А.А. Булычев, И.В. Лыгин, В.Р. Мелихов - Численные методы решения прямых задач грави- и магниторазведки, страница 16

Но, поскольку параметр ω может принимать иотрицательные значения, а сама функция gz(x) является четной, тоокончательное выражение для gˆ z (ω ) будет иметь вид:109−ω hgˆ z (ω ) = −2πGδ л e.Аналогично, для спектра функции gx(x) можем записать:gˆ x (ω ) =∞∫ 2Gδ л−∞∞−xx− iω xedx=−Ge − iωx dx .2δл22∫22x +h−∞ x + hse − iωs. Она также является аналитическойРассмотрим функцию f ( s ) = 2s + h2во всей нижней полуплоскости за исключением точки s = –ih. Тогда⎡se − iωs ⎤se − iωs ( − ih)e −ωh e −ωhRe s f ( s ) = lim ⎢(s + ih) 2,==⎥ = lims → − ih− ih− 2ih2s + h 2 ⎦ s → − ih s − ih⎣−∞∫∞⎛ e −ωh ⎞x− iω x⎟⎟ = iπe −ωh ,⎜⎜edxπi2=22x +h⎝ 2 ⎠gˆ x (ω ) = −2Gδ л∞∫−∞ x2∞∫−∞ x2xe − iωx dx = − iπe −ωh ,2+hxe − iωx dx = −2Gδ л (− iπe −ωh ) = 2πiGδ л e −ωh .2+hЭта функция также имеет смысл при ω > 0.

С учетом того, что функцияgx(x) нечетная, выражение gˆ x (ω ) для отрицательных значений параметраω будет следующим:−ω hgˆ x (ω ) = −2πiGδ л e,или в общем случае−ω hgˆ x (ω ) = sign(ω ) ⋅ 2πiGδ л e.4.Если положение материальной линии определяется координатами(ξ,ζ) и при этом ζ<0, выражения для спектральных характеристикприобретут вид:ωζgˆ z (ω ) = −2πGδ л e e − iωξ ,ωζgˆ x (ω ) = sign(ω ) ⋅ 2πiGδ л e e − iωξ .Для спектральных функций горизонтальных производных от функций gz(x)и gx(x) получим:Vˆ xx (ω ) = ( iω ) gˆ x (ω ) .Vˆ xz (ω ) = ( iω ) gˆ z (ω ) ,110Спектр функции компонент поля притяжения на постоянном уровнеz будет определяться следующим образом:ω ( ζ − z ) − iωξgˆ z (ω ) = −2πGδ л ee ,ω ( ζ − z ) − iωξgˆ x (ω ) = sign(ω ) ⋅ 2πiGδ л ee,При этом необходимо, чтобы выполнялось условие (ζ − z ) > 0 .

