Диссертация (Локализация инвариантных множеств и аттракторов эволюционных систем, связанных с одно и двух-фазовой задачами нагрева и их численная реконструкция с помощью метода Такенса)

Санкт-Петербургский государственный университетНа правах рукописиПопов Сергей АльбертовичЛОКАЛИЗАЦИЯ ИНВАРИАНТНЫХ МНОЖЕСТВИ АТТРАКТОРОВ ЭВОЛЮЦИОННЫХ СИСТЕМ,СВЯЗАННЫХ С ОДНО И ДВУХ-ФАЗОВОЙ ЗАДАЧАМИНАГРЕВА И ИХ ЧИСЛЕННАЯ РЕКОНСТРУКЦИЯ СПОМОЩЬЮ МЕТОДА ТАКЕНСА01.01.02 – Дифференциальные уравнения, динамическиесистемы и оптимальное управлениеДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор Райтманн Ф.Санкт-Петербург — 20182ОглавлениеВведение41 Положительно инвариантные множества и ограниченностьрешений эволюционных уравнений в пространстве с конусом121.1 Системы управления с монотонной нелинейностью . . .

. . .131.2 Эволюционные системы управления Лурье с нелинейностьютипа Клейна-Гордона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171.3 Однофазовая задача нагрева стержня . . . . . . . . . . . . .301.4 Эволюционные уравнения с периодической нелинейностью .362 Ограниченность решений дважды нелинейных парных эволюционных уравнений и двухфазовой задачи микроволнового нагрева432.1 Частотные условия ограниченности решений дважды нелинейного парного эволюционного уравнения . . . . . .

. . . .432.2 Сведение двухфазовой задачи нагрева к дважды нелинейному парному эволюционному уравнению . . . . . . . . . . . .483 Построение проекторов для инвариантных множеств эволюционных систем и их применение в однофазовой задачемикроволнового нагрева6133.1 Системы управления с обратной связью . . . . . . . . . .

. .613.2 Частотный метод построения проектора . . . . . . . . . . . .653.3 Построение гомеоморфных отображений из множества аменабельных решений на подмножество конечномерного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .703.4 Построение редуцированной системы по измерениям . . . . .773.5 Определяющие функционалы для вариационных уравнений803.6 Система уравнений Максвелла и теплопроводности в одномерном случае .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .844 Развитие метода Такенса для задачи микроволнового нагрева914.1 Модификация теоремы вложения Такенса для системы нагрева 914.2 Теорема Робинсона о вложении для гильбертовых троек пространств . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .954.3 Численное исследование задачи нагрева с использованиемтеоремы вложения Робинсона . . . . . . . . . . . . . . . . . .97Заключение104Литература1054ВведениеАктуальность и степень разработанности темы. Эволюционные системы, порожденные разными задачами нагрева ([6]), в том числе задачей микроволнового нагрева ([43]), имеют широкое применение вразличных областях медицины и промышленности.

Большой интерес вызывают вопросы существования и локализации инвариантных множеств иаттракторов таких систем, которые были рассмотрены в работах Д. Хенри ([24]) и А. В. Бабина и М. И. Вишика ([1]). Под локализацией такихмножеств подразумевается построение положительно инвариантных множеств, которые содержат в себе данные множества. В книгах ([1], [25]) дляопределенных классов эволюционных уравнений предлагаются методы построения и локализации таких инвариантных множеств и аттракторов. Вработах Г.

А. Леонова ([12], [13], [14]) данная задача локализации подробно изучена для уравнений с периодической нелинейностью в конечномерных пространствах. Основная идея локализации инвариантных множестви аттракторов в таких системах основана на построении конусной сетки.Однако, для систем в бесконечномерных пространствах эти результаты досих пор не были обобщены.Зачастую, вместо того чтобы рассматривать аттрактор, оказываетсяудобнее рассматривать класс так называемых аменабельных (допустимых)решений. Впервые понятие аменабельных решений было введено Р. А. Смитом ([55]) для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с5запаздыванием.

Эффективным методом для построения допустимых решений является метод построения конечномерных проекторов. Близкой задачей построения конечномерных проекторов является определение конечнойсистемы определяющих функционалов. Существование такой конечной системы позволяет описать решение рассматриваемой эволюционной системыв целом.Помимо вопроса локализации инвариантных множеств, в теории иприложениях дифференциальных уравнений очень часто бывает важноиметь свойство ограниченности решений таких уравнений. Для обыкновенных дифференциальных уравнений вопрос ограниченности решений былшироко изучен в книге Б.

П. Демидовича ([7]). Условия ограниченностирешений эволюционных уравнений рассматривались в книгах А. В. Бабинаи М. И. Вишика ([1]), И. Д. Чуешова ([25]), G. R. Sell, Y. You ([54]). Важные результаты ограниченности решений эволюционных вариационных равенств и неравенств были получены Панковым A. A. ([20]).

В этой книгерассматриваются эволюционные уравнения, заданные на тройке оснащенных гильбертовых пространств, а в качестве основного метода изучениярассматривается метод монотонных операторов ([31]). Кроме ограниченности решений в литературе рассматривается вопрос существования глобальных решений таких систем ([39], [1], [25]). Общая теория дифференциальных уравнений на оснащенных гильбертовых пространствах была предложена Ю. М. Брезанским ([2]). К общим вариационным уравнениям приводит широкий класс физических задач, в частности, одно- и двух-фазовыезадачи нагрева метериала микроволнами. Изучению задач такого типа посвящено большое количество работ ([22], [35], [43], [61]), где доказано суще-6ствование слабых решений, а также получены некоторые априорные оценки этих решений.

