А.А. Булычев, И.В. Лыгин, В.Р. Мелихов - Численные методы решения прямых задач грави- и магниторазведки, страница 23

при r =R, то оно приобретет вид:− H пер cosθ − 2aR 3 H перcosθ= µ (− H пер cosθ + aH пер cosθ ).3RВ результате для коэффициента a получим:a=µ −1,µ+2и выражения для потенциалов приобретут вид:U iвтр = aH пер r cosθ =U eвтр = bH перµ − 1 перH r cosθ ,µ+2cosθ µ − 1 3 пер cosθ,=R Hr2µ+2r2или в декартовой системе координат:U iвтр =µ − 1 перH z,µ+2U eвтр =µ − 1 3 пер z.R Hµ+2r3С учетом того, что µ = 1 + æ , получим выражение для внешнеговторичного потенциала в виде:U eвтр =æ 1 3 пер z1 æ ⎛ 4π 3 ⎞ пер zRHR ⎟H=.⎜3r1 + 13 æ 34π 1 + 13 æ ⎝ 3r3⎠Таким образом, внешний потенциал сферы совпадает с потенциаломдиполя, магнитный момент которого равен:153m=æ ⎛ 4π 3 ⎞ перR ⎟ H = IV ,⎜1 + 13 æ ⎝ 3⎠æ4 3пер,аобъемсферыH−V=πR .

Если бы1 + 13 æ3сфера имела остаточную намагниченность I n , совпадающую понаправлению с намагничивающим полем, то выражение длянамагниченности приобрело бы вид:где намагниченность I =æH пер + I nI=.1 + 13 æЭта формула была получена нами ранее при рассмотрении первогопримера.7.Если сравнить полученное выражение для намагниченности сферы сæH пер + I nнамагниченностью, полученной для полупространства I =, то1 + 0.5æможно заметить, что структура этих формул одна и та же:æH пер + I n.I=1 + NæПараметр N носит название коэффициента размагничивания, и в случаенамагниченного полупространства он равен 0.5, а для намагниченнойсферы – 1/3.8.Из выражения для внутреннего потенциала следует, чтовозникающее вторичное поле внутри сферы будет определятьсясоотношением:H iвтр = − gradU iвтр = −æµ − 1 пер1 æH =−H пер = −H пер = − NI ,1µ+23+æ31+ 3æт.е. оно будет направлено в сторону, противоположенную первичному.

Всилу этого, вторичное поле носит название размагничивающего, и егопоявление приводит к тому, что намагниченность сферы оказываетсяменьше, чем если бы она определялась по формуле I = æH пер .9.Если ввести систему координат таким образом, что напряженностьполя будет определяться компонентами H x , H y , H z , а вектор остаточной154намагниченности – компонентами I nx , I ny , I nz , то для компонент векторанамагниченности можно записать:æH xперв + I nx,Ix =1 + NæIy =æH yперв + I ny1 + Næ,æH zперв + I nz.Iz =1 + Næ10.

Аналогично тому, как было получено выражениенамагниченностисферы,можнополучитьвыражениенамагниченности бесконечного горизонтального цилиндра:длядляæH zперв + I nz.Iz =1 + NææH xперв + I nx,Ix =1 + NæПри этом коэффициент N будет равен 0.5, как и для полупространства.11. Как видно из приведенных примеров, форма объекта оказывает своюроль на величину намагниченности. Это связано с тем, что каждыйнамагниченный элемент объекта создает собственное магнитное поле,которое, складываясь с исходным полем и полем других намагниченныхэлементов, образуют некоторое суммарное поле внутри самого объекта.Именно под действием этого суммарного магнитного поля и происходитнамагничивание вещества.

Таким образом, в общем случае величинанамагниченности будет сложным образом зависеть от формы самогообъекта.12. Формулы, полученные нами ранее, описывают намагниченностьидеальных тел в виде шара, горизонтального цилиндра, однородногополупространства. К числу тел, намагниченность которых может бытьописана приведенными формулами, относятся трехосные эллипсоиды, приэтом коэффициенты размагничивания N будут своими для каждой из егоосей. Частными случаями таких эллипсоидов будут однородная сфера ибесконечный горизонтальный цилиндр.Достаточно просто вычислить коэффициенты размагничивания длядвухмерного эллиптического цилиндра.