Из этого вчастности следует, что спектр поля на высоте z связан со спектром поля на−ω z. Если вспомнить о том, чтонулевом уровне через экспоненту eпересчет поля в верхнее полупространство осуществляется с помощьюинтеграла Пуассона:g( x , z ) =1π∞∫g (ξ ,0)−∞то становится ясным, что функция eядра этого преобразования:zdξ ,(ξ − x ) 2 + z 2−ω zявляется спектральной функцией1z−ω z.↔e2π x +z2Здесь под полем g можно понимать любую потенциальную функцию, втом числе и любые компоненты гравитационного поля.Таким образом, поле на уровне z можно представить черезспектральную функцию того же поля на нулевом уровне:1g( x , z ) =2π∞∫ gˆ (ω )e−∞−ω zdω .Для вертикальной производной можно записать:∂g ( x , z ) ∂ ⎛ 1= ⎜⎜∂z∂z ⎝ 2π⎞ 1−ω z⎟⎟ =ˆg(ω)edω∫−∞⎠ 2π∞∞∫−∞( − ω ) gˆ (ω )e−ω zdω .Полученный результат показывает, что вычисление вертикальнойпроизводной компонент поля в пространственной области соответствуетумножению их спектральных функций на (− ω ) в частотной:g ( x , z ) z = const ↔ gˆ (ω ) ,∂g ( x , z )↔ − ω gˆ (ω ) .∂z z = const111В общем случае высшие производные через спектральные функциивыражаются следующим образом:∂ n+ m↔ ( iω ) n ( − ω ) m .nm∂x ∂ z5.В качестве примера рассмотрим, чему будут равны спектральныеdg ( x )dg x ( x )= Vzx ( x ) и= V xz ( x ) :функции производных zdxdzω ( ζ − z ) − iωξω ( ζ − z ) − iωξVˆzx (ω ) = ( iω ) gˆ z (ω ) = − ( iω )2πGδ л ee= −2πiGδ лωee,ω ( ζ − z ) − iωξVˆ xz (ω ) = ( − ω ) gˆ x (ω ) = ( − ω ) sign(ω ) ⋅ 2πiGδ л ee== −2πiGδ лω eω (ζ − z ) − iωξe.Полученные выражения, как и следовало ожидать, совпадают.6.Рассмотрим комплексную напряженность гравитационного поля,создаваемого бесконечной горизонтальной материальной линиейG ( x ) = g z ( x ) + ig x ( x ) = V z ( x ) + iV x ( x ) .Спектр такой комплексной функции будет равен сумме спектров функцийgz(x) и gx(x):Gˆ (ω ) = gˆ z (ω ) + igˆ x (ω ) .Подставив в это выражение полученные спектральные представления длякомпонент гравитационного поля, для положительных значений ω (ω > 0)получим:Gˆ (ω ) = gˆ z (ω ) + igˆ x (ω ) = −2πGδ л e −ωh + i (2πiGδ л e − ωh ) = −4πGδ л e − ωh .При отрицательных значениях ω (ω < 0):Gˆ (ω ) = gˆ z (ω ) + igˆ x (ω ) = −2πGδ л e − ωh + i (− 2πiGδ л e − ωh ) = 0 .Если рассматриваемая нами материальная линия сдвинутаотносительно начала координат на величину ξ, то для того, чтобыполучить выражение для комплексного спектра поля, создаваемого таким112источником достаточно умножить полученное выражение для Gˆ (ω ) наэкспоненту e − iωξ .Таким образом, окончательно для спектра комплекснойнапряженности гравитационного поля, создаваемого бесконечнойгоризонтальной материальной линией, можем записать:⎧ − 4πGδ л e − ωh e − iωξ , ω ≥ 0ˆG (ω ) = ⎨.<0,ω0⎩В общем случае, если координата положения этой линии (ξ,ζ), товыражение для спектра при ω ≥ 0 будет следующим:Gˆ (ω ) = −4πGδ л e ωζ e − iωξ = −4πGδ л e − iω (ξ + iζ ) = −4πGδ л e − iωσ ,при этом положение точки σ = ξ + iζ должно быть ниже оси абсцисс (ζ <0).В случае, когда массы сосредоточены в замкнутой области D спеременной плотностью δ , выражение для спектра при ω > 0 приобрететвид:Gˆ (ω ) = −4πG ∫ δ (ξ , ζ )e − iωσ dS .DСпектральные характеристики полей gz(x) и gx(x) могут бытьпредставлены следующими выражениями:ωζgˆ z (ω ) = −2πG ∫ δ (ξ , ζ )e − iωξ e dS ,Dωζgˆ x (ω ) = sign(ω ) 2πiG ∫ δ (ξ , ζ )e − iωξ e dS ,Dпри этом должно выполняться условие ζ < 0 .7.До сих пор нами рассматривался случай, когда поле было задано наоси oX.

