А.В. Фурсиков - Программа экзамена по вариационному исчислению

Программа экзамена по вариационному исчислениюЛектор — А. В. ФурсиковVII семестр, 2005 г.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.Простейшая задача классического вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Лемма Дюбуа – Реймона.Задача о брахистохроне: решение и обоснование.Задача Больца (векторный случай). Условия трансверсальности.Лемма о структуре функционала на прямом произведении пространств.Теорема о фактор-пространстве банахова пространства.Теорема Банаха об обратном операторе (формулировка). Теорема о правом обратном операторе.Вторая теорема отделимости (формулировка). Теорема о нетривиальности аннулятора.Лемма о замкнутости образа.Теорема об аннуляторе ядра.Производные по Гато, Фреше и строгая дифференцируемость.

Соотношения между ними. Теорема о суперпозиции (формулировка).Теорема о среднем. Следствие о непрерывной дифференцируемости.Оператор Немыцкого и его дифференцируемость.Теорема Люстерника.Теорема о касательном пространстве.Принцип Лагранжа для гладких задач с ограничениями типа равенства.Метод множителей Лагранжа для гладких конечномерных задач.Выпуклые экстремальные задачи.

Теорема Куна – Таккера.Задачи Лагранжа и оптимального управления: основные определения. Формальный вывод принципа максимума из принципа Лагранжа.Доказательство принципа максимума для задачи оптимального управления со свободным концом.Полунепрерывность снизу: эквивалентность трех определений.Теорема Вейерштрасса о существовании точки минимума.Принцип компактности. Общая теорема о существовании точки минимума.Теорема Мазура. Следствия: 1) Выпуклое и замкнутое множество секвенциально слабо замкнуто. 2) Выпуклая и полунепрерывная снизу функция полунепрерывна снизу относительно слабой сходимости.Пространства Соболева для функций одного переменного.

Теорема о сужении на граничную точку отрезка.Пример Больца о не существовании решения вариационной задачи. Существенность условия полунепрерывности снизу относительно слабой сходимости в теореме существования.Пример Вейерштрасса о несуществовании решения вариационной задачи.

Существенность условия секвенциальной слабой замкнутости множества ограничений в теореме существования.Пример гармонического осциллятора о не существовании решения вариационной задачи. Существенностьусловия коэрцитивности задачи в теореме существования.Пространства Соболева функций многих переменных: определение, доказательство полноты.Теорема о плотных множествах пространств Соболева (формулировка).

Метод замыкания на примереопределения сужения функции на границу области.Теорема о рефлексивности пространств Соболева.Многомерная вариационная задача: условие роста и проверка коэрцитивности и ограниченности снизу.Квазирегулярные вариационные задачи, и проверка полунепрерывности снизу относительно слабой сходимости соответствующих функционалов.Теорема Тоннели о существовании решения вариационной задачи.Вариационные неравенства.

Задача с препятствием.Пространство H −1 . Существование единственного обобщенного решения задачи Дирихле для оператораЛапласа.Литература[1] В. М. Алексеев, В. М. Тихомиров, С. В. Фомин. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979.[2] В. М. Алексеев, Э. М. Галеев, В. М. Тихомиров. Сборник задач по оптимизации. — М.: Наука, 1984.[3] В. М. Тихомиров, А. В. Фурсиков. Существование решений экстремальных задач.(http://lib.mexmat.ru/books/9645)Последняя компиляция: 12 декабря 2005 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru..