А.А. Булычев, И.В. Лыгин, В.Р. Мелихов - Численные методы решения прямых задач грави- и магниторазведки, страница 24

Более эффективными могут оказаться итерационные методы,которые в данном случае будут сходиться к решению, посколькуполученная система, как уже отмечалось, представлена интегральнымуравнением Фредгольма 2-го рода. Суть итерационных методов состоит втом,что,задавшисьначальным,нулевым,приближениемнамагниченности, рассчитываются новые значения намагниченности.Затем, полученное приближение берется в качестве исходного, и вновьрассчитываются значения намагниченности. Этот процесс продолжается159до тех пор, пока расхождение между двумя последовательнымиприближениями не станет меньше заданного.Несмотря на то, что итерационный алгоритм решения системыуравнений в большинстве случаев оказывается более эффективным посравнению с прямыми методами, тем не менее, и он может оказатьсядостаточно трудоемким.19.

Рассмотрим подход к решению рассматриваемой задачи на основепредставления аномального магнитного поля с помощью поверхностныхинтегралов. Для этого вспомним выражение для потенциала, создаваемогонамагниченным объемом D:U(M0 ) = −1 r11 r1M0MI(M)⋅graddv=I(M)⋅graddv .4π ∫D4π ∫DrMM 0rMM 0Преобразуем это выражение, воспользовавшись соотношениемrrrA ⋅ grad a = div aA − a divA ,rи теоремой Остроградского−Гаусса ∫ divAdv =DU(M0 ) =rA∫ ⋅ dS :∂D⎛rr11 ⎞⎟11M⎜MdivI(M)dv−divI( M )dv =∫D rMM⎜⎟4π ∫D4πrMM⎝0 ⎠0rr1 I (M )11M=dS−divI( M )dv =4π ∂∫D rMM 04π ∫D rMM 0=14πδs∫r∂D MM 0dS +δv1dv .∫4π D rMM 0Ранее, в предыдущих лекциях посвященных решению прямых задач отоднородно намагниченных тел,что для случаяr нами отмечалось,rпостоянной намагниченности ( I = const ) divI = 0 и, соответственно, δv =0. Это означает, что аномальный магнитный потенциал от такого объектаможет быть представлен с помощью поверхностных“магнитных зарядов”.rОднако в нашем случае намагниченность I не будет постояннойвеличиной, поскольку намагничивающее поле неоднородно.20.

Рассмотрим более внимательно ситуацию, возникающую в объекте спостоянной магнитной восприимчивостью æ, помещенном в неоднородноемагнитное поле, создаваемое внешними источниками. Тогда160rrrrrdivI = div (æH ) = H ⋅ grad æ + ædiv ( H пер + H втр ) .Поскольку æ=const, то первое слагаемое равно нулю. Второе слагаемоетакже будет равноr пернулю, т.к. первичное поле создается внешнимиисточниками ( divH = 0 ). В результате того, что объект приобрелнамагниченность, на его поверхности возникнут поверхностные заряды,которые образуют вторичное поле. Поскольку источники этого полярасположены на поверхности нашей области, то дивергенция вторичногополя вновь будетr втр равна нулю в любой точке, находящейся внутри этойобласти ( divH= 0 ).

Таким образом, мы приходим к выводу, что полеобъекта с однородной магнитной восприимчивостью может быть описанос помощью поверхностных “магнитных зарядов”. Следовательно, нашазадача может быть сформулирована в виде: необходимо найти такоераспределение поверхностных магнитных зарядов, которые удовлетворялибы соответствующим определенным условиям.21. Для того чтобы определить плотность поверхностных зарядовзапишем выражение для потенциала напряженности магнитного поля,создаваемого как первичным магнитным полем, так и вторичнымиповерхностными зарядами:U ( M 0 ) = U пер ( M 0 ) + ∫ δ п ( M )∂D1rMM 0dS ,где δ п ( M ) – интенсивность вторичных поверхностных зарядов в точке M,находящейся на границе области. Из этого соотношения следуетвыражение для напряженности магнитного поля:rr1H ( M 0 ) = − gradU ( M 0 ) = H пер ( M 0 ) + grad M 0 ∫ δ п ( M )dS =rMM 0∂Dr пер= H ( M 0 ) − ∫ δ п ( M ) grad M∂D1rMM 0dS .Рассмотрим малый элемент dS поверхности ∂D.

