Лекции В.А. Захарова, страница 38

äî í. ý.). Ãåîìåòðè÷åñêàÿ òåîðèÿ Åâêëèäàîïèðàëàñü íà 5 àêñèîì.Ê ñîæàëåíèþ, ñèñòåìà ãåîìåòðè÷åñêèõ àêñèîì èç ¾Íà÷àë¿Åâêëèäà íåïîëíà.Âîò ïðèìåð èñòèííîãî óòâåðæäåíèÿ, êîòîðîå íåëüçÿ âûâåñòè èçàêñèîì è ïîñòóëàòîâ Åâêëèäà.Åñëè ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåò îäíó èç ñòîðîí òðåóãîëüíèêà â òî÷êå,îòëè÷íîé îò âåðøèíû òðåóãîëüíèêà, òî ýòà ïðÿìàÿ òàêæåïåðåñåêàåò åùå îäíó ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà.tt@@@@@@tÀêñèîìàòè÷åñêîå óñòðîéñòâî ãåîìåòðèèÑèñòåìàòè÷åñêîå è îñíîâàòåëüíîå ïîñòðîåíèå ãåîìåòðè÷åñêîéñèñòåìû àêñèîì áûëî îñóùåñòâëåíî Ä. Ãèëüáåðòîì (40 àêñèîì)â 1899 ã. Áîëåå áîëåå êðàòêóþ àêñèîìàòèêó óäàëîñü ïîñòðîèòüÀ.

Òàðñêîìó è åãî ó÷åíèêà (12 àêñèîì).Àêñèîìû ÒàðñêîãîÁóäåì ðàññìàòðèâàòü ãåîìåòðè÷åñêèé ìèð, âñå îáúåêòûêîòîðîãî òî÷êè .Íà ìíîæåñòâå òî÷åê åñòü âñåãî ëèøü äâà áàçîâûõ ïðåäèêàòà:B(x, y, z)òî÷êà y ëåæèò ìåæäó òî÷êàìè x è z íàîäíîé ïðÿìîéD(x, y, z, u)òî÷êà x îòñòîèò îò òî÷êè y íà òàêîå æåðàññòîÿíèå, ÷òî è òî÷êà z îò òî÷êè uÀêñèîìàòè÷åñêîå óñòðîéñòâî ãåîìåòðèèÀêñèîìû T1T51). ∀x, y , z (B(x, y , z) → B(z, y , x))( àêñèîìà ñèììåòðè÷íîñòè ïðåäèêàòà B )2). ∀x, y , z, u (B(x, y , u)&B(y , z, u) → B(x, y , z))(àêñèîìà òðàíçèòèâíîñòè ïðåäèêàòà B )3).

∀x, y D(x, y , y , x)(àêñèîìà ñèììåòðè÷íîñòè ðàâåíñòâà äëèí îòðåçêîâ )4). ∀x, y , z (D(x, y , z, z) → x = y )(àêñèîìà íóëåâîãî îòðåçêà )5). ∀x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3(D(x1 , y1 , x2 , y2 )&D(x2 , y2 , x3 , y3 ) → D(x1 , y1 , x3 , y3 ))(àêñèîìà òðàíçèòèâíîñòè ðàâåíñòâà äëèí îòðåçêîâ )Àêñèîìàòè÷åñêîå óñòðîéñòâî ãåîìåòðèèÀêñèîìà T66). ∀x1 , y1 , z1 , u1 , x2 , y2 , z2 , u2(x1 6= y1 &y1 6= z1 &B(x1 , y1 , z1 )&B(x2 , y2 , z2 )&D(x1 , y1 , x2 , y2 )&D(y1 , z1 , y2 , z2 )&D(y1 , u1 , y2 , u2 )&D(x1 , u1 , x2 , u2 ) →→ D(z1 , u1 , z2 , u2 ))(àêñèîìà ïÿòè îòðåçêîâ )tx1AtZu1AZA ZA ZZAZZAtZty1z1tx2t u2AZAZA ZA ZZAZZZtAty2z2Àêñèîìàòè÷åñêîå óñòðîéñòâî ãåîìåòðèèÀêñèîìû T7T107). ∀x, y , z, u ∃v (B(x, y , v ) & D(y , v , z, u))(àêñèîìà îòêëàäûâàíèÿ îòðåçêà )8). ∀x, y ∃z (B(x, z, y )&D(x, z, z, y ))(àêñèîìà äåëåíèÿ îòðåçêà ïîïîëàì )9).