Можно рассмотреть более общий случай и определитьпреобразование Фурье комплексной функции G(s), где s = x + iz . В основеэтого преобразования лежит следующая формула:∞1= i ∫ e − iω (σ − s ) dω ,σ −s0которая может быть получена из соотношения113∞− px∫ e dx = −0[1 − pxep]∞0=1.pЭтот результат справедлив при Re( p ) > 0 . Следовательно, необходимое∞условиесходимостиинтеграла∫e− iω (σ − s )dωследующее–0Re(iω (σ − s )) > 0 .

Оно выполняется, если координата z точки s будетбольше координаты ζ точки σ, т.е. при z > ζ (напомним, что ось oZнаправлена вверх):Re(iω (σ − s )) = Re(iω (ξ + iζ − x − iz ) == Re(ω ( z − ζ ) + iω (ξ − x )) = ω ( z − ζ ) > 0 .Представим выражение для функции G(s), создаваемой замкнутойобластью D с плотностью источников δ, следующим образом:⎡ ∞ − iω (σ − s ) ⎤1 ˆδ (ξ , ζ )G ( s ) = 2iG ∫dS = 2iG ∫ δ (ξ , ζ )⎢ i ∫ edω ⎥ dS =G (ω )e iωs dω ,∫2π DD σ − sD⎦⎣ 0гдеGˆ (ω ) = −4πG ∫ δ (ξ , ζ )e − iωσ dS .DПолученное выражение для спектра комплексной напряженностигравитационного поля совпадает с выражением для спектра, полученногонами ранее.8.Отметим общую закономерность поведения функции Gˆ (ω ) .

Дляэтого осуществим следующую оценку, которая будет справедлива при ζ <0:Gˆ (ω ) ≤ 4πG ∫ δ (ξ , ζ ) ⋅ e − iωσ dS ≤ 4πG ∫ δ (ξ , ζ ) e ωζ dS ≤DD≤ 4πGeгде ζmin−ω ζmin∫D δ (ξ ,ζ ) dS ,= min ζ . Таким образом, данная спектральная функция убываетζ ∈Dпо модулю как некоторая экспонента.1149.Функция Gˆ (ω ) связана с комплексными моментами масс области Dотносительно произвольной точки σ0. Это соотношение можно получить,разложив экспоненту e − iωσ в ряд:Gˆ (ω ) = −4πG ∫ δ (ξ , ζ )e − iωσ dS = −4πG ∫ δ (ξ , ζ )e − iω (σ −σ 0 ) e − iωσ 0 dS =DD= −4πGe− iωσ 0⎛ ∞ [− iω (σ − σ 0 )]n ⎞⎟dS =∫D δ (ξ , ζ ) ⋅ ⎜⎜ ∑⎟n!⎠⎝ n=0nnnidSωδξζσσ−−()(,)()0∫∞= −4πGe − iωσ 0 ∑Dn!n=0= −4πGe10.− iωσ 0=( − i ) n ω n m n (σ 0 ).∑n!n=0∞В случае магнитной задачи все выводы проводятся аналогично:∞1= − ∫ ω e − iω (σ − s ) dω , при Re(iω (σ − s )) > 0 ,2(σ − s )0⎡ ∞ − iω ( σ − s ) ⎤1H ( s ) = 2i ∫ I (ξ , ζ )dS = 2i ∫ I (ξ , ζ )⎢ − ∫ ω edω ⎥ dS =2(σ)−sDD⎣ 0⎦1 ∞ ˆ=H (ω )e iωs dω ,∫2π 0где Hˆ (ω ) = −4πiω ∫ I (ξ , ζ )e − iωσ dS – спектральная функция напряженностиDмагнитного поля, создаваемого областью D.Убывание спектральной функции дается оценкой:− ω ζ minHˆ (ω ) ≤ 4πω e∫ I (ξ ,ζ )dS .DСвязь спектра с комплексными магнитными моментами имеет вид:∞( − i ) n ω n M n (σ 0 )− iωσ 0ˆH (ω ) = −4πiω e.∑n!n= 011.