Поверхностнуюплотность зарядов в пределах этого элемента можно считать постоянной, асам элемент плоским. Тогда вблизи этого поверхностного элемента будутвыполняться следующие условия:eвнешH нор= H нор+δп2iвнеш, H нор= H нор−161δп2.eiЗдесь H нор, H нор– нормальные компоненты напряженности магнитноговнеш– проекция на нормаль кполя вне и внутри неоднородности, H норэлементу dS внешнего поля, которое представляет собой суммупервичного поля и поля вторичных (поверхностных) источников внеэлемента dS. Для того, чтобы получить уравнение для поверхностныхисточников, воспользуемся условием непрерывности на границе разделадвух сред нормальной составляющей вектора индукции магнитного поля(будем предполагать, что остаточная намагниченность отсутствует):⎛⎝внеш+µ 0 µ1 ⎜ H норδп ⎞⎛ внеш δ ⎞⎟ = µ 0 µ 2 ⎜ H нор − п ⎟ ,2⎠2⎠⎝где µ1 – относительная магнитная проницаемость вмещающей среды, µ2 –объема, находящегося в этой среде.

Разрешив это уравнение относительноδп, получим:δ п (M0 ) =2( µ 2 − µ1 ) внешH нор ( M 0 ) =( µ1 + µ 2 )=2( µ 2 − µ1 ) ⎛⎜ пер1∂ M ⎛⎜ 1H нор ( M 0 ) −δ(M)п4π ∂∫D( µ1 + µ 2 ) ⎜⎝∂n ⎜⎝ rMM 0⎞ ⎞⎟dS ⎟ .⎟ ⎟⎠ ⎠В этом выражении точки М и M0 находится на поверхности области D.Производная по направлению может быть представлена как скалярноепроизведение вектора внешней нормали к границе области и градиента1:функцииrMM 0∂ M ⎛⎜ 1∂n ⎜⎝ rMM 0⎞ r⎛⎟ = 1n ⋅ grad ⎜ 1⎟⎜ rMM⎠⎝0⎞⎟.⎟⎠22.

Для численной реализации этого алгоритма поверхность ∂D,ограничивающий объем, представим в виде набора элементарных ячеек. Впределах каждой из ячеек поверхностная плотность вторичных источниковδп и первичное поле будем считать постоянными. Тогда дискретнаяаппроксимация полученного уравнения может быть представлена в виде:Nперδ п ( M i ) + k ∑ C ij δ п ( M j ) = − kH нор(Mi ),j =1где N – число ячеек, на которые разбита поверхность; i, j – номера ячеек;1622( µ 2 − µ1 )k=,( µ1 + µ 2 )1C ij =4π∂ ⎛⎜ 1∫ ⎜S j ∂n j ⎝ rM j M i⎞⎟dS ,⎟ j⎠Mj ∈Sj.Физический смысл коэффициентов Cij – влияние j–х источников наисточник, располагающийся в точке Mi.

В зависимости от модели этовлияние может быть рассчитано различным способом. Наиболее простойпуть вычисления коэффициентов Cij – в замене интеграла приближеннымвыражением:C ij =1 ∂ ⎛⎜ 14π ∂n j ⎜⎝ rM j M i⎞⎟ ∆S .⎟ j⎠Таким образом, получена система линейных алгебраическихуравнений относительно значений поверхностных зарядов. Решив этусистему, будет найдено распределение фиктивных “магнитных зарядов”, апо ним можно рассчитать и аномальное магнитное поле.Литература.1. Блох Ю.И.

Решение прямых задач гравиразведки и магниторазведки.:Учеб. пособие. – М: МГГА. 1993. 79 с. (www.sigma3d.com).2. Блох Ю.И. Интерпретация гравитационных и магнитных аномалий.:Учеб. пособие. 2009. 232 с. (www.sigma3d.com).3. Электрическое зондирование геологической среды. Ч.I. Прямыезадачи и методика работ. / Под ред. В.К.

Хмелевского, В.А. Шевнина.– М.: Изд-во МГУ. 1988. 177 с.163УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕБулычев Андрей АлександровичЛыгин Иван ВладимировичМелихов Вячеслав РомановичЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ ЗАДАЧГРАВИ- И МАГНИТОРАЗВЕДКИ(конспект лекций)Подписано в печатьФорматТираж12.05.201060х90 1/16100 экз.Отпечатано в отделе оперативной печатиГеологического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.