Автореферат (Кооперация и конкуренция в динамических моделях управления возобновляемыми ресурсами), страница 5

В диссертационной работе предлагается определять характеристическую функцию в двух необычных формах: 1) игроки вне коалиции используют свои стратегии Нэша, определенные длянекооперативного варианта игры (модель с отсутствием информации)(Petrosjan L., Zaccour G., 2003); 2) игроки вне коалиции строят новыестратегии Нэша в игре с N \K игроками (модель с информацией).Разработанные схемы построения характеристической функции применены для модели «рыбных войн» со многими участниками. Динамикаразвития ресурса имеет видnXxt+1 = (εxt −uit )α , x0 = x ,i=1где xt ≥ 0 – размер популяции в момент времени t, ε ∈ (0, 1) – коэффициент естественной выживаемости, α ∈ (0, 1) – коэффициент внутреннего роста, uit ≥ 0 – стратегия (интенсивность эксплуатации) игрока iв момент времени t, i = 1, .

. . , n.Выигрыши агентов эколого-экономической системы для бесконечного горизонта планирования имеют вид∞XJi =δ t ln(uit ) ,t=0где δ ∈ (0, 1) – коэффициент дисконтирования, i = 1, . . . , n.Доказана супераддитивность полученных характеристических функций и выполнение условий, стимулирующих кооперативное поведение.Проведено сравнение состояния экологической системы и выигрышейигроков в обеих предложенных схемах.Доказано, что С-ядро данной игры не пусто и для определения динамически устойчивой процедуры распределения дележа с неравнымикомпонентами предложено решение оптимизационной задачи специального вида.Четвертая глава диссертационной работы посвящена исследованию дискретных теоретико-игровых моделей управления возобновляемыми ресурсами, учитывающих несимметричность агентов экологоэкономической системы. В разделе 4.1 исследуется модель, в которойигроки различаются территорией эксплуатации с учетом миграционного обмена и могут формировать две коалиции.

Введено понятие коалиционной устойчивости, расширяющее условия внешней и внутреннейустойчивости и учитывающее стимулы перехода игроков из одной коалиции в другую.Предполагается, что N = {1, . . . , n} агентов эколого-экономической системы эксплуатируют возобновляемый ресурс в первом районе, аM = {1, . . . , m} агентов – во втором районе.

Цель игрока – максимиза19ция бесконечной суммы дисконтированных «мгновенных» выигрышей.В данном разделе исследуется возможность формирования двух коалиций и присутствия игроков обоих типов, играющих индивидуально.Таким образом, формируется коалиционное разбиение (K, L) (игрокитипа 1 формируют коалицию K ⊂ N , |K| = k, игроки типа 2 – L ⊂ M ,|L| = l, а оставшиеся N \K и M \L игроков действуют индивидуально).При этом предполагаются два механизма формирования коалиций: 1)игроки в коалициях и индивидуальные игроки определяют свои стратегии независимо (стратегии Курно-Нэша); 2) коалиции являются лидерами, а индивидуальные игроки – ведомыми (стратегии Штакельберга).Для модели управления возобновляемыми ресурсами, учитывающейсуществование миграционного обмена, проведена проверка выполненияусловий внутренней и внешней устойчивости (D’Aspremont C., 1983).Получено, что как и в большинстве эколого-экономических моделейэти условия выполняются только для коалиций малой размерности (DeZeeuw A., 2008).

При формировании коалиционной структуры необходимо исследовать не только внутреннюю и внешнюю устойчивость, но ивозможные переходы игроков из одной коалиции в другую (Carraro C.,1997). В диссертационной работе предлагается понятие устойчивости,учитывающее возможность переходов нескольких игроков.Коалиция K называется коалиционно внутренне устойчивой, еслиVik (K, L) ≥ Vil+p (K\P, L ∪ P ) ∀i ∈ P ⊂ K , |P | = p ,(20)где Vik (K, L) – выигрыш игрока i в коалиции K, Vil+p (K\P, L ∪ P ) – выигрыш игрока i, который вместе с множеством участников P коалицииK перешел в коалицию L.Коалиция K называется коалиционно внешне устойчивой, еслиVjl (K, L) ≥ Vjk+q (K ∪ Q, L\Q) ∀j ∈ Q ⊂ L, |Q| = q ,(21)где Vjl (K, L) – выигрыш игрока j в коалиции L, Vjk+q (K ∪ Q, L\Q) – выигрыш игрока j, который вместе с множеством участников Q коалицииL перешел в коалицию K.Внутренняя устойчивость означает, что никакому множествуучастников коалиции K невыгодно выйти из нее и присоединиться ккоалиции L.

Внешняя устойчивость означает, что никакому множествуучастников коалиции L невыгодно выйти из нее и присоединиться ккоалиции K.Определение 4.2. Коалиционное разбиение (K, L) является коалиционно устойчивым, если выполнены условия (20), (21).В явном виде получены условия коалиционной устойчивости дляпредставленной модели. Показано, что данные условия дают возможность формирования устойчивых коалиций большой размерности.

Про20ведено численное моделирование и даны рекомендации по поддержанию устойчивости коалиционного разбиения.Раздел 4.2 посвящен исследованию эколого-экономической системы, в которой агенты различаются коэффициентами дисконтирования.Пусть два игрока (страны или фирмы) эксплуатируют возобновляемый ресурс на протяжении конечного горизонта планирования [0, n].Динамика развития ресурса имеет видxt+1 = (εxt − u1t − u2t )α , x0 = x ,(22)где xt ≥ 0 – размер эксплуатируемого ресурса в момент времени t,ε ∈ (0, 1) – коэффициент естественной выживаемости, α ∈ (0, 1) – коэффициент естественного роста, uit ≥ 0 – стратегия (интенсивностьэксплуатации) игрока i в момент времени t, i = 1, 2.Выигрыши игроков на конечномпромежутке времени имеют видnXJi =δit ln(uit ) ,(23)t=0где δi ∈ (0, 1) – коэффициент дисконтирования агента i, i = 1, 2.Основной проблемой в данной ситуации является то, что нет возможности определить выигрыши игроков при кооперативном поведении стандартными способами.