Производные комплексной напряженности гравитационного полячерез спектральную функцию будут выражаться следующим образом:115⎞ 1 ∞ ˆdG ( s ) d ⎛ 1 ∞ ˆiω sG ( s) =G (ω )e dω ⎟⎟ =iωG (ω )e iω s dω ,= ⎜⎜∫∫dsds ⎝ 2π 0⎠ 2π 0(1)G(n)⎞ 1 ∞d nG ( s )d ⎛ 1 ∞ ˆiω s⎜( s) =G (ω )e dω ⎟⎟ =( iω ) n Gˆ (ω )e iω s dω .= n⎜n∫∫dsds ⎝ 2π 0⎠ 2π 0Из полученного результата следует, что спектральная функцияпроизводной комплексной напряженности гравитационного поля связана сего спектром соотношением:Gˆ ( n ) (ω ) = ( iω ) n Gˆ (ω ) .Напомним, что первая производная функции G(s) связана совторыми производными потенциала силы притяжения следующимобразом:G (1) ( s ) =dG ( s )= V xz + iV xx = V xz − iV zz ,dsи этой функции соответствует спектральная функция Gˆ (1) (ω ) .Аналогичные соотношения получается и для производныхспектральных функций комплексной напряженности магнитного поля:Hˆ ( n ) (ω ) = ( iω ) n Hˆ (ω ) .Теорема Пуассона о связи гравитационного и магнитного полей,создаваемых областью D с постоянной плотностью δ и намагниченностьюI для спектральных функций имеет вид:( iω ) k ˆG (ω ) ,Hˆ (ω ) =Gгде k – комплексный коэффициент Пуассона ( I = I x + iI z , k =Iδ).12.

Вычисление спектральных функций от заданного распределениямасс, как уже отмечалось, является прямой спектральной задачей. Наосновании комплексных формул О.–Г. Можно записать:4πGΦ(σ ,σ )e − iωσ dσ =Gˆ (ω ) = −4πG ∫ δ (ξ , ζ )e − iωσ dS = −∫2 i ∂DD116= 2πiG ∫ Φ(σ ,σ )e − iωσ dσ ,∂Dгде Φ(σ ,σ ) = ∫ δˆ (σ ,σ )dσ . При постоянной плотности δ, спектральнуюфункцию Gˆ (ω ) можно представить в виде:− 4πGδ2πGδGˆ (ω ) = −4πG ∫ δe − iωσ dS =e − iωσ dσ =∫( −2i )( − iω ) ∂DωD∫e− iωσdσ .∂DТак, для многоугольника с постоянной плотностью:2πGδGˆ (ω ) =ω∫e− iωσdσ =2πGδ∂D==2πGδωωN σ∑∫eνN∑∫eν− iωσdσ ==1 Гν− iωσdσ =2πGδ=1 σ νωN σ∑∫ αν eν− iωσdσ ==1 σ ν2πGδ N2πiGδαν e − iωσν +1 − e − iωσν = −∑ω2ω ( − iω ) ν =1()N(αν∑ν=1− αν −1 )e − iωσ ν .При выводе выражения нами использовалось представление уравнениясторон многоугольника в явном виде σ = αν σ + βν .Для случая многоугольника с полиноминальным изменениемплотности δ (ξ , ζ ) = Pn (σ ,σ ) можно записать:Φ(σ ,σ ) = ∫ Pn (σ ,σ )dσ ,NGˆ (ω ) = 2πiG ∫ Φ(σ ,σ )e − iωσ dσ = 2πiG ∑ ∫ Φ(σ ,σ )e − iωσ dσ =ν =1 Гν∂DN σ ν +1= 2πiG ∑ν =1∫ Φ(σ ,αν σ + βν )eσν− iωσN σ ν +1dσ = 2πiG ∑ν =1∫Qσ(ν )n +1(σ )e − iωσ dσ .νПолученные интегралы легко берутся по частям, т.е.