∃x, y , z (¬B(x, y , z) & ¬B(x, z, y ) & ¬B(z, x, y ))(àêñèîìà ñóùåñòâîâàíèÿ íåêîëëèíåàðíûõ òî÷åê )10). ∀x, y , z (¬B(x, y , z) & ¬B(x, z, y ) & ¬B(z, x, y ) →→ ∃v (D(v , x, v , y )&D(v , x, v , z)))(àêñèîìà öåíòðà îïèñàííîé îêðóæíîñòè )Àêñèîìàòè÷åñêîå óñòðîéñòâî ãåîìåòðèèÀêñèîìà T1111). ∀x, y , z, u, v(D(x, u, x, v )&D(y , u, y , v )&D(z, u, z, v ) →→ (B(x, y , z) ∨ B(y , z, x) ∨ B(z, y , x)))(àêñèîìà ïåðïåíäèêóëÿðà ê ñåðåäèíå îòðåçêà )t x@@@t yQQ @Q @QQ@Q@Qt@QtHu HH vHHHHHztÀêñèîìàòè÷åñêîå óñòðîéñòâî ãåîìåòðèèÀêñèîìà T1212). ∀x, y , z, u, v(B(x, u, z)&B(y , z, v ) →→ ∃w (B(y , u, w )&B(x, w , v )))(àêñèîìà Ïàøà )t v@t w@@t t@tzxu@@ @t@yÀêñèîìàòè÷åñêîå óñòðîéñòâî ãåîìåòðèèÀêñèîìà T1313).

∃x ∀y , z (ϕ(y )&ψ(z) → B(x, y , z)) →→ ∃x 0 ∀y , z (ϕ(y )&ψ(z) → B(y , x 0 , z))(ñõåìà àêñèîì íåïðåðûâíîñòè )Àêñèîìàòè÷åñêîå óñòðîéñòâî ãåîìåòðèèÎñíîâíûå ñâîéñòâà ôîðìàëüíîé ãåîìåòðèè ÒàðñêîãîÒåîðåìàÀêñèîìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ T1T13 (ôîðìàëüíàÿ ãåîìåòðèÿÒàðñêîãî)Iíåïðîòèâîðå÷èâà,Iïîëíà,Iêàòåãîðè÷íà,Iàëãîðèòìè÷åñêè ðàçðåøèìà.Ê ñîæàëåíèþ äëÿ øêîëüíèêîâ, ðàçðåøàþùàÿ ïðîöåäóðà,ñïîñîáíàÿ äîêàçûâàòü ëþáóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ òåîðåìó, èìååòíåâåðîÿòíî áîëüøóþ âû÷èñëèòåëüíóþ ñëîæíîñòü.Òåîðèÿ ìíîæåñòâÌÍÎÆÅÑÒÂÎ ýòî îñíîâîïîëàãàþùåå ïîíÿòèå ñîâðåìåííîéìàòåìàòèêè. Ïîíÿòèå ìíîæåñòâà ïðåäëîæèë âî âòîðîéïîëîâèíå 19 â. íåìåöêèé ìàòåìàòèê Ãåîðã Êàíòîð.À ÷òî æå òàêîå ìíîæåñòâî?Ïîñêîëüêó ýòî îñíîâîïîëàãàþùåå ïîíÿòèå, ñòðîãîãîîïðåäåëåíèÿ äàòü íåëüçÿ.

