Примеры решения задач (рубежный контроль №1)

Пример 1.Задача. Вывести из уравнений ОНФ Стратоновича в дискретномвремени алгоритм оценки постоянных параметров (в терминах ПВ) принаблюдении сигнала на фоне БГШ.Решение.Уравнения ОНФ имеют вид (нормирующие константы опущены):(p ( λ k ξ 0k ) = p ξ k λ k+∞) ∫ p(λ−∞k −1ξ 0k −1 ) p ( λ k λ k −1 ) dλ k −1 .(1)В уравнении (1) интеграл есть экстраполированная АПВ:+∞k −1k −1∫−∞ p ( λ k −1 ξ0 ) p ( λ k λ k −1 ) dλ k −1 = p ( λ k ξ0 ) .(2)Учитывая, что оценке подлежит постоянный параметр, то:λ k −1 = λ k откуда автоматически следует рекуррентный алгоритм оценкипостоянных параметров:()()p ( λ k ξ 0k ) = p ( λ k ξ 0k −1 ) p ξ k λ k → p ( λ k ξ 0k ) = p ( λ k −1 ξ 0k −1 ) p ξ k λ k .(3)Приведем полученный рекуррентный алгоритм (3) в «канонический»вид (через функцию правдоподобия всей реализации наблюдения иаприорную ПВ):) {()} p (ξ) p (ξ λ ) = K = p ( λ ) ∏ p (ξ λ )} ({p ( λ k ξ 0k ) = p ( λ k −1 ξ 0k −1 ) p ξ k λ k = p ( λ k − 2 ξ 0k − 2 ) p ξ k −1 λ k −1(= p ( λ k − 2 ξ k0 − 2 )  p ξ k −1 λ k −1kkk−1j =0jk)λk =.(4)jВ (4) p ( λ −1 ) (т.е.

ПВ на «-1» шаге обработки, когда наблюдений еще непоступило) есть не что иное, как априорная ПВ оцениваемого вектора p pr ( λ ) .Одновременно с этим учитывая, что наблюдается сигнал на фоне БГШ∏ p (ξ j λ j )kпроизведениеесть не что иное, как функция правдоподобия дляj =0( )всей выборки наблюдения p ξ 0k λ . Таким образом, получаем окончательноследующий алгоритм:()p ( λ ξ 0k ) = p pr ( λ ) p ξ 0k λ k .Пример 2.Задача. Получить значение стационарной дисперсии оценки фазы ϕнесущей для следующих моделей наблюдения и вектора состояния:уравнение наблюдения: ξ = γ ⋅ ϕ + n0 ;вектор состояния (ВС): λ = [ϕ ω ν ] ;Tмодели динамики (уравнение) вектора состояния:ϕ& = ω ; ω& = ν ; ν& = nν .Ковариационные матрицы БГШ n0 и nν равны соответственно N 0 и Nν .Решение.В соответствии с условиями (уравнения наблюдения и сообщения)задача оценки ВС λ = [ϕ ω ν ] относится к задаче линейной фильтрации.TСледовательно,дляотысканиястационарнойдисперсииоценкиϕнеобходимо решить алгебраическое уравнение для ковариационной матрицыDλ оценки ВС в стационарном режиме.

Указанное уравнение имеет вид (см.раздел 5 лекций):N λ + ADλ + Dλ AT − Dλ HT N 0−1HDλ = 0 .(1)Для решения уравнения (1) необходимо сначала определить всеаприори известные входящие в него матрицы – N λ , N 0 , A, H .Уравнения наблюдения и сообщения в матричном виде записываютсякак:ξ = H ⋅ λ + n0 ,(2)dλ= A ⋅ λ + nλ .dt(3)Из (2) следует, что матрицы N 0 , H имеют вид:N 0 = N 0 (т.к.

