 ДВУХУРОВНЕВАЯ СРЕДА В СИЛЬНОМ ШУМОВОМ ПОЛЕ 397 (5.5.24) (5.5.25) где Р (Ое) — †, а'1"Е1( — 1/Ое) (Е! — интегральная показательная функция). Если О'"-в 1, то Е)( — 1/Оз) С+1п(1/оа)ячя — 1поа, Р(ае) О'!пое, и согласно (25) От — = (Ое/1п а')' (О'~ 1).

(5.5.25а) Зта зависимость отличается от (23), и можно сделать вывод, что в однофотонном случае относительные флуктуации й увеличиваются с ростом интенсивности поля быстрее, чем в многофотонном, При двухфотонном резонансе (А=2) и гауссовской статистике поля (21) средние также находятся аналитически: '"-)=рР(М, '„",' =-",— Г(р)+р()(~)), .„,„='"'+" '"'-1 где р.=1/х = 1/Ое и Р (р) = с! р.яп)с — з! )зсозр, Я (р) =с! р,совр.+гй рз)п р, (5.5,27) Р—, 9~1п — 0з~1); Ряя —, Ял — 0з~1).

)с 1 1 1 2' р )сз я] Заметим, что при возрастании интенсивны.ти поля как и, так и а по е апсо.жткоп вслпппм уиеньгпаются. Увеличение дисперсии о„а просто озиа. чает, что и умеиьыается быстрее, чем Л, (см. (2.4.8), (2 4.9)) и согласно (19) и (20) и ((2/с)! — (/с!)Я] ока, Ое <* 1, (5.5.22) (5.5.23) и Б)и (и (а 1)/а) Таким образом, с увеличением интенсивности поля относитель- ная дисперсия О„*,„все время растет: сначала по степенному закону пропорционально (х)еа, а затем, в области насыщения, более медленно — линейно по ,'х). Зтот результат означает, что в достаточно сильном случайном поле флуктуационная компонента й становится доминирующей и среднее значение л не дает пред- ставления о величине а *).

Выражения (20) и (23) не применимы к случаю однофотон- ного резонанса (/е 1), так как интеграл (!5), определяющий (л), расходится, если в нем заменить сн(х) на тн(0). Однако для распределения вероятностей (21) интегралы (15) берутся анали- тически: при /е = 1 (и)/ле = Р (Оз), (пз)/лет = 1 — Р (Ое)/Оз О„' „-= Р ' (Ое) !! — О-ЯР (Ое)1 — 1, 398 Гл а. Нелинеиные преоВРАзоВАния шумА Как нетрудно убедиться, функции Р()ь) и (~()ь) удовлетворяют соотношениям Р = — а а'=Р-Ир, (5.5.28) которые будут использованы в дальнейшем; в (26) штрих означает дифференцирование по р.

На рис. 5.32 приведеяы кривые, рассчитаннзне по формулам (24) — (27), показывающие уменьшение и и относительный рост флуктуаций й при увеличении средней интенсивности случайного поля. Учет инерционности среды для двух моделей оптического шума с конечной шириной спектральной линии (оптический белый шум, поле с диффузией фазы). В общем случае переменного случайного поля с амплитудой а(() отыскание статистических средних, характеризующих двухуровневую среду (л, и', о„-',й) или генерацию гармоник, становится очень трудной задачей, так как точное аналитическое решение для исходных уравнений (5) неизвестно (один частный случай решения рассматривался в 3 6 гл.

1, см, дл, б ю и ярд л 4х и Ю рнс. 3,32. Среднее значение (а) и относительная дисперсия (б) разности ивсе. тенностей при й-фотонном взаимодействии двухуровневой среды с узкополос- ным случайным гауссовским полем (д — средняя интенсивность поля). также 143)). Естественно поэтому обратиться к стохастическим методам (см.

4 7 гл. 1), которые дают возможность при определенных условиях найти уравнения для интересующих нас средних, минуя реп.ение д1шамических уравнений (в данном случае уравнений (5)). Мы сделаем это, используя некоторые модели поля, рассмотренные в гл. 1 114 — 17) е). ч) Первые результаты по анализу поведения двухуровневой среды в елу шсяом попс были получены Бурштейном методом, который основан на прщставлении о случайном скачкообразном изменении во времени параметров комплексной амплитуды а(1) 11В, 191; зксяериментальные данные — см.