Ýòî êîëëåêöèÿ (ñåìåéñòâî,ñîâîêóïíîñòü, ñîáðàíèå) ðàçëè÷íûõ ïðåäìåòîâ (îáúåêòîâ,ýëåìåíòîâ ).Ìîæåò ëè ìàòåìàòèêà ñïîêîéíî ðàçâèâàòüñÿ, îïèðàÿñü íà ñòîëüçûáêîå îñíîâàíèå?Òåîðèÿ ìíîæåñòâÏàðàäîêñ ÐàññåëàÝëåìåíòàìè ìíîæåñòâ ìîãóò áûòü ìíîæåñòâà. Ðàññìîòðèìêîëëåêöèþ âñåõ ìíîæåñòâ, êàæäîå èç êîòîðûõ íå ÿâëÿåòñÿñâîèì ñîáñòâåííûì ýëåìåíòîì: A = {x : x ∈/ x} .Ó íàñ íåò äîñòàòî÷íûõ îñíîâàíèé íå ïðèçíàâàòü ýòóñîâîêóïíîñòü ìíîæåñòâ A ìíîæåñòâîì.Íî òîãäà ìû äîëæíû óìåòü äàâàòü îòâåò íà âîïðîñ:ñîäåðæèò ëè ìíîæåñòâî A â êà÷åñòâå ýëåìåíòà ñàìî ìíîæåñòâîA (ò. å.

âåðíî ëè ÷òî A ∈ A ?)Îòâåò îáåñêóðàæèâàþùèé:IIåñëè A ∈ A , òî ïî îïðåäåëåíèþ A âåðíî A ∈/ A,à åñëè A ∈/ A , òî ïî îïðåäåëåíèþ A âåðíî A ∈ A .Òåîðèÿ ìíîæåñòâÇíà÷èò, â íàèâíîé òåîðèè ìíîæåñòâ ñóùåñòâóþòìàòåìàòè÷åñêèå óòâåðæäåíèÿ, êîòîðûå íåëüçÿ ïðèçíàòü íèèñòèííûìè, íè ëîæíûìè.

Íà îñíîâå òàêîé ðàñïëûâ÷àòîéòåîðèè õîðîøåé ìàòåìàòèêè íå ïîñòðîèòü.Ìîæåò áûòü ñòîèëî áû èñêëþ÷èòü ýòó ñòðàííóþ êîëëåêöèþ Aèç ÷èñëà ìíîæåñòâ?Ìîæíî. Íî òîãäà ïðèäåòñÿ ñîçäàòü ¾êîäåêñ òåîðèè ìíîæåñòâ¿,â êîòîðîì äîëæíî áûòü óêàçàíî, êàêèå èìåííî êîíñòðóêöèèïðèçíàþòñÿ ìíîæåñòâàìè, è êàêèìè ñâîéñòâàìè îíè äîëæíûîáëàäàòü.Ïîïûòêó ñîçäàíèÿ òàêîãî ¾êîäåêñà òåîðèè ìíîæåñòâ¿ àêñèîìàòè÷åñêîé òåîðèè ìíîæåñòâ ïðåäïðèíÿë ÝðíåñòÖåðìåëî â 1908 ã..

Àêñèîìàòèêó Öåðìåëî ïîïîëíèëè ÀáðàõàìÔðåíêåëü, Òîðàëüô Ñêîëåì, Äæîí ôîí Íåéìàí.Òåîðèÿ ìíîæåñòâ ÖåðìåëîÔðåíêåëÿÏîíÿòèå ìíîæåñòâà è ñâîéñòâà ìíîæåñòâ ìîæíî îïèñàòü ñèñïîëüçîâàíèåì åäèíñòâåííîãî ïðåäèêàòíîãî ñèìâîëà ∈ ,îáîçíà÷àþùåãî îòíîøåíèå ïðèíàäëåæíîñòè îäíîãî ìíîæåñòâàâ êà÷åñòâå ýëåìåíòà äðóãîãî ìíîæåñòâà.Ïðåäñòàâèì ñåáå ìàòåìàòè÷åñêèé ìèð, ñîñòîÿùèé òîëüêî èçìíîæåñòâ. Ýòîò ìèð ìîæåò áûòü îïèñàí ñëåäóþùèìèàêñèîìàìè.Òåîðèÿ ìíîæåñòâ ÖåðìåëîÔðåíêåëÿ1) ∀x, y , u, v (x = y & u = v ) → (x ∈ u ≡ y ∈ v )(Àêñèîìà ðàâåíñòâà ìíîæåñòâ )2) ∀x, y (∀z (z ∈ x ≡ z ∈ y ) ≡ x = y )(Àêñèîìà îáúåìíîñòè )3) ∀x∀u1 , .

