Автореферат (Абстрактное кодифференциальное исчисление в нормированных пространствах и его приложения к негладкой оптимизации)

САНКТ–ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиДолгополик Максим ВладимировичАБСТРАКТНОЕ КОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕВ НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ И ЕГОПРИЛОЖЕНИЯ К НЕГЛАДКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ01.01.09 — дискретная математика и математическая кибернетикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукСанкт–Петербург2014Работа выполнена в Санкт–Петербургском государственном университете.Научный руководитель:доктор физико–математических наук,профессор Демьянов Владимир ФёдоровичОфициальные оппоненты:Ерохин Владимир Иванович,доктор физико–математических наук, профессорСанкт–Петербургский государственныйтехнологический институт (технический университет),заведующий кафедройинноватики и информационных технологийКулагин Виктор Васильевич,кандидат физико–математических наукИнститут проблем машиноведения РАН,старший научный сотрудникВедущая организация:Саратовский государственный университетимени Н.Г.

ЧернышевскогоЗащита состоится “24” сентября 2014 г. в 16 часов на заседании диссертационного советаД.212.232.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт–Петербургскомгосударственном университете по адресу: 199178, Санкт–Петербург, 10 линия В.О., д. 33/35,ауд. 74.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. А.М. Горького Санкт–Петербургскогогосударственного университета по адресу: 199034, Санкт–Петербург, Университетскаянаб., д.

7/9 и на сайте http://spbu.ru/science/disser/dissertatsii-dopushchennye-k-zashchite-isvedeniya-o-zashchite.Автореферат разослан “”2014 года.Ученый секретарь диссертационного советадоктор физ.–мат. наук, профессорНежинский В.М.ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность темы исследования. Негладкий анализ, как раздел математики,изучающий недифференцируемые функции, в первую очередь в связи с теорией негладких экстремальных задач, сформировался во второй половине XX века под влиянием работВ.Ф. Демьянова, А.М. Рубинова, Н.З.

Шора, Б.Н. Пшеничного, А.Д. Иоффе, Ф. Кларка,Дж. Варги и многих других авторов. Основными инструментами исследования в негладкоманализе являются производная по направлениям и субдифференциал, а также их многочисленные обобщения, такие как верхняя и нижняя производные Кларка, субдифференциалКларка, проксимальный субдифференциал и субдифференциал Мишеля–Пено. Общим свойством всех обобщений понятий производной по направлениям и субдифференциала являетсятот факт, что все они определяют некоторую положительно однородную аппроксимациюприращения функции. Одним из наиболее продуктивных методов исследования производных по направлениям негладких функций является метод, основанный на понятии экзостера, поскольку данный метод позволяет выражать удобным образом условия экстремуманегладкой функции, а также строить направления спуска и подъёма данной функции.

Однако, в негладком случае производная по направлениям, как и её обобщения, не являетсянепрерывной функцией точки, что существенно затрудняет построение эффективных численных методов решения негладких оптимизационных задач. Поэтому В.Ф. Демьянов ввёлпонятие кодифференцируемой функции и кодифференциала с помощью которого строитсянеоднородная аппроксимация приращения негладкой функции. Для очень широкого класса негладких функций кодифференциальное отображение является непрерывным в метрикеХаусдорфа, что позволяет строить эффективные методы недифференцируемой оптимизациина основе понятия кодифференциала. Отметим здесь замечательное свойство метода кодифференциального спуска “обходить” некоторые точки локального минимума, существенно отличающее данный метод от других методов гладкой и негладкой оптимизации.

Ещё однимпреимуществом подхода, основанного на кодифференцируемости, является наличие удобногоисчисления кодифференцируемых функций, построенного В.Ф. Демьяновым и А.М. Рубиновым, в то время как для большинства обобщений понятий субдифференциала и производнойпо направлениям не существует полноценного исчисления. Дальнейшим обобщением понятиякодифференциала является понятие верхнего и нижнего коэкзостера, с помощью котороготакже определяется неоднородная аппроксимация приращения функции.Одной из актуальных задач, стоящих в настоящее время, является дальнейшее развитие теории неоднородных аппроксимаций негладких функций, как одного из наиболее эф3фективных инструментов исследования негладких задач.Целью диссертации является построение общей теории неоднородных аппроксимаций негладких функций на основе идей абстрактного выпуклого анализа, развитие теориикодифференцируемости и неоднородных выпуклых аппроксимаций в нормированных пространствах, а также их применение к исследованию различных экстремальных задач.Теоретическая значимость работы состоит в том, что в ней развивается общая теория аппроксимаций негладких функций, позволяющая решать различные негладкие экстремальные задачи.