В диссертационной работе для построения кооперативного выигрыша и распределения его между агентамиэколого-экономической системы разработаны новые методы с использованием арбитражной схемы Нэша. При этом исследованы два способарешения данной задачи: построение общего коэффициента дисконтирования и построение кооперативных выигрышей без его использования.При применении первого способа в случае распределения выигрыша внекоторой пропорции найдены условия существования долей выигрыша и общего коэффициента дисконтирования, а для выбора конкретныхиз них предложено использование арбитражной схемы Нэша. При решении данной задачи без использования общего коэффициента дисконтирования предложено две варианта.

В первом из них кооперативныестратегии и выигрыш определяются из решения арбитражной схемыдля всего периода продолжения игры.Теорема 2.5. Кооперативные выигрыши в n-шаговой игре (22), (23)nимеют видX1 − an+1iHin (γ11 , . . . , γ1n , γ21 , . . . , γ2n ) =ln x +δin−j ln(γij )+1−ainj=1X n−j ai (1 − aj )iln(ε − γ1j − γ2j ) − δin ln 2 , i = 1, 2 .+δi1 − aij=1nPnКооперативные стратегии игроков связаны какε−γaj11n−11εγ1 a2 (1 + a2 )j=0γ1n =, γ2n =.nnnnPPPPjjjjn−11 ((an−1 +an )n)εan−1a+γa−(a+aa)a1212211122j=0j=0j=021j=0Стратегия первого игрока на последнем шаге – γ11 определяется изрешения одного из уравнений условий первого порядка.Во второй схеме определения кооперативных выигрышей арбитражная схема применяется на каждом шаге для построения кооперативногоповедения, при этом точкой статус-кво являются некооперативные выигрыши на каждом шаге.Доказаны существование и единственность решений полученных оптимизационных задач.

Показано, что при использовании арбитражнойсхемы для определения кооперативного поведения выигрыши агентовбольше или равны выигрышам в равновесии по Нэшу, что являетсяотличительной особенностью разработанных схем и не всегда выполняется при применении других подходов определения кооперативногоповедения (Breton M., Keoula M.Y., 2014).В разделе 4.3 исследованы модели, в которых агенты экологоэкономической системы различаются не только коэффициентами дисконтирования, но временами участия в процессе эксплуатации.

Рассмотрены случаи фиксированных и случайных горизонтов планирования. В диссертационной работе для построения кооперативного поведения в моделях с различными временами участия в процессе эксплуатации разработаны новые методы с применением арбитражной схемыНэша.В разделе 4.3.2 рассматривается процесс эксплуатации возобновляемого ресурса, динамика которого описывается уравнением (22), сразличными фиксированными горизонтами планирования.

Первый игрок эксплуатирует ресурс на протяжении n1 моментов времени, а второй – на протяжении n2 моментов времени (n1 < n2 ). Таким образом, навременном промежутке [0, n1 ] игроки вступают в кооперацию, и необходимо определить их кооперативные стратегии. После момента n1 домомента n2 второй игрок продолжает процесс эксплуатации индивидуально. Следовательно, выигрыши игроков имеют следующий вид:n1n1n2XXXJ1 =δ1t ln(uc1t ) , J2 =δ2t ln(uc2t ) +δ2t ln(ua2t ) ,(24)t=0t=0ucitt=n1 +1где≥ 0 – кооперативные стратегии игроков в момент времени t,i = 1, 2, ua2t ≥ 0 – стратегия второго игрока, эксплуатирующего ресурсиндивидуально, в момент времени t.Для определения кооперативного поведения агентов эколого-экономической системы применяется арбитражная схема Нэша для всего периода продолжения игры. Получены в явном виде кооперативные выигрыши и стратегии игроков, необходимые и достаточные условия оптимальности, и доказана единственность построенного решения.22В разделе 4.3.3 рассматривается процесс эксплуатации возобновляемого ресурса, динамика которого описывается уравнением (22), сослучайными временами участия.

Первый игрок эксплуатирует ресурсна протяжении n1 моментов времени, а второй – на протяжении n2 моментов времени. n1 является дискретной случайной величиной с диапазоном значений {1,. . . ,n} и соответствующими вероятностями {θ1 ,. . . ,θn }.n2 – дискретная случайная величина с тем же диапазоном и вероятностями {ω1 , . . . , ωn }.

Предполагается, что горизонты планирования независимы. Следовательно, решается задача (22), (24) со случайными временами участия в процессе эксплуатации.Выигрыши игроков определяются какn1n2n1nX³X´oXH1 = Eδ1t ln(u1t )I{n1 ≤n2 } +δ1t ln(u1t )+δ1t ln(ua1t ) I{n1 >n2 } ,t=0H2 = En2nXt=0δ2t ln(u2t )I{n2 ≤n1 } +t=0t=n2 +1n2´oXδ2t ln(u2t )+δ2t ln(ua2t ) I{n2 >n1 } ,t=0t=n1 +1n1³Xгде uait ≥ 0 – стратегия i-го игрока, когда его оппонент покидает игру,в момент времени t, i = 1, 2.Для определения кооперативного поведения используется арбитражная схема Нэша, где в качестве точки статус-кво выступают выигрышипри некооперативном поведении.Теорема 3.4.