При рассмотрении вопроса существования слабых решений для других уравнений данного типа широко используются методы,кторые были предложены в книге О. А. Ладыженской, Н. Н. Уральцевой иВ. А. Солонникова ([10]). Важную роль также играют дважды нелинейныепарные эволюционные уравнения, в которых нелинейность находится какв правой, так и в левой частях и которые возникают, например, при изучении двухфазовой задачи нагрева.

Уравнения такого типа рассматривалисьЖ. Л. Лионсом и Э. Мадженесом ([15]), а также в работе ([32]).Кроме изучения заданных в явной форме уравнений большое значение имеет случай, когда в руках экспериментатора имеется только некоторая последовательность наблюдений за состоянием системы. Данная задача впервые была рассмотрена Ф. Такенсом для динамических систем,заданных на конечномерных многообразиях. Им было доказано, что в типичном с топологической точки зрения случае, то есть когда неизвестная динамическая система является в некотором смысле типичной, можно реконструировать поведение иходной динамической системы.

Позднеерезультаты Такенса были обобщены для случая произвольного банаховапространства Робинсоном. Также Робинсоном было введено понятие превалентности - метрического аналога свойства топологической типичностидля таких систем.В данной работе изучаются вопросы огранничености решений и локализации инвариантных множеств аттракторов вариационных эволюционных уравнений для которых кроме стандартных методов (например, метода монотонных операторов) используется частотный метод. Частотная тео-7рема Лихтарникова-Якубовича ([17], [18]) является мощным инструментомизучения эволюционных систем. В данной работе теорема ЛихтарниковаЯкубовича используется для построения функционалов Ляпунова с помощью которых исследуются свойства решений вариационных эволюционныхуравнений. Кроме того в работе предложен метод построения функционалов Ляпунова без использования частотной теоремы, на основе рассмотрения функционалов энергии.

Также в работе рассматривается метод положительно инвариантных конусов ([12], [44]) для эволюционных систем наоснащенном гильбертовом пространстве.Цели и задачи работы. Целью работы является развитие методалокализации инвариантных множеств и аттракторов, основанного на методе Ляпунова для эволюционных систем, включающих задачу одно- и двухфазового микроволнового нагрева. В частности, ставится задача построения конечномерных проекторов для таких систем и разработка эффективного численного подхода, основанного на модификации метода ТакенсаРобинсона.Методология и методы исследования. В диссертации используются следующие методы исследования:• Построение функционалов типа Ляпунова в виде квадратичных формв функциональных пространствах.• Частотный метод для построения функционала типа Ляпунова дляэволюционных систем на основе частотной теоремы ЛихтарниковаЯкубовича.• Численная аппроксимация аттрактора задачи микроволнового нагре-8ва методом Такенса-Робинсона с использованием языка программирования Python.Положения, выносимые на защиту.• Доказано существование положительно инвариантного выпуклогомножества для эволюционных систем с нелинейностью типа КлейнаГордона.• Получены достаточные условия ограниченности решений эволюционных систем с нелинейностью типа Клейна-Гордона.• Приведены условия ограниченности решений двухфазовой задачи нагрева.• Предложен метод построения проекторов для эволюционной системы, порожденной системой микроволнового нагрева.• Доказано существование проектора из множества аменабельных решений эволюционных уравнений на некоторое подмножество конечномерного пространства• Проведены численные исследования одномерной задачи микроволнового нагрева с помощью модифицированного метода вложенияТакенса-Робинсона.Степень достоверности и аппробация результатов.

Все полученные результаты математически строго доказаны.Результаты данной работы докладывались на международных конференциях "The 9th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential9Equations and Applications"(Орландо, Флорида, США, 2012), "Science andProgress"в рамках научного центра G-RISC (Санкт-Петербург, 2011), “The8th International Conference on Differential and Functional Differential Equations”(Москва, 2017), на семинарах кафедры прикладной кибернетики СанктПетербургского государственного университета (2010 – 2013).Научная новизна.Все основные результаты, представленные вдиссертации, являются новыми.

Впервые вводится понятие аменабельныхрешений для эволюционных систем и доказывается существование проекторов для таких решений.Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные условия ограниченности решений для задачмикроволнового нагрева могут быть использованы для контроля за температурой нагреваемого материала.Публикации на тему диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 печатных работах, в том числе в четырех статьях([21], [45], [47], [48]).

Статьи ([45], [47]) опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ и индексируемых системой Scopus. В работах ([47], [48],[49]) соавтору (научному руководителю) принадлежит постановка задачи,диссертанту принадлежат все основные теоретические результаты и численное моделирование.Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения.Во введении аргументирована актуальность темы диссертации, приведен обзор литературы, определены цели и задачи работы а так же обоснована их научная ценность.10В первой главе рассмотрены вопросы существования решения длякласса эволюционных уравнений с монотонной нелинейностью, а такжеизучаются эволюционные уравнения типа Клейна-Гордона, используя приэтом метод положительно инвариантных конусов.