А.А. Булычев, И.В. Лыгин, В.Р. Мелихов - Численные методы решения прямых задач грави- и магниторазведки, страница 17

путем понижениястепени полинома.Аналогично можно получить аналитические выражения дляспектральных функций gˆ z (ω ) , gˆ x (ω ) а также для элементов магнитногополя.13. Спектральную функцию можно ввести и для функции, зависящей отдвух параметров, – f(x, y). Если для нее выполняются условия Дирихле, иона абсолютно интегрируема:117∞ ∞∫∫f ( x , y ) dxdy < +∞ ,− ∞− ∞то для такойпреобразований:fˆ ( u, v ) =функции∞ ∞∫ ∫ f ( x , y )e− iuxe− ivyможноdxdy ,определитьf ( x, y) =− ∞− ∞пару∞ ∞14πследующую2∫ ∫ fˆ ( u, v )eiuxe ivy dudv .− ∞− ∞Первый интеграл описывает двухмерное преобразование Фурье, и функцияfˆ ( u, v ) – двухмерный спектр функции f(x, y).

Второй интеграл описываетобратное преобразование Фурье. Как и для одномерного случая, функцияfˆ ( u, v ) в общем случае является комплексной. Сама исходная функция f(x,y) также может быть комплексной, зависящей от двух действительныхаргументов.Не сложно показать, что для действительных и мнимых частейспектра действительной функции f(x, y) выполняются следующие условия:()()Im fˆ ( − u,− v ) = − Im fˆ ( u, v ) ,()Im fˆ ( − u, v ) = − Im fˆ ( u,− v ) .Re fˆ ( − u,− v ) = Re fˆ ( u, v ) ,()((Re fˆ ( − u, v ) = Re fˆ ( u,− v ) ,))(())14. Для двухмерного преобразования Фурье справедливы все те жесвойства – линейности, подобия, запаздывания, дифференцирования исвертки двух функций.В частности свойство запаздывания будет выражаться следующимобразом:f ( x , y ) ↔ fˆ ( u, v ) ,f ( x ± ξ , y ± η ) ↔ fˆ ( u, v )e ± iux e ± ivx ;свойство дифференцирования:f ( x , y ) ↔ fˆ ( u, v ) ,d n+ mf ( x , y ) ↔ ( iu) n ( iv ) m fˆ ( u, v ) ;nmdx dyсвойство свертки:g ( x , y ) ∗ h( x , y ) =∞ ∞∫ ∫ g( x , y )h( x − ξ , y − η )dξdη ↔ gˆ (ω )hˆ (ω ) .− ∞− ∞11815.

Введем декартову систему координат, с осью oZ направленнойвверх, и пусть в точке M(0,0,–h) располагается точечная масса m.Элементы гравитационного поля, создаваемого этой массой на плоскостиoXY, будут представлены соотношениями:−hg z ( x , y ) = V z ( x , y ) = Gm(x2g x ( x , y ) = V x ( x , y ) = Gm(x2g y ( x , y ) = V y ( x , y ) = Gm(x2+ y +h−x2)2 3/ 2+ y 2 + h2 )−y3/ 2+ y +h2)2 3/ 2,,.Аналогично тому, как были получены выражения для спектральныхфункций гравитационного поля в случае одномерного преобразованияФурье, для двухмерных спектров можно получить следующие выражения:−ω hgˆ z ( u, v ) = −2πGme, gˆ x ( u, v ) = 2πGiuωme−ω h, gˆ y ( u, v ) = 2πGivωme−ω h,где ω = u 2 + v 2 .В случае если масса m смещена относительно начала координат, т.е.находится в точке M(ξ,η,ζ), и при этом ζ < 0 , то спектральныехарактеристики приобретают вид:ωζgˆ z ( u, v ) = −2πGme e − iuξ e − ivη ,gˆ x ( u, v ) = 2πGiuωmeωζe − iuξ e − ivη ,gˆ y ( u, v ) = 2πGivωmeωζe − iuξ e − ivη .Вычисление высших производных будет определяться следующимобразом:d n+ m + k= ( iu) n ( iv ) m ( − ω ) k .nmkdx dy dzЕсли в каком-то замкнутом объеме D, находящемся ниже плоскостиoXY распределены массы с плотностью δ, то для спектральных функцийгравитационного поля можно записать:ωζgˆ z ( u, v ) = −2πG ∫ δ (ξ ,η , ζ )e e − iuξ e − ivη dV ,D119gˆ x ( u, v ) = 2πGiuδ (ξ ,η , ζ )eω∫ωζe − iuξ e − ivη dV ,ωζe − iuξ e − ivη dV .Dgˆ y ( u, v ) = 2πGivδ (ξ ,η , ζ )eω∫D16.