Если величины его полуосейобозначить через a и b, то при намагничивании этого цилиндра в поле,параллельном оси a, коэффициент размагничивания будет равенNa =b,a+bа при намагничивании вдоль оси b:155Nb =a.a+bВыражения коэффициентов размагничивания для трехосныхэллипсоидов не выражаются в элементарных формулах, но ониудовлетворяют условию:N a + N b + N c = 1.Значения этих коэффициентов для разных соотношений полуосей можночисленно рассчитать или воспользоваться уже готовыми таблицами.13. В общем случае решение прямой задачи от сильно магнитных тел небудет описываться такими простыми соотношениями. Как уже отмечалось,это связано с тем, что внутреннее магнитное поле не будет однородным, абудет зависеть как от формы тела, так и от распределения магнитнойвосприимчивости внутри него.

Кроме того, необходимо будет учитыватьвлияние соседних тел, создающих свое магнитное поле, и которое будеттакже оказывать влияние на распределение намагниченности. Такимобразом, для решения такого рода задачи необходимо учесть влияние всехэтих факторов.14. Получим общее уравнение для решения задачи определениянамагниченности для изолированного тела с переменной магнитнойвосприимчивостью æ. Пустьr это тело находится в неоднородномпервичном магнитном поле H пер .

Тогда намагниченность в точке M0,находящейся внутри этого тела будет определяться следующим образом:()rrrrrrI ( M 0 ) = æ( M 0 ) H ( M 0 ) + I n ( M 0 ) = æ( M 0 ) H пер ( M 0 ) + H втр ( M 0 ) + I n ( M 0 ) .rВыражение для поля H втр можно получить на основе потенциала,создаваемого намагниченным телом, занимающим объем D:U втр ( M 0 ) = −1 r1I ( M ) ⋅ grad M 0dv ,∫4π DrMM 0rr11H втр ( M 0 ) = − grad M 0 U ( M 0 ) =grad M 0 ∫ I ( M ) ⋅ grad M 0dv .4πrMM 0DИз этого соотношения можно получить выражение для намагниченности:()rrrrI ( M 0 ) = æ( M 0 ) H пер ( M 0 ) + H втр ( M 0 ) + I n ( M 0 ) =156rrr11= æ( M 0 ) H пер ( M 0 ) + æ( M 0 )grad M 0 ∫ I ( M ) ⋅ grad M 0dv + I n ( M 0 )4πrMM 0Drr пер rВведя в рассмотрение величину I 0 = æH + I n , полученное уравнениеможно переписать следующим образом:rrr11I ( M 0 ) = I 0 ( M 0 ) + æ( M 0 )grad M 0 ∫ I ( M ) ⋅ grad M 0dv .4πrMM 0DТаким образом, для нахождения распределения намагниченности внутризаданного объема необходимо решить полученные интегральнодифференциальные уравнения.

Однако необходимо отметить, чтопоскольку точка M, по которой происходит интегрирование, и точка M0принадлежат заданной области, то при их совпадении rMM 0 = 0 , чтоприводит к возникновению сингулярности. Это, в свою очередь, приводитк необходимости создания таких численных схем решения этих уравнений,которые позволили бы обойти этот вопрос.15. Существуют разные способы решения таких уравнений.

