С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 101

й 2. Преобразование шума в лазерном усилителе Мы начинаем исследование нелинейных преобразований случайных воли с задачи о преобразовании статистики усиливаемой волны в лазерном усилителе. Здесь мы хотели бы специально подчеркнуть два аспекта этой задачи. Преобразование волны в насыщающемся лазерном усилителе является одним из важных примеров самовоздействия световой волны.

Ниже учитывается зависимость от интенсивности лишь коэффициента усиления, т. е. рассматривается самовоздействие, связанное с мнимой частью нелинейной восприимчивости, 'эффекты самовоздействия, обусловленные действительной частью восприимчивости, — сгмофокусировка и самодефокуспровка — обсуждаются в з 5. Другой аспект связан с физикой так называемых сверхлюминесцентных лазеров. Речь идет о лазерных системах, в которых по тем илн иным причинам использование обратной связи (в виде открытого резонатора или распределенной обратной связи) невозможно.

В этом случае выходное излучение представляет собой усиленный собственный шум. Каковы статистические характеристики этого излученияг Ниже мы убедимся, что, если лазерный усилитель работает в нелинейном режиме, одномерный закон распределения интенсивности выходного излучения оказывается практически таким же, как и для генератора с обратной связью. Статистика усиливаемого стационарного шума преобразуется в пространстве точно гак же, как статистика устанавливающихся колебаний в генераторе с обратной связью.

В усиливающей среде быстро увеличиваются также время и радиус поперечной корреляции шума. Таким образом, при надлежащем подборе параметров излучение лазера, работающего в режиме сверхлюмпнесценции, может практически не отличаться от излучения лазера с обратной связью; при этом сказанное относится не только к расходимости и ширине спектральной ляпин (они прямо связаны с соозветствующнми э э.

пявовалзованив шама в лаэвяном эсилитвлв пав масштабами корреляции), но и к такой тонкой характеристике излучения, как одномерное распределение интенсивности. Процесс распространения волн в среде с отрицательным поглощением будем описывать уравнением для комплексной амплитуды А поля (ср. с (4.3.17б)): (.

" э- + — ж+ ! э» Лэ) А кА. а ! а (8.2.!) Ковффициент усиления я зависит от интенсивности усиливаемой волны: дА ! ЮА 8~ + — аà — ссА+()А~Аз О, (8.2.3) где нелинейный коэффициент )) а)1„„)0. Перейдем в (3) к интенсивности 1 ~А~' и бегущим координатам г и и=( — г)и; тогда получим д — ~1+()Р=О. (8.2.4) Граничное условие для (4): 1(т), з 0) 1з(т)). Решением уравнения (4) является 1(т), а) ю а — !) 1,)1,.-(-! ' (8.2.8) Здесь () 2аа и величина 1 а/() 1„„— установившееся значение интенсивности. Полученное решение (6) аналогично решению (!.6.7) задачи об установлении колебаний в генераторе, рассмотренной в у 3 гл.

7. Аналогом приведенного коэффициента усиления 0 в (!.6.7) является приведенное время т. Таким образом, мгновенная интенсивность усиливаемого в нелинейном лазерном усилителе сигнала ведет себя так же, как (8.2.8) а (г, г) ~ - 1т )-зя! (8.2.2) где 1„„— интенсивность насыщения. Профиль линейного коэффициента усиления а(г, г) определяется накачкой. Остальные обозначения в (2) обычные. Временная статистика †пространственн аналог задачи в фя!уктуационном установлении колебаний. В задаче о поведении временных флуктуаций в лазерном усилителе дифракциоииым членом в (2) будем пренебрегать, что равносильно предположению об усилении плоской шумовой волны.

Кроме того, будем считать, что интенсивность волны ~Аэ~(1„„и коэффициент п(г, г) а сопз!. Тогда, ограничиваясь первым членом в разложении (2) по ~А~з1! „уравнение (1) можно привести к виду (ср. с (7.5.23)) 560 гл. а. случдпиын волны в нелннипных средах а(г, г) =ае(1 — г'/а,',), (8.2.?) где а, — поперечный размер пучка накачки. Таким образом, будем исходить из уравнения д.4 . ! ое дг 2й — + !' — Ль А — аоА + — г А = О.

а1 Замена А =Ае'ча дает — ", + ( — Л,А +,"— ,' г'А = О. (8.2.9) Уравнение (9) отличается от уравнения (4.5.951 распространения волн в оптических волокнах с показателем вида (4.5.93) тем, что в первом случае коэффициент перед третьим членом действительный, а во втором случае — мнимый (в усиливающей среде создается активный оптический канал). В связи с этим можно ч) Такое поведение характерно дли усилителей бегущей волны и других ткпов; см., например, работу [4!1, где экспериментально исследовались флуктуании интенсивности сигнала, усиливаемого в оптическом параметрическом усилителе бегущей волны. интенсивность самовозбуждающихся колебаний в генераторе с обратной связью.

Если ?еП) — случайная функция, то с помощью (6) можно определить закономерности преобразования статистики в процессе усиления. В соответствии с (б) одномерные законы распределения стационарного усиливаемого шума различны в разных сечениях усиливающей среды. Если исходная случайная волна имеет гауссовскую статистику (распределеиие интенсивности экспонеициальное), то с помощью замены т на 6 результаты анализа статистических характеристик интенсивности колебания ((() (1.8.7) полностью переносятся на интенсивность ?(т), г) усиливаемой волны. Поэтому можно использовать и кривые рис.