. . , un ∃y ∀z (z ∈ y ≡ (z ∈ x & ϕ(z, u1 , . . . , un )))(Ñõåìà àêñèîì âûäåëåíèÿ )çäåñü ϕ(x, u1 , . . . , un ) ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìóëàëîãèêè ïðåäèêàòîâ ñèãíàòóðû σ = h∈i .Òåîðèÿ ìíîæåñòâ ÖåðìåëîÔðåíêåëÿÏðèìåðû ïðèìåíåíèÿ àêñèîìû âûäåëåíèÿ1.

Ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ïåðåñå÷åíèå äâóõ ìíîæåñòâîÑóùåñòâîâàíèå ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ìíîæåñòâ ñëåäóåò èç àêñèîìûâûäåëåíèÿ∀x1 , x2 ∃y ∀z (z ∈ y ≡ (z ∈ x1 & z ∈ x2 )),à åäèíñòâåííîñòü ïåðåñå÷åíèÿ ñëåäóåò èç àêñèîìû îáúåìíîñòè∀x, y (∀z (z ∈ x ≡ z ∈ y ) ≡ x = y ).Òåîðèÿ ìíîæåñòâ ÖåðìåëîÔðåíêåëÿÏðèìåðû ïðèìåíåíèÿ àêñèîìû âûäåëåíèÿ2. Ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ïóñòîå ìíîæåñòâîÑóùåñòâîâàíèå ïóñòîãî ìíîæåñòâà ñëåäóåò èç àêñèìûâûäåëåíèÿ∀x ∃y ∀z(z ∈ y ≡ (z ∈ x & z 6= z)),à åäèíñòâåííîñòü ïóñòîãî ìíîæåñòâà ñëåäóåò èç àêñèîìûîáúåìíîñòè∀x, y (∀z (z ∈ x ≡ z ∈ y ) ≡ x = y ).Íî çäåñü åñòü îäèí íþàíñ. À îòêóäà áåðåòñÿ ìíîæåñòâî X íàîñíîâàíèè êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ ïóñòîå ìíîæåñòâî?Òåîðèÿ ìíîæåñòâ ÖåðìåëîÔðåíêåëÿÏðèìåðû ïðèìåíåíèÿ àêñèîìû âûäåëåíèÿ2. Ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ïóñòîå ìíîæåñòâîÑóùåñòâîâàíèå ïóñòîãî ìíîæåñòâà ñëåäóåò èç àêñèìûâûäåëåíèÿ∀X ∃y ∀z(z ∈ y ≡ (z ∈ X & z 6= z)),à åäèíñòâåííîñòü ïóñòîãî ìíîæåñòâà ñëåäóåò èç àêñèîìûîáúåìíîñòè∀x, y (∀z (z ∈ x ≡ z ∈ y ) ≡ x = y ).Íî çäåñü åñòü îäèí íþàíñ.

