Методические указания к решению задач (МУ к выполнению ДЗ), страница 3

Определить напряженность поля вверхней точке выступа, если на большом удалении от выступа электрическоеполе однородно и напряженность его равна E0.Решение. Пусть в однородном электрическом поле, напряженность которогоравна Е0, находится электрический диполь, ориентированный по направлению!электрического поля с дипольным моментом равным p .

Пусть плоскость, пер!пендикулярная вектору E и проходящая через диполь имеет потенциал равный0. Определим потенциал, создаваемый электрическим диполем в точке на расстоянии r от него под углом к оси диполя равным α. Пусть расстояния от положительного и отрицательного заряда диполя до данной точки равны соответственно r1, r2.

Расстояние между зарядами диполя l. Так как диполь точечный, тоr2 – r1 = lcosα, а r2⋅r1 = r2.qϕ=4πε 0!!1 1q r2 − r1p cos αpr=cos α =. − =2πεπεrr4rr4r4πε 0 r 301 20 1 2Тогда, общий потенциал диполя и однородного электрического поля ϕо можнозаписать в виде:!!! ! !  p!! prϕ0 =−=−ErrE00 ,34πε 0 r 3 4πε 0 r!!так как направления p и E одинаковые, в верхней точке выступа получим:p− E0 = 0 .4πε 0 r 3Поверхность нулевого потенциала представляет собой пересекающиеся плоскость и сферу радиуса R, что соответствует условиям задачи.

Тогда, поле вверхней точке сферического выступа E равно суперпозиции поля E0 и поля точечного диполя, расположенного в центре сферы.q  1 1q r12 − r222p=+= 3E0 .E = E0 +E 2 − 2  = E0 +04πε o  r2 r1 4πε o r22 r124πε o r 3Ответ: E = 3E0.19§5. Метод решения задач с использованием понятия энергииэлектрического поляПри решении задач с использованием понятия «энергия электрического поля»,необходимо иметь четкое представление способах нахождения энергии системы точечных зарядов и энергии распределенных зарядов.Введем понятие энергии взаимодействия системы зарядов.

Для этого рассмотрим систему из двух точечных зарядов q1 и q2. Пусть заряд q1 неподвижен, а заряд q2 перемещается из бесконечности в точку пространства, находящуюся нарасстоянии r12 от заряда q1. Как известно в этом случае силы электрическогополя совершают работуА = q2 (ϕ ∞ − ϕ 2 ) ,где ϕ 2 =q1- потенциал, создаваемый на расстоянии r12 от него, ϕ∞ - потен4πε 0 r12циал, создаваемый зарядом q1 на бесконечности можно положить равным нулю.другой стороны работу сил электрического поля можно представить как убыльпотенциальной энергии этого поля WА = −∆W = − (W2 − W∞ ) .Считаем, что энергия взаимодействия точечных зарядов на бесконечном расстоянии W∞ = 0. Откуда получим выражение для энергии взаимодействия двухточечных зарядов:WВЗ =q1q24πε 0 r12.Данное выражение можно представить в следующей форме:q1q21q21q1111 n= q1+ q2= q1ϕ 1 + q2ϕ 2 = ∑ qiϕ i ,WВЗ =4πε 0 r12 2 4πε 0 r12 2 4πε 0 r21 222 i =1nqjϕ=где n=2, i ∑- потенциал i-го заряда в поле остальных зарядов сисj =1,i ≠ j 4πε 0 rijтемы.Таким образом, это выражение представляет собой энергию взаимодействиялюбого количества зарядов, причем энергия взаимодействия может приниматькак положительное, так и отрицательное значение, в зависимости от знака зарядов системы.20При рассмотрении системы из зарядов, которые распределены по поверхностиили в объёме, необходимо представить систему в виде системы точечных зарядов ∆q = σ∆S или ∆q = ρ∆V, где ∆S и ∆V – элементы площади или объёма, накоторые разбивается область распределенного заряда.

Обобщая предыдущеесоотношение можно записать следующее выражение для полной энергии системы распределенных зарядов:Wполн1 n= ∑ ϕ i ∆qi ,2 i =1или переходя к бесконечно малым элементамWполн =111ϕ dq = ∫ ϕρ dV = ∫ ϕρ dS ,∫2 V ,S2V2Sгде ρ - объёмная плотность заряда распределенного по объему, σ - поверхностная плотность заряда распределенного по поверхности.В частном случае, если имеется изолированный заряженный проводникёмкости С и зарядом q, полная энергия заряженного проводника является собственной энергией проводника WсобстWсобст =1111 21 q2ϕ∆ϕ∆ϕϕ====qqqC.∑∑ 2 2222CПри определении выражения для собственной энергии заряженного проводника было учтено, что все точки заряженного проводника имеют один и тотже потенциал и связь между зарядом q, потенциалом ϕ и емкостью С имеет видq = ϕC.В общем случае, в системе заряженных тел полная электрическая энергия равняется сумме собственных энергий этих тел и энергий их взаимодействия.Wполн = ∑Wсобств + ∑Wвз .Отметим, что собственная энергия заряженных тел всегда положительна.Задача 5.1: Рассмотрим систему из двух заряженных проводящих тел с зарядами q1 и q2, емкостями C1 и C2.

