Отзыв официального оппонента (Локализация инвариантных множеств и аттракторов эволюционных систем, связанных с одно и двух-фазовой задачами нагрева и их численная реконструкция с помощью метода Такенса)

Федеральное государственное бюджетное образовательноеучреждение высшего образования«Тульский государственный университет»ОТЗЫВофициального оппонента на диссертациюПопова Сергея Альбертовича«Локализация инвариантных множеств и аттракторовэволюционных систем, связанных с одно и двух-фазовойзадачами нагрева и их численная реконструкция спомощью метода Такенса»,представленную на соискание ученой степеникандидата физико-математических наук по специальности01.01.02 - дифференциальные уравнения,динамические системы и оптимальное управлениеИсследование вопросов локализации инвариантных множеств и аттракторовразличных классов эволюционных уравнений является актуальной задачей втеории устойчивости динамических систем и уравнений в частных производных.В диссертационной работе впервые рассмотрен метод положительноинвариантных конусов для эволюционных уравнений на гильбертовой тройкепространств.

Также в работе впервые рассмотрены дважды нелинейные системына оснащенном гильбертовом пространстве и доказана ограниченность решенийтаких систем.В первой части работы развивается метод построения конусной сетки дляобщих эволюционных систем. Этот метод был ранее рассмотрен в работах Г. А.Леонова, В. А. Якубовича и И. М. Буркина.

Также в этой части рассматриваетсякласс эволюционных систем с нелинейностями в виде полиномов, которые вконечномерном случае называются нелинейностями типа Дуффинга. Для системтакого типа доказывается существование положительно инвариантногомножества.Во второй части работы рассматриваются так называемые дваждынелинейные эволюционные уравнения. В отличие от систем управления с однойнелинейностью, для таких систем допускается вторая нелинейность, котораяпорождается, в частности, оператором энтальпии в двухфазовой задаче нагрева.Впервые такие системы были рассмотрены в работах Ж. Л. Лионса и Э.Мадженеса. Рассматриваемая система требует особого подхода, посколькуизвестные методы изучения устойчивости неприменимы. В диссертациипредлагается подход, который состоит в расщеплении системы на двеподсистемы и их отдельном анализе при некоторой априорной информации оповедении второй подсистемы.

С помощью данного метода доказываетсяограниченность решений дважды нелинейных эволюционных систем.Эффективность данного подхода показана на примере одномерной задачинагрева материала микроволнами.В следующей части работы рассматриваются вопросы локализацииинвариантных множеств бесконечномерных эволюционных систем. Для такихсистем важной задачей является сведение исходной системы к некоторойсистеме малой размерности, свойства которой дают информацию о поведенииисходной системы. Для уравнений гидродинамики такая задача решается путемпостроения определяющих функционалов и впервые была рассмотрена в работахО.

А. Ладыженской.В диссертационной работе вместо определяющихфункционалов строится класс конечномерных проекторов с использованиемчастотных условий. В качестве инвариантного множества эволюционных системрассматриваются аттракторы и аменабельные множества, впервые введенные вработах R.A.Smith и являющиеся обобщением понятия аттрактора.В заключительной части диссертационной работы рассматривается случай,когда эволюционная система полностью неизвестна. В данном случае требуетсяанализ системы на основании некоторых измерений за ее состоянием.

Такаяситуация изучена для гладких систем на конечномерном многообразии визвестной теореме Такенса. Упомянутая теорема утверждает, что для типичныхсистем с помощью измерений можно построить конечномерное вложение. Врассматриваемой в диссертации ситуации этот метод не применим, поэтому вработе используется модификация теоремы Такенса, которая была предложенадля линейных пространств в работах Робинсона. В отличии от метода Такенса,метод Робинсона использует понятие превалентности для определения“типичности”. Диссертант использует модифицированный метод Робинсона длясистем на оснащенном гильбертовом пространстве. Данная модификацияприменяется для изучения одномерной системы нагрева. Полученные численныерезультаты согласуются с теоретическими результатами по устойчивостисистемы.Несмотря на большой объем проделанной работы и общее положительноевпечатление представляется возможным сделать следующие замечания посодержанию диссертации:1.

В разделе 2.1, где рассматриваются дважды нелинейные системы,недостаточно широко освещены актуальные работы в этой области.2. Относительно доказательства модифицированной теоремы Робинсона(Теорема 4.1) в работе говорится, что она доказывается аналогичнооригинальной теореме.

Однако, отсутствие доказательства в текстедиссертации затрудняет автономное прочтение работы.3. В работе имеются незначительные опечатки.Перечисленные недостатки не влияют на общую положительную оценкудиссертации. В целом работа выполнена на высоком математическом уровне, вней рассматриваются новые постановки задач и получены результаты, которые.