[!2, (ай. 4 л двьхьяовнвв«я севдл в сильном шьмовом поля ййй )-л модель: оптический белыи шум. Если поле (2) стационарно и гауссово, то его нормированная комплексная амплитуда а(!) удовлетворяет таким корреляционным соотношениям: ('аа,) = О, (а"а,') = О, (5.5.2Я) (ааГ) = оо /ро (т) — и)о (т)), , аа,: )=о й!Гро(т) — (цо(тП (5.5.30) (см. (2.4.53), (2 !.54)), где о'=к=(а') — средняя интенсивность.

Характерное время корреляции случайной функции ао(!), входящей в уравнения (5), можно определить как к» =~ ! ро(т) — и1«(т)!««(т = ~ (ро(т)+до»(т) «'о(т. (5.5.31) о о Напомним, что наличие нечетной относительно т функции до(т) = = — до( — т) в (30), (31) связано с асимметрией частотного спектра поля (относительно его средней частоты «оо).

Часто для простоты спектр считают симметричным; при этом»)о(т) =О. Использованное выше адиабатическое приближение применимо при условии, что время корреляции (31) достаточно велико: т,'~ ~Т„Т«. (5.5.32) Теперь предположилп что выполняется обратное неравенство: т,~Тп Т«.

(5.5.33) (а«а,*о) Сб (т) (5.5.34) Корреляционная константа С в (34) определяется «условием эквивалентности» (34) и (30): а й! 1 (ро(т) — (ао(т)7(т= С. (5.5.35) о Если поле имеет симметричный спектр, так что ао(т) =О, то, как следует из (3!) и (35), время корреляции т„пропорционально постоянной корреляции С: С 2й! а'"т,. (5.5.36) Например, в случае лоренцевского спектра р,(т)=е-"", т,=!!Йа, С=2(А — !)!ао"!сс, (5.5.37) Если время корреляции мало по сравнению с характерными временными параметрами задачи (в данном случае Т,,), то допустил«о вообще положить его равным нулю, т.

е. считать процесс кол«плексныл» белым шумом, для которого вместо (30) можно написать ГЛ. О НВЛИНВИНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ШУМА где ! й!(Г) = $ й(В? с(й, Я) =О, Щс) =2В6(т). !» (5.5.45) а в случае гауссовского— ро(т) = е-а*", т. = . , С = у . (5,5.38) 25 Тгь1 ' й УА)л После перехода к (34) задача отыскания статистических характеристик разности населенностей л(1) и поляризапии р(1) становится стандартной. Усреднение системы линейных дифференциальных уравнений с б-коррелированными коэффициентами рассматривалось в 9 7 гл. 1. Применяя полученные там результаты к системе уравнений (5) и учитывая (29) и (34), находим следующую замкнутую систему уравнений для первых и вторых моментов: л+а, (1+ 2 аоС) и =асло Р+ао (1+ 4 а С) Р = 0; (5 5 39) л +2ас (1+ ссоС)по = 2аосСРР*+2ссслоп! лр+(а,+ао+ 4 асаоС) лр =схглоР (5.5.40) р'+2а,(1+ 4 а,С) р'=О, РР*+ 2ао( +-4 а,С) ар* = 4 аоСл' и=л, по=по, р=р'=рр'=яр=О ((=0).

(5.5.41) Из (39), (40) и начальных условий (41) следует, что р=р'=лр=О, л(1)=(ло — л)ехр~ — а,(1+ аоС)1)+л, (5.5Л2) причем в установившемся режиме (г-о.оо) »,! — »1аоС 1+ аоС 8 (1+ — а»С+ — асС) 1-1-- аоС) (5.5.43) »/» / '('+-"' -"") 4 2 2-я модель: лоле с диффузиес? фазы. Теперь предположим, что поле постоянно по амплитуде, а его фаза случайным образом флуктуирует, образуя винеровский процесс, т. е. она является интегралом от белого шума: а(1) = а а!о и! ° ь, (5.5.44) 4 о. двэхэяовнкв«я сякд«в сильном шгмовом полк 401 В этом случае (аа*) хе- о ~о~ (5.5.46) где х=(!а(о)=,'а~о=ай — неслучайная интенсивность поля.

Сог- ласно (46) это поле имеет спектр лоренцевской формы с полу- шириной О. Эта модель удобна тем, что, введя в (5) новую функцию г(1), связанную с р(1) соотношением р (() = г (1) е" «о н«+ о 1, (5.5.47) мы получим для переменных л и г систему уравнений л+а,(л — п,) =ааог*+ к с., Р+(а«+(К(1))г = — -а аол, (5.5.48) т. е. опять уравнения с 6-коррелированным коэффициентом, усреднение которых уже рассматривалось. Уравнения для первых моментов теперь имеют вид л+а„(л — ло) = а,аог' + к с., г +(ао+ И О) г = — - аоаоп.