Пусть потенциалы проводников равны ϕ1 и ϕ2 соответственно. Определить потенциальную энергию взаимодействия этих тел.Решение. Полную энергию этой системы можем определить так:2111q12q 22++ W вз .W = q1ϕ 1 + q 2ϕ 2 = W1собств + W 2 собств + W вз =222C 1 2C 2Откуда:1 q q Wвз =  q1 ϕ1 − 1  + q2 ϕ2 − 2   .2 C1 C2  Задача 5.2: Определить энергию плоского конденсатора емкостью С, если раз-ность потенциалов между обкладками ∆ϕ.Решение. Если предположить, что заряженными телами являются две большиепараллельные металлические пластины, заряженные зарядом противоположного знака q и –q, расстояние между которыми равно d, то получим для полнойэнергии:W =11q (ϕ1 − ϕ 2 ) = q∆ϕ .22Эта энергия является энергией плоского заряженного конденсатора W, емкостькоторого:C=22σ S ε0 Sq==, откуда W = q = C ∆ϕ .( ϕ1 − ϕ2 ) σ dd2C2ε0При выводе предыдущей формулы использовалось выражение для напряженности электрического поля между обкладками конденсатораE = σ/εε0 = (ϕ1-ϕ2)/d.Задача 5.3: Определим объемную плотность электрической энергии плоскогоконденсатора заполненного диэлектриком с диэлектрической проницаемостьюε, площадью обкладок равной S и расстоянием между обкладками равной d.Решение.

Емкость такого конденсатора равна C =εε 0 S.dОткуда:εε 0 S ( Ed ) εε 0 E 2 Sd εε 0 E 2C (ϕ 1 − ϕ 2 )DE===V=V = wV .W=22d22222где V – объем между обкладками конденсатора, заполненный однороднымэлектрическим полем, w – объемная плотность энергии электрического поля.w=εε 0 E 2 DED2==,222εε 022!!где D = εε 0 E – вектор электрического смещения.Используя понятие объемной плотности энергии w, можно записать полнуюэнергию электрического поля для произвольной системы зарядов:Wполн = ∫∫∫ wdV = ∫∫∫VVεε0 E2dV .2Таким образом, полная энергия электрического поля всегда положительна.

Необходимо отметить, что энергия электрического поля точечного заряда, равнабесконечности. Поэтому, точечный заряд необходимо представлять в виде заряженного тела.Покажем, что для рассмотренного выше примера 1, для двух заряженных с зарядами q1 и q2, сумма их собственных энергий всегда больше их энергии взаимодействия.! !!E = E1 + E2где E - поле, создаваемое обоими телами, E1 - первым и E2 - вторым телом.$ !εε0 (E1 + E2 )2εε0 (E1 )2εε0 (E2 )2Wполн = ∫∫∫dV = ∫∫∫dV + ∫∫∫dV +222VVV$!∫∫∫εε0 (E1E2 )dV = W1собств+W2собств+WвзVТак как, полная энергия Wполн всегда положительна, собственные энергии первого W1 и второго тела W2 также положительны, энергия взаимодействия Wвзможет принимать как положительное, так и отрицательное значение.

Тогда приотрицательном значении Wвз справедливо соотношение:W1собств + W2собств ≥ WвзПри этом, если знаки взаимодействующих тел одинаковы, то энергия взаимодействия положительна, если разные, то отрицательна, при этом модуль энергии взаимодействия определяется только модулем зарядов q1 и q2. Следовательно, соотношение полной энергии взаимодействия справедливо и при положительном значении энергии взаимодействия.23Задача 5.4. Две одинаковые распределенные системы зарядов, собственнаяэнергия которых равна W, полностью совместили в пространстве. Определитьих энергию взаимодействия.Решение.

Очевидно, что в каждой точке пространства электрическое поле удвоится. Следовательно, полная энергия возрастет в четыре раза. Откуда:Wвз = Wполн – Wсобств= 4W – 2W = 2W.Список литературы.1. Сивухин Д.В. Курс общей физики. Том III. М. Наука, 1977-1979.2. Савельев И.В. Курс общей физики. Том II.:Наука, 1978-1986.3. Иродов И.Е. Основные законы электромагнетизма. М.: Высшая школа,1991..