À îòêóäà áåðåòñÿ ìíîæåñòâî X íàîñíîâàíèè êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ ïóñòîå ìíîæåñòâî?Òåîðèÿ ìíîæåñòâ ÖåðìåëîÔðåíêåëÿÏðèìåðû ïðèìåíåíèÿ àêñèîìû âûäåëåíèÿÏîýòîìó ïðèõîäèòñÿ ââîäèòü ñïåöèàëüíóþ àêñèîìó.4). ∃y ∀z ¬(z ∈ y )(Àêñèîìà ïóñòîãî ìíîæåñòâà )Ââåäåì ñïåöèàëüíûé ñèìâîë ∅ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïóñòîãîìíîæåñòâà, à çàïèñü y = ∅ áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàêñîêðàùåííîå îáîçíà÷åíèå ôîðìóëû∀z ¬(z ∈ y ) .Òåîðèÿ ìíîæåñòâ ÖåðìåëîÔðåíêåëÿÏðèìåðû ïðèìåíåíèÿ àêñèîìû âûäåëåíèÿ3.

Ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå îáúåäèíåíèå äâóõ ìíîæåñòâÊàçàëîñü áû, îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ ëåãêî ââåñòè òàê æå, êàêýòî áûëî ñäåëàíî äëÿ ïåðåñå÷åíèÿ:∀x1 , x2 ∃y ∀z (z ∈ y ≡ (z ∈ x1 ∨ z ∈ x2 )) .Íî ýòà ôîðìóëà íå ïîäïàäàåò ïîä ñõåìó àêñèîì âûäåëåíèÿ∀x∀u1 , . . . , un ∃y ∀z (z ∈ y ≡ (z ∈ x & ϕ(z, u1 , . .

. , un ))) .Ìîæíî áûëî áû çàïèñàòü îïðåäåëåíèå îáúåäèíåíèÿ òàê:∀X, x1 , x2 ∃y ∀z (z ∈ y ≡ (z ∈ X & (z 6= x1 ∨ z ∈ x2 ))) .Íî ñîâåðøåííî íåïîíÿòíî, îòêóäà âçÿòü ïîäõîäÿùåå ìíîæåñòâîX . Ìîæåò áûòü, â êà÷åñòâå X âçÿòü x1 ∪ x2 ? Íî ìû âåäü åùå íåÒåîðèÿ ìíîæåñòâ ÖåðìåëîÔðåíêåëÿÏðèìåðû ïðèìåíåíèÿ àêñèîìû âûäåëåíèÿÏîýòîìó ïðèõîäèòñÿ ââîäèòü äâå ñïåöèàëüíûå àêñèîìû.5). ∀y , z ∃x ∀u (u ∈ x ≡ (u = y ∨ u = z))(Àêñèîìà ïàðû )Ìíîæåñòâî x , ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîãî óòâåðæäàåò àêñèîìàïàðû, òðàäèöèîííî îáîçíà÷àåòñÿ {y , z}.6). ∀y ∃x ∀u (u ∈ x ≡ ∃z (z ∈ y & u ∈ z))(Àêñèîìà îáúåäèíåíèÿ )Ìíîæåñòâî x , ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîãî óòâåðæäàåòàêñèîìàSîáúåäèíåíèÿ, òðàäèöèîííî îáîçíà÷àåòñÿz èëè áîëååz∈yêîðîòêî ∪y .

Òàêèì îáðàçîì x1 ∪ x2 ýòî ∪{x1 , x2 }.Òåîðèÿ ìíîæåñòâ ÖåðìåëîÔðåíêåëÿÏðèìåðû ïðèìåíåíèÿ àêñèîìû âûäåëåíèÿ4. À ÷òî äåëàòü, åñëè íàì íóæíî ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èçîäíîãî-åäèíñòâåííîãî ýëåìåíòà?Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âûäåëåíèÿ è àêñèîìû ïàðû:ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç îäíîãî ýëåìåíòà u ýòî ìíîæåñòâî{u,u}.5. À ÷òî äåëàòü, åñëè íàì íóæíû óïîðÿäî÷åííûå íàáîðûýëåìåíòîâ?Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî àêñèîìû âûäåëåíèÿ è àêñèîìû ïàðû:óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà hy , zi ýòî ìíîæåñòâî {y , {y , z}}.Äàëåå àíàëîãè÷íî ìîæíî îïðåäåëÿòü óïîðÿäî÷åííûå íàáîðû(êîðòåæè), ôóíêöèè, èíúåêòèâíûå îòîáðàæåíèÿ, áèåêòèâíûåîòîáðàæåíèÿ, îòíîøåíèÿ âêëþ÷åíèÿ, ðàâíîìîùíîñòè è ò. ä.Òåîðèÿ ìíîæåñòâ ÖåðìåëîÔðåíêåëÿÍî òàêèì îáðàçîì èç ïóñòîãî ìíîæåñòâà ∅, åäèíñòâåííîãîìíîæåñòâà, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîãî ãàðàíòèðóþò àêñèîìû, ìîæíî ïîëó÷èòü òîëüêî êîíå÷íûå ìíîæåñòâà. À îòêóäàâîçüìóòñÿ áåñêîíå÷íûå ìíîæåñòâà?7).

