С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 103

(8.3.19) Полученный результат интересно сравнить с данными о возбуждении второй гармоники монохроматическим излучением. Согласно (9) при г<,*(рро)-' между интенсивностями монохроматической гармоники и основного излучения имеет место соотношение /,"'" = е )'(/г")' (8.3.20) Из выражений (19) и (20) видно, что в обоих случаях зависимость интенсивности гармоники от расстояния одинаковая.

Однако между этими выражениями имеется также важное различие: при одинаковых интенсивностях основного излучения интенсивность гармоники, возбуждаемой гауссовским излучением, вдвое больше, чем интенсивность монохроматической гармоники. Зтот результат легко понять. В квазистатическом режиме можно воспользоваться результатами 4 1 гл. 5; для излучения с гауссовской статистикой можно использовать выражение (5.1.14). Напомним, что физическая природа обсуждаемого эффекта состоит в том, что в интенсивных выбросах поля основного излучения преобразование во вторую гармонику происходит наиболее эффективно (см. (12а)).

В случае возбуждения второй гармоники многомодовым основным излучением эффективность генерации (см. табл. 2.1) оказывается больше, чем при одномодовом излучении той же интенсивности, в (2 — 1/Ж) раз (см. также гл. 5 и [5, 6]). Несколько позже мы проанализируем статистику поля второй гармоники, сейчас же обратимся к ее спектру. Возьмем корреляционную функцию основного излучения в виде экспоненты: В,о (т) = /о ехр [ — 2(!и 2) (~ т,/т,о)], (8.3.21) и в гауссовском виде: В,о (т) /о ехр [ — 4 (1и 2) (т/8,8)о].

(8.3.22) В выражениях (21), (22) время корреляции ты определено по половинному уровню. Подставляя эти выражения в (18), получим следующие формулы для времени корреляции второй гармоники и ширины спектров: т'„ыо =т„,/2, Лоо'," = 2ЛЬ87, Лоо'7 (4!п 2)/т„, (8.3.23а) для корреляционной функции (21) и тйо'- тоо/~ 2, Лозу"' — — ]/ 2 Лоо'~", Лоо'1"' (8 1п 2)/тк, (8.3.23б) для корреляционной функции (22).

здесь, как и при удвоении частоты фазово-модулированного излучения, ширина спектра вто- й з, слнчанныа волны в диспннгиниющнп сиада 569 рой гармоники зависит от вида исходного спектра (корреляционной функции). Однако в формулах для соответствующих видов спектра коэффициенты пропорциональности, например для ширины спектра, оказываются иными (ср.

(23а) с (11а) и (23б) с (11б)). !э(4 се~>/Цгаг» С ростом длины нелинейного взаимодействия, или при увеличении эффектна- тт ности преобразования основного излучения во вторую гармонику, корреляцион- '., ' г ная функция гармоники меняется незначи- м тельно: от вида (18) к выражению (15). Напротив, корреляционная функция основного излучения Вт(т; г) существенно зависит от обратной реакции гармоники; -г ее график в полулогарифмическом масштабе, полученный прн помощи численного интегрирования (5б), показан на рнс. 3 Ф тт» 8.3. Из этого рисунка видно, что форма спектрального распределения основного рн' а з цоррел~цион- ная функция основного излучения модифицируется, а шиРина излучения В, (т; г) для спектра увеличивается по мере его пере- различных приведенных качки в гармонику.

длин взаимодействия Нестационарный режим генерации; когерентные и некогерентные взаимодейст- '! ' — "' ° а ° - аа . вав; г)н з>н вия. Обратимся теперь к анализу случая, когда групповые скорости основной волны и гармглшкн различны: и, чьи, 14, 5, 7, 10, 12]. Тогда аналитические РешениЯ УРавнений (1) записать не удается. Поэтому мы воспользуемся приближением заданного поля, т. е.

будем полагать А,(1, г) = Аге(! — г!иг), а процесс генерации гармоники будем описывать линейным неоднородным уравнением (рз== р) — '+ — - — '= — г'рАта(г — г/ит) е — 'а*. (8.3,24) дг и, д! Решение (24) имеет вид з А, (), г) = — гр ~ Ате (! — г/ие+ тД е — гай г(~, (8,3.25) о где расстройка групповых скоростей ! 1 ! Г г!лз г!лт! н = — — — = — ~(п, — и, — Хе — * -1- Х, — т') (8 3 26) и, н1 = с ( ' дйт г!!4' Отметим сразу же, что выражение (25) по своей структуре ана. логично выражению (5.2.17), которым описывается прохождение 570 гл. в. слэчхнныв волны в нелинеяных совдхх шума через звено «квадратичный детектор — фильтр», роль постоянной времени фильтра в нелинейной диспергирующей среде играет время группового запаздывания т,=те.

Таким образом, рассматриваемое нелинейное оптическое преобразование является инерционным. Вследствие этого по сравнению с исследованным ранее безынерционным случаем генерации второй гармоники здесь возможно появление новых эффектов. Теперь корреляционная функция поля гармоники определяется выражением (ср, с (16)) В,(т; г) » [)'~ ~ (Ао(1'+т-(»х.,) Ао(1'+тьв)) ежц-с >дь,о(ь„(8.327) о где 1' 1 — Т;, Т,= г)цв — время, за которое волна гармоники проходит расстояние г.

