klassicheskaya_mekhanika (Вырезка из книги), страница 2

1.1).Для определения положения точки Мопустим из нее перпендикуляры на каждую Рис. 1.1. К определениюиз трех измерительных шкал. Получим три положения материальнойточкивеличины I,,, Ь2, Ьт, которые однозначно15' ,определяют положение точки М относительно измерительной конструкции.Математическим эквивалентом конструкции из трех измерительных шкал является прямоугольная (декартова) системакоординат (рис. 1.2). Положение материальной точки М определяется значениямитрех координат х = Ьь у = Ь2, г = Ьз — точкой М(х, у, ^). Итак, положение точкиможно задать также тремя координатами(х, у, г), расстоянием р от начала координатРис.

1.2. Декартова, ци- до точки М и угловыми координатами (см.линдрическая и сфериче- рис. 1.2). Выбор угловых координат неодская системы координатнозначен. Отрезок ОМ составляет с осямиОХ, ОУи О2углы, обозначенные соответственно а, р, у , и для однозначного определения положения точкиМ можно взять любые два из этих трех углов. Значение третьего угламожно найти из соотношения соз2а + со82р + со82у =1, имеющегоместо в прямоугольной системе координат. Наряду с декартовой системой координат применяют цилиндрические и сферические координаты. В цилиндрической системе координатами точки Мявля22хются: расстояние р = х +уугол ер = агссоз— и координатаР2в сферической системе: расстояние р =+уугол ср и угол0 = ЗГССО8 — .гВ физике принято выражать физические законы в векторнойформе.

Напомним, что физическую величину можно выразить вектором, если для нее соблюдается закон сложения по правилу параллелограмма, а ее абсолютное значение и направление не зависятот выбора системы координат. Векторная форма имеет два преимущества: во-первых, формулировка физических законов в векторнойформе не зависит от выбора системы координат, более того, векторная система обозначений представляет собой такой язык, в которомформулировки имеют физическое содержание даже без введениясистемы координат. Во-вторых, векторная система обозначений является компактной. Многие физические законы выражаются черезвекторные величины в простой и обозримой форме, которая не сохраняется при выражении их через проекции этих величин в какойлибо системе координат.Векторы непосредственно не подлежат количественному сравнению, поскольку не определены соответствующие правила.

Поэтомусравнивать приходится только скалярные характеристики вектора —модуль (длину) или проекции. Кроме того, необходимо помнить, чтовектор является математическим объектом, поэтому формулировки16физических законов в векторном виде представляют собой математические эквиваленты законов. Такая ситуация в физике допустима,если каждая величина, входящая в математическую формулу, измерима. В противном случае имеет место не математический эквивалентфизического закона, а абстрактная формула.В векторной форме положение точки М определяется единственным вектором г, с началом в точке О и концом в точке М. Физическую величину г называют радиусом-вектором. Радиус-вектор выражается через координаты точки М с помощью ортов — единичныхвекторов, направленных вдоль координатных осей:г=Механическое движение связано с изменением положения тел,но это изменение положения любого материального объекта от начального к конечному происходит не мгновенно, скачком, а посредством последовательного прохождения промежуточных положений.Другими словами, механическое движение обладает определеннойдлительностью, причем различные процессы имеют разную длительность.

Чтобы установить меру длительности процесса (она получила название времени), надо задать способ ее измерения.Поскольку в материальном мире нет ничего кроме движущихсяобъектов, то измерять длительность процесса, происходящего с каким-либо объектом, надо с использованием движения другого объекта, служащего эталоном. В Древнем мире для измерения времениприменялись солнечные и водяные часы (гномон и клипсидра).Во времена юности Галилея еще не было механических часов (ихизобрел Гюйгенс несколько позже), тем не менее Галилей в возрасте18 лет, наблюдая в соборе за движением раскачивающейся лампады,установил изохронизм малых колебаний маятника (независимостьпериода колебаний от амплитуды) — для измерения времени Галилейиспользовал биение собственного сердца!Ясно, что для измерения времени удобно взять объект, которыйсовершает циклически повторяющееся движение.