∃x (∅ ∈ x & ∀y (y ∈ x → y ∪ {y } ∈ x))(Àêñèîìà áåñêîíå÷íîñòè )Ôàêòè÷åñêè, àêñèîìà áåñêîíå÷íîñòè îïðåäåëÿåò ìíîæåñòâîíàòóðàëüíûõ ÷èñåë:no∅,∅,{∅},{∅,{∅}},...,{∅},{∅,{∅}}|{z} |{z} | {z } |{z}0123Òåîðèÿ ìíîæåñòâ ÖåðìåëîÔðåíêåëÿÀ îòêóäà âîçüìóòñÿ íåñ÷åòíûå ìíîæåñòâà?8). ∀y ∃x ∀z (z ∈ x ≡ ∀u (u ∈ z → u ∈ y ))(Àêñèîìà ñòåïåíè )Àêñèîìà ñòåïåíè îïðåäåëÿåò ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâçàäàííîãî ìíîæåñòâà (ìíîæåñòâî-ñòåïåíü, powerset). Çíà÷èò,ìíîæåñòâà ìîãóò íàðàñòàòü íåîãðàíè÷åííî ¾âûñîêî¿.Òåîðèÿ ìíîæåñòâ ÖåðìåëîÔðåíêåëÿÀ ÿâëÿþòñÿ ëè ìíîæåñòâàìè îáðàçû ìíîæåñòâ îòíîñèòåëüíîçàäàííûõ ôóíêöèé, îïðåäåëÿåìûõ ïðè ïîìîùè ôîðìóë ëîãèêèïðåäèêàòîâ?9).

∀x ∀y , z, u (y ∈ x & ϕ(y , z) & ϕ(y , u) → z = u) →→ ∃v ∀w (w ∈ v ≡ ∃t (t ∈ x & ϕ(t, w )))(Ñõåìà àêñèîì çàìåíû )Òåîðèÿ ìíîæåñòâ ÖåðìåëîÔðåíêåëÿÀ íàñêîëüêî ¾ãëóáîêî¿ ìîãóò îïóñêàòüñÿ ìíîæåñòâà? Íå ìîãóòëè ó íàñ îáðàçîâûâàòüñÿ òàêèå ìíîæåñòâà, êîòîðûå âõîäÿò âñîñòàâ ñàìèõ ñåáÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòîâ?10). ∀x (x 6= ∅ → ∃y (y ∈ x & x ∩ y = ∅))(Àêñèîìà ôóíäèðîâàíèÿ (ðåãóëÿðíîñòè) )Ýòà àêñèîìà èãðàåò ðîëü ïðåäîõðàíèòåëÿ, îáåðåãàþùåãîòåîðèþ ìíîæåñòâ îò ïàðàäîêñîâ. Àêñèîìà ôóíäèðîâàíèÿîáúÿâëÿåò, ÷òî ñåìåéñòâà ìíîæåñòâ âèäànoX1 , X2 , X3 , . . .