Один из них– следующий. Вырежем вокруг точки M0 небольшую сферу DS и будемпредполагать, что поле в этой сфере однородно. Тогда, например,последнее уравнение можно переписать следующим образом:rrræ( M 0 )1I (M0 ) = I0 (M0 ) +grad M 0 ∫ I ( M ) ⋅ grad M 0dv +4πrMM 0DS+ræ( M 0 )1grad M 0 ∫ I ( M ) ⋅ grad M 0dv .4πrMM 0D − DSПоскольку поле внутри сферы, как было показано ранее, определяетсясоотношением:rr1rH iвтр = − NI = − I ,3то второе слагаемое в этом выражении будет равно:ræ( M 0 )æ( M 0 ) r1grad M 0 ∫ I ( M ) ⋅ grad M 0dv = −I (M0 ) .4π3rMM 0DSВ результате для намагниченности в точке M0 получим:157rrræ( M 0 ) ræ( M 0 )1I (M0 ) = I0 (M0 ) −I (M0 ) +grad M 0 ∫ I ( M ) ⋅ grad M 0dv ,34πrMM 0D − DSrI (M0 ) =⎛r⎞r11M0⎜ I 0 ( M 0 ) + æ( M 0 ) grad M 0⎟.⋅I(M)graddv∫æ( M 0 ) ⎜4πrMM 0 ⎟⎠D − DS⎝1+3Поскольку теперь расстояние rMM 0 не принимает нулевого значения, тоокончательно можно записать:rI (M0 ) =⎛r⎞r31M0M0⎜ I 0 ( M 0 ) + æ( M 0 )⎟.⋅grad(I(M)grad)dv∫⎜⎟3 + æ( M 0 ) ⎝4π D − DSrMM 0⎠Полученное уравнение является уравнением Фредгольма 2-го рода.Решение таких уравнений устойчиво.16.

Рассмотрим один из возможных путей численной реализацииалгоритма. Для этого представим заданный объем в виде набораэлементарных тел, одинаковых по размеру. Условия, которые следуетналожить на форму и размеры этих тел, должны быть следующими:− тела должны быть симметричными;− размеры тел должны быть небольшими относительно всего объема;− будем предполагать, что эти тела будут однородно намагниченными.В качестве такого элементарного тела можно, например, предложитьмодель куба.

Если число таких кубиков равно K, и расчетная точка Miнаходится в центре i-го куба ( i = 1, K ), то полученное уравнение длянамагниченности можно переписать следующим образом:rI (Mi ) =⎞⎛rK r⎟⎜3()IMMHM()æ()+∑iiki ⎟,03 + æ( M i ) ⎜⎜k =1⎟k ≠i⎠⎝rгде H k ( M i ) − напряженность поля, создаваемая k-м кубиком в точке Mi.rПри этом величина H k ( M i ) в свою очередь зависит от величинынамагниченности в точке Mk.

Напомним, что для однороднонамагниченноготела связь междукомпонентами вектора намагниченностиrrI и напряженностью поля H , создаваемого этим объектом, в матричнойформе может быть представлена следующим образом:158⎡ H x ⎤ ⎡V xx V xy V xz ⎤ ⎡ I x ⎤⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢HVVV=yxyyyzy⎥ ⎢I y ⎥ ,⎢⎢ ⎥⎢⎣ H z ⎥⎦ ⎢⎣Vzx Vzy Vzz ⎥⎦ ⎢⎣ I z ⎥⎦где Vij − вторые производные функции V ( M 0 ) =11dv . В нашем∫4π D rMM 0случае точка M0 соответствует точке Mi, а точка M – точке Mk. Обозначивrматрицу вторыхпроизводныхкакГ,длявекторанапряженностиHможноrrзаписать: H = ΓI . Поскольку элементы матрицы Г зависят от взаимногоMi и Mk, то представим соотношение междурасположенияr точекrвекторами H и I в следующем виде:rrH ( M i ) = Γik I ( M k ) .Соответственно предыдущее уравнение приобретет вид:rI (Mi ) =⎞⎛rKr⎟⎜3I 0 ( M i ) + æ( M i )∑ Γik I ( M k )⎟⎜3 + æ( M i ) ⎜k =1⎟k ≠i⎠⎝Таким образом, для определения характера распределения векторанамагниченности сформирована система из K векторных или 3Kскалярных уравнений.17.

Решение полученной системы уравнений прямыми методами можетоказаться не эффективным. Это связано с тем, что даже при достаточногрубой аппроксимации тела элементарными телами размерность системыможет оказаться очень высокой. Так, при аппроксимации куба системойкубиков размерностью 10⋅10⋅10, будет получена система из 1000векторных или 3000 скалярных уравнений. При большем числеаппроксимационных элементов соответственно будет увеличиваться иразмерность системы, что при ее решении прямыми методами приведет кзначительным вычислительным затратам.18.