Аналогичным образом могут быть получены выражения дляспектральных характеристик аномального магнитного поля. Для частногослучая, когда намагниченность I области D постоянна, эти соотношениямогут быть получены на основе теоремы Пуассона. Так аномальныймагнитный потенциал связан с гравитационным потенциаломсоотношением:U =−r1( I ⋅ gradV ) =4πGδI1=−( I xV x + I yV y + I zVz ) = −(γ xV x + γ yV y + γ zVz ) ,4πGδ4πGδгде γ x , γ y , γ z – направляющие косинусы вектора намагниченности. Исходяизполученныхсоотношенийдляспектральныхкомпонентгравитационного поля, можем формально записать выражение для спектрагравитационного потенциала:1ω ζ − iuξ − ivηVˆ ( u, v ) = 2πGδ∫ e e e dV .ωDТогда спектр магнитного потенциала Uˆ ( u, v ) будет следующим образомвыражаться через функцию Vˆ ( u, v ) :Uˆ ( u, v ) = −I(γ x (iu) + γ y (iv ) + γ z (− ω ))Vˆ (u, v ) .4πGδСпектральные характеристики компонент магнитного поля с учетом того,чтоX =−∂U∂U∂U,, Y =−, Z=−∂x∂y∂Zбудут следующими:1201( iu)(iγ x u + iγ y v − γ z ω )Vˆ ( u, v ) ,4πGδ1Yˆ ( u, v ) =( iv ) iγ x u + iγ y v − γ z ω Vˆ ( u, v ) ,4πGδ1Zˆ ( u, v ) =( − ω ) iγ x u + iγ y v − γ z ω Vˆ ( u, v ) .4πGδXˆ ( u, v ) =()()Рассматривая поле ∆T как проекцию аномального поля Ta нанаправление нормального поля, получим:∆Tˆ ( u, v ) =()()1iλ x u + iλ y v − λ z ω iγ x u + iγ y v − γ z ω Vˆ ( u, v ) ,4πGδпоскольку∂U∂U ⎞⎛ ∂U∆T = − gradU ⋅ 1t 0 = −⎜λx +λx +λz ⎟ .∂x∂z ⎠⎝ ∂xВ этом выражении λ x , λ y , λ zнормального магнитного поля.- направляющие косинусы вектора17.

Из полученных результатов видно, что выражения для спектральныхфункций гравитационных и магнитных полей имеют достаточно простуюструктуру. Это привело к появлению такого направления, как расчетэлементов гравитационных и магнитных полей путем численногоинтегрирования соответствующих спектральных функций. Однако вбольшинстве случаев такой подход не дает ни выигрыша во времени, ни вточности вычисления полей. Это связано с тем, что, во-первых,спектральные функции определены по частотам до бесконечности, а причисленном интегрировании этих функций приходится отбрасыватьзначения спектров, соответствующие частотам выше некоторой граничнойчастоты, что приводит к потере мощности сигнала и появлению эффектаГиббса, и, во-вторых, сами спектры представляют собой осциллирующиефункции из-за наличия в их выражениях сомножителя e − iωσ .