,ó êîòîðûõ X2 ∈ X1 , X3 ∈ X2 , . . . , Xn+1 ∈ Xn , · · · è ò. ä.ìíîæåñòâàìè íå ÿâëÿþòñÿ .Òåîðèÿ ìíîæåñòâ ÖåðìåëîÔðåíêåëÿÏðèìåðû ïðèìåíåíèÿ àêñèîìû ôóíäèðîâàíèÿZF ` ∀u(u ∈/ u)Èç àêñèîìû ôóíäèðîâàíèÿ∀x (x 6= ∅ → ∃y (y ∈ x & x ∩ y = ∅))ñëåäóåò (åñëè â êà÷åñòâå x âûáðàòü {u})ZF ` ∃y (y ∈ {u} & {u} ∩ y = ∅) .Ïîñêîëüêó åäèíñòâåííûì ýëåìåíòîì y â ìíîæåñòâå {u}ÿâëÿåòñÿ u , ïîëó÷àåìZF ` {u} ∩ u = ∅ .Ñëåäîâàòåëüíî, ZF ` u ∈/ u.Òåîðèÿ ìíîæåñòâ ÖåðìåëîÔðåíêåëÿÏðèìåðû ïðèìåíåíèÿ àêñèîìû ôóíäèðîâàíèÿÏîïðîáóéòå ñàìîñòîÿòåëüíî óáåäèòüñÿ, ÷òî èç àêñèîì òåîðèèìíîæåñòâ ÖåðìåëîÔðåíêåëÿ ñëåäóåò íåâîçìîæíîñòüñóùåñòâîâàíèÿ ¾ïàðàäîêñàëüíûõ ìíîæåñòâ¿:ZF ` ∀u, v (u ∈/ v ∨v ∈/ u)ZF ` ¬∃x ∀y (y ∈ x ≡ y ∈/ y)Íóæíû ëè åùå êàêèå-íèáóäü äðóãèå àêñèîìû?Òåîðèÿ ìíîæåñòâ ÖåðìåëîÔðåíêåëÿÊ ñîæàëåíèþ, äëÿ ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ çàäà÷ ïðèõîäèòñÿââîäèòü äîïîëíèòåëüíûå àêñèîìû.Íàïðèìåð, èíòóèöèÿ ïîäñêàçûâàåò, ÷òî ëþáûå äâà ìíîæåñòâàäîëæíû áûòü ñðàâíèìû ïî ìîùíîñòè.

Äâà ìíîæåñòâà A è Bíàçûâàþòñÿ ðàâíîìîùíûìè (A ∼ B ), åñëè ñóùåñòâóåòáèåêòèâíàÿ ôóíêöèÿ, îòîáðàæàþùàÿ îäíî ìíîæåñòâî íàäðóãîå. Ñïðàâåäëèâî ëè ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå?Òåîðåìà òðèõîòîìèè. Äëÿ ëþáûõ äâóõ ìíîæåñòâ A è B âåðíîîäíî èç òðåõ:IIIëèáî A ∼ B ,ëèáî A ∼6 B , íî ñóùåñòâóåò òàêîå A0 , A0 ⊂ A, ÷òî A0 ∼ B ,ëèáî A 6∼ B , íî ñóùåñòâóåò òàêîå B 0 , B 0 ⊂ B , ÷òî A ∼ B 0 .Ýòó òåîðåìó ìîæíî äîêàçàòü, íî ëèøü ïðè òîì óñëîâèè, åñëè óíàñ åñòü õîòü êàêîé-íèáóäü ñïîñîá, ïîçâîëÿþùèé âûáðàòü èçïðîèçâîëüíîãî íåïóñòîãî ìíîæåñòâà õîòü êàêîé-íèáóäü ýëåìåíò.×òîáû ýòîò ñïîñîá âûáîðà ñòàë ëåãàëüíûì ñðåäñòâîìäîêàçàòåëüñòâà, íóæíî ââåñòè ñïåöèàëüíóþ àêñèîìó âûáîðà .Òåîðèÿ ìíîæåñòâ ÖåðìåëîÔðåíêåëÿÀêñèîìà âûáîðà (CA)Êàêîâî áû íè áûëî ìíîæåñòâî ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿìíîæåñòâ U = {X1 , X2 , . .