наблюдение скалярное)H = [γ0 0] (т.к. [γϕ 0 0] ⋅ ω  = γ ⋅ ϕ , что соответствует условию ν задачи).Из (2) следует, что матрицы N λ , A имеют вид:0 0 0 N λ = 0 0 0 0 0 Nν соответствии(т.к.сn λ = [ 0 0 nν ]Tвекторнойпо условия задачи и взаписью(3)и 0 N λ = M {n λ ⋅ nTλ } = M   0  ⋅ [ 0 0 nν ] ). n  ν 0 1 0 A = 0 0 1  (т.к. в соответствии с векторной записью (3) и0 0 0 условиями задачиϕ& 0 1 0  ϕ  ω dλdλ  = A⋅λ →= ω& A ⋅ λ = 0 0 1  ⋅ ω  = ν  , т.е.    dtdt  ν& 0 0 0  ν   0 ϕ& ω ω&  по условию задачи→ ν  ).  ν&  0 Также введем следующие обозначения для ковариационной матрицыоценок Dλ (в соответствии с определением ковариационной матрицы онавсегда является симметричной и положительно определенной, а на диагоналистоят дисперсии оценок компонент вектора состояния): DϕDλ =  Dϕω DϕνDϕν Dων  .Dν DϕωDωDωνРаспишем подробнее слагаемые уравнения (1):0 1 0   DϕADλ = 0 0 1   Dϕω0 0 0   DϕνDλ AT = ( ADλ )TDϕωDωDων Dϕω=  Dω DωνDϕνDωνDνDϕν   DϕωDων  =  DϕνDν   0DωDων0Dων Dν  ,0 00 ,0 γ 2 N 0−1 0 0 1 0 0 T−12−1 0 0 = γ N 0 0 0 0 ,H N0 H =  0 000000 Dϕ2Dλ HT N 0−1HDλ = γ 2 N 0−1  Dϕ Dϕω Dϕ DϕνDϕ Dϕω2DϕωDϕω DϕνDϕ Dϕν Dϕω Dϕν  .2DϕνДалее можно записать исходное уравнение (1) в матрично-скалярномвиде:0 0 0   Dϕω0 0 0  +  D  ϕν0 0 Nν   0 Dϕ2−γ 2 N 0−1  Dϕ Dϕω Dϕ DϕνDωDων0Dϕ Dϕω2DϕωDϕω DϕνDων   DϕωDν  +  Dω 0   DωνDϕ Dϕν Dϕω Dϕν  = 02DϕνDϕνDωνDν00 −0 .(4)Учитывая, что симметричная матрица [3x3] имеет 6 различныхкомпонент, получаем 6 независимых скалярных алгебраических уравнений:1.

2 Dϕω − γ 2 Dϕ2 N 0−1 = 0 ;2N 0−1 = 0 ;2. 2 Dων − γ 2 Dϕω23. Nν − γ 2 DϕνN 0−1 = 0 ;4. Dω + Dϕν − γ 2 Dϕ Dϕω N 0−1 = 0 ;5. Dν − γ 2 Dϕω Dϕν N 0−1 = 0 ;6. Dων − γ 2 Dϕ Dϕν N 0−1 = 0 .По условию задачи необходимо отыскать Dϕ .Из 3-го уравнения находим, что Dϕν = γ −2 N 0 Nν .Из 6-го уравнения: Dων = γ 2 Dϕ Dϕν N 0−1 .Подставляем последнее в уравнение 2:22γ 2 Dϕ Dϕν N 0−1 − γ 2 DϕωN 0−1 = 0 → Dϕω = 2 Dϕ Dϕν .Подставляем последнее в уравнение 1 после мат.

преобразованийполучаем решение задачи:2 2 Dϕ Dϕν − γ 2 Dϕ2 N 0−1 = 0 ⇒⇒ Dϕ3 = 8γ −4 N 02 Dϕν = 8(γ156⇒ Dϕ = 2 ( γ −2 N 0 ) Nν −2N 0 ) Nν ⇒ .5.