В силу этихпричин необходимо с одной стороны при расчете спектральныххарактеристик уменьшать шаг по частоте, а с другой – увеличиватьинтервал интегрирования, т.е. увеличивать число участвующих в расчетахгармоник. Более подробно на этом вопросе мы остановимся в следующейлекции.18. В то же время, как в гравиразведке, так и в магниторазведкесуществует очень важный класс прямых задач, которые описываютсяуравнением типа свертки:121g ( x ) ∗ h( x ) =∞∫ g( x )h( x − ξ )dξ− для двухмерных (профильных) задач,−∞иg ( x , y ) ∗ h( x , y ) =∞ ∞∫ ∫ g( x , y )h( x − ξ , y − η )dξdη− для трехмерных.−∞ −∞К числу таких задач в частности относятся задачи вычислениякомпонент гравитационного и магнитного полей, создаваемых бесконечнотонким горизонтальным слоем, с распределенной по нему поверхностнойплотностью или намагниченностью, и бесконечным горизонтальнымпластом постоянной мощности с плотностью или намагниченностью,меняющейся только по латерали.Так, например, прямая задача вычисления вертикальнойсоставляющей гравитационного поля на уровне z, создаваемой тонкимгоризонтальным слоем, расположенным на глубине ζ и с распределеннойна нем поверхностнойплотностью будет описана следующимвыражением (двухмерная задача):∞g z ( x , z ) = 2G ∫ δ (ξ )−∞(ζ − z )dξ .(ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2Отметим, что аналогичным образом описываются линейныетрансформации потенциальных полей, основанные на интеграле Пуассона,такие как пересчет поля и вычисление высших производных на высоте.Для случая горизонтального пласта с глубинами нижней и верхнейкромок ζ1 и ζ2 (напомним, что ось oZ при наших предположенияхнаправлена вверх) и с переменной плотностью уравнение длявертикальной компоненты приобретет вид:∞ ζ2g z ( x , z ) = 2G ∫ ∫ δ (ξ )− ∞ζ 1(ζ − z )dξdζ =(ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2(ξ − x ) 2 + (ζ 2 − z ) 2= 2G ∫ δ (ξ ) lndξ ,(ξ − x ) 2 + (ζ 1 − z ) 2−∞∞т.е.

также представляется интегралом типа свертки. Схожие выраженияможно получить и для других компонент гравитационного поля, а такжедля элементов аномального магнитного поля.В спектральном представлении вид этих уравнений приобретаетпростой вид. Так поле gz, создаваемое тонким горизонтальным слоем сплотностью δ п ( x ) , будет представлено следующим образом:122ω (ζ − z )gˆ z (ω , z ) = 2πGδ п (ω )e,∞где δˆп (ω ) = ∫ δ п ( x )e − iωx dx − спектральная функция плотности.−∞Для спектра функции gz горизонтального пласта на уровне z=0( ω > 0 ):egˆ z (ω ) = 2πGδˆ (ω )ω ζ2−eω ζ1ω.Для параметра ω = 0 следует рассмотреть соответствующий предел,который окажется равным:gˆ z (0) = 2πGδˆ (0)(ζ 2 − ζ 1 ) .В отличие от вычисления значений аномальных полей в дискретныхточках пространства от изолированных объектов через спектральныефункции полей, создаваемых этими телами, применение такого подхода копределению значений поля на горизонтальной плоскости позволяетсоздать исключительно эффективные алгоритмы.Литература.1.

Гладкий К.В. Гравиразведка и магниторазведка. – М.: Недра. 1967. 319с.2. Гравиразведка. Справочник геофизика. – М.: Недра. 1990. 607 с.3. Мелихов В.Р., Булычев А.А., Састри Р.Г. Особенности решенияпрямой задачи гравиразведки с использованием быстрогопреобразования Фурье // Морские гравиметрические исследования.М., 1984. С.

73 − 80.4. Серкеров С.А. Корреляционные методы анализа в гравиразведке имагниторазведке. – М.: Недра. 1986. 247 с.5. Серкеров С.А. Спектральный анализ гравитационных и магнитныханомалий. – М.: Недра. 2002. 437 с.6. Страхов В.Н. Методы интерпретации гравитационных и магнитныханомалий. – Пермь.: ПГУ. 1984. 71 с.Лекция 9. Численные методы расчета гравитационных и магнитныханомальных полей.В предыдущих лекциях были получены различные аналитическиепредставления элементов гравитационного и магнитного поля,123создаваемые областями с заданным распределением источников. Спрактической точки зрения очень важен вопрос вычисления самихзначений этих полей в заданных точках пространства.

Вычисление этихзначений предполагает создание алгоритма, реализующего такоевычисление. Эти расчеты могут производиться, как в “ручную”, так и бытьзапрограммированы на ЭВМ. При этом могут быть использованыаналитическиевыраженияилинекоторыеполученныеявныеаппроксимационные конструкции. В любом случае, при вычислениизначений поля мы переходим к численным методам расчета значенийискомых полей. И на этом этапе могут возникать ошибки, источникикоторых могут иметь различную природу. При этом расчеты, проведенныедаже по точным аналитическим формулам, могут дать ошибочныезначения в конечном результате.