В случае основного излучения с гауссовской статистикой, пользуясь (17), получим 2 В,(т; г)=2[)'')')В[о[т-(-о(ь — ь,))еыц — ~нйь»дь. (8.3.28) о Из (28) для средней интенсивности второй гармоники с помощью замены переменных ьв — ь,=ь, ьв+ь,=2ьо и преобразований, учитывающих четность фуйкции В„(т), нетрудно получить 2 1» (г) = 4Р» $ (г — ~) Вм Щ соз ЛЬ йЬ.

(8.3,29) о Рассмотрим зависимость средней интенсивности гармоники от пройденного расстояния г, не конкретизируя пока вида В„(т), Пусть время группового запаздывания т«меньше времени корреляции основного излучения т„, (т„о=т„). Тогда в (29) корреляционную функцию В„(~4) можно заменить иа В„(0)=1,„. Для средней интенсивности гармоники при этом имеем Хв (г) = 2 [р1»ог з(пс (Лг)2))», (8.3.30) Ыя х где в)псх —. Выражение (30) соответствует квазистатическому х режиму генерации второй гармоники шумовой волны; в этом режиме зависимость интенсивности от г аналогична таковой для гармоники, возбуждаемой монохроматической волной. При фазовой расстройке Л=О (30) переходит в (19).

Если время группового запаздывания т„значительно превосходит время корреляции т„(т„.»т„), то предел интегрирования в (29) можно заменить на бесконечность и средняя интенсивность гармоники оказывается равной 1, (г) = 4рог ~ В';-, (»Ь) соз ЛЬ д(, = 4()»11„0 (1«„Л) г1„„(8.3.31) в % к слкчхиныв волны в диспв«гнгяощвя с«вда б71 где 6 (1„„Л) = ~ 0,', (х) соз (1„,„Лх) дх, 1„„= т„,1т. (8.3.32) о Таким образом, при т, «т|а средняя интенсивности гармоники 1т пропорциональна пройденному расстоянию независимо от фазовой расстройки Л (1, г). Такой режим принято называть некоее- рентным взаимодействием.

Нетрудно понять физический смысл полученного результата, Условие т„'«т„можно переписать как г~~«1„„. На таких рас- стояниях г полная интенсивность гармоники равна сумме интен- сивностей гармоник, генерируемых слоями нелинейной среды длиной г' 1„„. На длине г) 1„„взаимодействующие волны некор- релированы; процесс генерации гармоники — некогерентный. Мы проанализировали предельные значения средней интен- сивности второй гармоники 1, для случая групповой расстройки тчьО. Для детального же исследования изменения 1, возьмем корреля- ционную функцию Вм(т) в виде (21).

Подстановка формулы (21) в (29) приводит к следующему выражению для средней интен- сивности гармоники: 1т (г) = 4 ф1м)' (а'+ Л')-' ((а'+ Л') аг — (а' — Л') -1- +1(а' — Л') соз Лг — 2аЛ з(п Лг) е "), (8.3.33) где а=(4!п2)11„,„. Прн наличии фазового синхронизма (Л=О) выражение (ЗЗ) принимает вид 1, (г) = 4 (Р1„)'а-'(аг — 1-1-е (8.3.34) Отсюда нетрудно получить предельные выражения (19) я (31). Графики функции (ЗЗ) для различных когерененых длин при- ведены на рис.

8.4. Видно, что на расстояниях г~ 1„„простран. ственные биения в интенсивности гармоники 1| заметно умень- шаются и при г,*д 1„„интенсивность 1, становится пропорцио- нальной г, несмотря на то, что расстройка Л~О, т. е. фазовые соотношения становятся несущественными. Некогерентный режим удвоения частоты; уравнения для сред- них. Покажем, что на расстояниях г~ 1„,„процесс удвоения частоты можно описывать уравнениями для средних.

Перейдем от амплитудного уравнения (24) к уравнению для интенсивно- сти 1.=| А,('| д1, 1 дУ, д' + — ~' —— — 1инА1,(1 — г)иг) А,*(1, г) е ы'+к. с. (8.3.35) дг и, д| В бегущих координатах ь г, и=1 — г1и, уравнение (35) при- нимает вид д!, — '= — 1()А(„(О+ы",) А,*(ь, 9) е-м~+к. о. (8.3.38) д( 572 гл.

з. слкчлиные волны в нвлинвнных средлх Произведем усреднение в уравнении (36). Для расчета среднего в правой части (36) воспользуемся методом, изложенным (Ю (Х г,от Рис. а.4. Зависимость приведенной интенсизности второй гармоники уз=) !)гг, возбуждаемой гауссовским иэлученяем с экспоненциальной корреляционной функцией, от расстояния з для фазоиой расстройки 6=20 см х и различных когерентных длин: г! ! „ьн М г„„=з!пз см. в 2 7 гл. 1 (см. также 2 2 гл. 7). Выделим в амплитуде гармоники А,*(ь', ц) части, которые коррелируют н не коррелируют с амплитудой Атз (т1+ тгь). А.(г,)=(Ат(~ ц))" +(А,(й, 1))'""' Следовательно, 7('= (Ага (ц+ т~) А,* (~, ц)) = (Аге (ц+т~) (Аз (~, ц))(к!) Величину (Аз*(й, т)))<н! определим, пользуясь (24) (ьа(Д: (А„" (!., ц))оп = !Р $ Ага'(ц+ть!) е'а" с(ь!.