7.8 — 7.!2. Из сказанного следует, что флуктуации интенсивности усиливаемой волны сначала нарастают, достигают максимального значения и затем, когда начинает проявляться нелинейность коэффициента усиления, происходит их уменьшение*). Из-за флуктуаций интенсивности волны на входе усиливающей среды расстояние, на котором достигается заданное значение интенсивности, также флуктуирует. Пространственная статистика; обобщение теоремы Ван Циттерта — Цернике на усиливающие среды. Лля анализа вопроса о формировании пространственной когерентности световых пучков в усилителях бегущей волны будем предполагать коэффициент усиления заданным, но учтем дифракционные эффекты. Коэффициент усиления, определяемый профилем пучка накачки, представим в виде з т ПРЕОБРАЗОВАН!!Е ШУМА Е ЛАЗЕРНОМ УСНЛИТЕЛЕ ое! воспользоваться решением (4.5.105), производя замену 2 (8.2.10) В случае б-коррелированной на входе волны поперечная корреляционная функция для произвольного сечения г равна Вх (г„г,) = =Е(г)ехР~ — [— "+ х~ — [',, "') — [0(г)(гзх — г'-;ф (8.2.11) Здесь 0(г), Е(г), а(г) и г„(г) — функции пройденного расстояния.

Особый интерес представляют значения радиуса пучка а(г) и радиуса корреляции г„(г), которые выражаются формулами (вывод см. в [21) а' (г) = — 4 [(Ке[)а — (Кед)а)/Ке[, г„' (г) — 4 [(Ке()а+ ([ш й)а)/Ке [, (8,2.12),у где 1= [е с1а (2ег)И), а= [е соэес (2ег(й), йа —— е = ([2сс,й!ай)". Графики функций а-'(г) и г„'(г) представлены на рис. 8.1. С ростом г радиус корре- 42 дг га ляции монотонно увеличивается, а радиус пучка — уменьшается.

Прп глг [хг!'6, они Рис. 8 ц азугх [верхаснмптотнческн стремятся к одному значе- няя кривая) и о-',ох шпо равному аа'26 ~ (6х=-.ца[н [ — йа,-",'2), [ни>виня кривая) в заТаким образом, в усиливающей среде, как внснностн от ра"тоя- ния г в линейном та иовится полностью пространственно коге- теле [21.

рентным "). нз а Гн О) — нсхолный Сужение спектральной линии усиливаемо- Р'л"У' "У""' го шума. Ло сих пор при рассмотрении усиления шума в лазерном усилителе мы считали коэффициент усиления а не зависящим от частоты, т. е. фактически мы предполагали, что (см. уравнения двухуровневой среды (5.5.1)) характерное время модуляции усиливаемой волны значительно больше времени релаксации Т,.

На спектральном языке это означает, что ширина линии усиливаемого шума Ьоз значительно меньше ширины линии усилителя Ло = 2(Т, (Лю <Лот). Если это условие не выполнено, то отклик среды перестает быть квазистатическим. При условии Лю,„~ Ью по н) Детальное исследование вопроса излонгено в [2, [7); результаты чис- ленного анализа йорннрпвания пространственной когсрснтности в усиливающих срезах содср катся в [3[. аав гл о. слтчхпныа волны в налниаиных с»адах мере усиления, очевидно, будет происходить сужение спектра усиливавмого шума.

Для описания таких процессов воспользуемся уравнением (3); запишем его для фурье-амплитуд А, опуская нелинейность (р =0). Тогда получим — "+(( — — а) А 0 йАи т «о йг (, и и, следовательно, А, (г) = А„(г= О) е<и — ~оии)» (8.2.13) В интересующем нас случае коэффициент усиления а=а(«о). Его конкретный расчет нетрудно провести, пользуясь уравнениями для двухуровневой системы; аналогичные расчеты выполнены в 3 8. Для однородно уширенной линии коэффициент а(о») имеет лоренцевскую форму: а («о) = ао/(1 + и'Т»). (8.2 14) Таким образом, для спектра стационарного шума на выходе лазерного усилителя имеем 6 («о) -6, (о») ехр 1+"',г~, Отсюда находим, что ширина спектра шума на выходе усилителя равна Ло»«, —,~ (~ ) (2аог~~ь 1), (8.2.18) т. а.

она обратно пропорциональна квадратному корню нз коэф- фициента усиления (см. также (8.4,20) и рис. 8.12, а). й 3. Взаимодействие случайных волн в диспергирующвй среде. Генерация второй оптической гармоники излучением с неполной временной и пространственной когерентностью В этом параграфе мы проанализируем эффекты статистики поля на примере «эталонной» для нелинейной оптики задачи о генерации второй оптической гармоники в среде с квадратичной нелинейностью. Относительная простота исходных уравнений (заметим, впрочем, что даже в этой задаче общего аналитического решения для модулированных волн ие существует) позволяет сформулировать на этом примере достаточно ясные представления о влиянии неполной временной и пространственной когерентности на процесс нелинейного взаимодействия электромагнитных волн в диспергирующей среде.

Умножение частоты шума в нелинейных цепях с сосредоточенными параметрами было рассмотрено в гл. 5. Что нового воз- $ 3. СЛУЧАПНЫВ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩВП СРВДВ ввз никает при умножении частоты шума в распределенной нелинейной среде? Поскольку в распределенной среде процесс умножения частоты представляет собой взаимодействие волн, решающую роль, очевидно, должны играть фазовые соотношения между взаимодействующими волнами. Если умножается частота плоской моно- хроматической волны, ез+ ы = 2ы, то волновое взаимодействие эффективно, если для волновых векторов выполняется соотно- шение к((о)+к;(ы) =й,(2в).