Долгое время в качестве такого объекта рассматривалась Земля, которая совершаетциклическое движение вокруг своей оси. Тогда за единицу времениможно взять 1/86 400 часть средних солнечных суток — она получила название секунды. (В настоящее время определение секунды иное:секундой называется промежуток времени, в течение которого совершается 9192631770 колебаний электромагнитного излучения,соответствующего переходу между двумя определенными сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133 в отсутствиивнешних полей.) Однако изучение курса механики не требует знанийвсех тонкостей современной метрологии. Достаточно понимать, чтоизмерение времени всегда связано с циклическими процессами.Время измеряется прибором, который называют хронометром(часы, секундомер).

Конкретных часовых устройств существует очень17много, но все они содержат циклическую систему, повторно проходящую одну и ту же последовательность состояний, и счетчик циклов,фиксирующий число повторений некоторого состояния системы.Тело отсчета, связанные с ним приборы для определения координат и отсчета времени образуют систему отсчета, относительнокоторой можно описать движение тел.Кинематическое уравнения движения. Траектория. Перемещение. С помощью приборов для измерения положения материальной точки можно в каждый момент времени определить положениетела в выбранной системе координат и получить функциональнуюзависимость координат тела от времени.

Эти зависимости х = х((),У =ХО, 2 = %((), или в векторной форме г=г(1), называемые кинематическими уравнениями движения, могут быть использованыдля определения других физических величин, характеризующих движение тел.Например, зная кинематические уравнения движения, можнополучить уравнение траектории.

Траекторией называется линиядвижения материальной точки — геометрическое место точек, которую занимает тело в процессе своего движения. Например, в случаедвумерного движения точки в плоскости ХОУ из кинематическихуравнений движения х = х(1) и у = у(1) исключают время и получаютуравнение траектории — зависимость вида .у =Дх). Существуют различные экспериментальные способы определения траекторий, например фотографирование тела в процессе его движения, помещениев специальную среду, в которой остаются следы, и т.д.Изменение положения объекта можно описать либо вектором,соединяющим начальное и конечное положения тела (перемещение),либо длиной отрезка траектории (путь). Перемещением тела (иливектором перемещения) называется вектор, соединяющий начальноеположение тела с его конечным положением.Рис.

1.3. К определению траектории, вектора перемещения и пути18Пусть тело, двигаясь по траектории АВ, переместилось из точки/ в точку 2 (рис. 1.3). Перемещение тела Дг характеризуется изменением его координат Ах = х2- х,; Ду = у2 -у\', Дг = ^2 - %\ или в векторном виде Аг = ^Аx + ^Ау + ЛДг.Скорость и ускорение.

Скорость материальной точки являетсяодной из количественных характеристик (мер) ее движения. Пустьматериальная точка за время А/ перешла из точки 1 в точку 2 (см.рис. 1.3), при этом она находилась в точке 7 в момент времени I,а в точке 2 в момент времени 1+А/. Тогда средняя скорость материальной точки в интервале времени (I, гч-Дг) равна отношению перемещения точки за данный интервал времени к величине этогоинтервалаСР=(1.1)А/Итак, зная зависимость перемещения точки от времени, можноопределить среднюю скорость точки за любой интервал времени.Предел средней скорости при А/ -» 0 называется мгновеннойскоростью тела в данный момент времени:V = ШП —.Д/->0 Д/В общем случае, когда тело движется по кривой в пространстве,мгновенную скорость, как физическую величину, можно найтииз графиков х = х(1), у = у((), г = г(0> или математически — дифференцированием радиуса-вектора точки по времени:41Л(И(11(1.2)Мгновенная скорость в каждой точке направлена по касательнойк траектории движения тела.Формула (1.2) определяет мгновенную скорость математически.Как было сказано ранее, такое определение правомерно, только если понятенспособ ее измерения.

Один из таких способов — нахождение мгновенной скорости из графика зависимости координатыдвижущегося тела от времени (рис. 1.4) —вытекает из геометрического смысла производной функции — тангенс угла наклона касательной а равен скорости изменения координаты.Аналогично вводится понятие уско- Рис. 1.4. Измерение мгнорения материальной точки — количест- венной скорости материальвенной характеристики изменения сконой точки19рости движения точки.