В диссертации строится исчисление абстрактных выпуклых аппроксимаций негладких функций, впервые приводятся многочисленные свойства кодифференцируемых функций, а также детально изучается метод кодифференциального спуска и развивается аппарат исчерпывающих семейств неоднородных выпуклых аппроксимаций, являющийсяудобным инструментом исследования различных оптимизационных задач.Практическая значимость работы определяется тем, что в ней разработан общийподход к построению различных аппроксимаций негладких функций и изучению различныхэкстремальных задач с ограничениями. Кроме того, в диссертации подробно изучены методкодифференциального спуска и метод спуска, основанный на неоднородных выпуклых аппроксимациях, позволяющие эффективно решать негладкие экстремальные задачи и строитьновые численные методы решения гладких оптимизационных задач с ограничениями. Такжев диссертации приведены различные приложения к задачам вариационного исчисления.Научная новизна.

Все основные научные результаты диссертации являются новыми.Методы исследования. В диссертации применяются современные методы теорииэкстремальных задач, негладкого анализа и недифференцируемой оптимизации.Основные результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту:• построено исчисление абстрактных выпуклых аппроксимаций негладких функций;• получены необходимые условия экстремума негладких функций в терминах абстрактных выпуклых аппроксимаций;• на основе абстрактных выпуклых аппроксимаций указана связь между квазидифференциалом, экзостером, кодифференциалом и коэкзостером;• понятия кодифференцируемости и коэкзостера обобщены на случай функций, определённых на нормированном пространстве;• получены многочисленные новые свойства кодифференцируемых функций;4• обобщён и подробно изучен метод кодифференциального спуска;• построено исчисление исчерпывающих семейств неоднородных верхних выпуклых инижних вогнутых аппроксимаций негладких функций;• построен и изучен метод спуска, основанный на неоднородных верхних выпуклых аппроксимациях;• выведены необходимые условия экстремума в некоторых негладких задачах вариационного исчисления.Апробация работы.

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на Всероссийской конференции “Устойчивость и процессы управления”, посвящённой 80-ти летию со дня рождения В. И. Зубова (г. Санкт–Петербург, 1–2 июля, 2010 г.), международной конференции “Конструктивный негладкий анализ и смежные вопросы (CNSA2012)” (г. Санкт–Петербург, 18–23 июня 2012 г), международной конференции “Обратные инекорректные задачи математической физики” (г. Новосибирск, 5–12 августа, 2012 г), 17 Саратовской зимней школе “Современные проблемы теории функций и их приложения” (г.

Саратов, 27 января – 3 февраля, 2014 г.), XLI и XLII международных научных конференцияхаспирантов и студентов “Процессы управления и устойчивость” (г. Санкт–Петербург, 5–8 апреля, 2010 г., 4–7 апреля, 2011 г.) и семинаре по дискретному гармоническому анализу игеометрическому моделированию (математико — механический факультет, СПбГУ).Публикации. По результатам исследований опубликовано 8 печатных работ, из которых две в соавторстве и две в изданиях, рекомендуемых ВАК.Работы [2, 8] написаны в соавторстве.

В работе [2] автору принадлежит доказательствоосновных результатов, В.Ф. Демьянову — общая постановка задач, идея метода кодифференциального спуска и идея приложения теории кодифференцируемых функций и теорииточных штрафных функций к исследованию задач вариационного исчисления. В работе [8]автору принадлежит доказательство основного результата об эквивалентности методов наискорейшего и гиподифференциального спусков, Г.Ш.

Тамасяну — общая постановка задачи.Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, пяти глав, заключения, списка обозначений и списка литературы. Определения, предложения, теоремы,леммы, следствия, примеры и замечания нумеруются в соответствии с главой, параграфом,в которых они находятся. Формулы нумеруются в соответствии с главой, в которой онинаходятся. Объём работы составляет 140 страниц.

Список литературы включает 128 наименований.5СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВо Введении приводится обзор литературы по теме работы, обсуждается актуальность исследования, его теоретическая и практическая ценность, научная новизна.В первой главе приведены основные определения и результаты из топологии, функционального анализа, выпуклого анализа, теории многозначных отображений и негладкого анализа, используемые в следующих главах.