Автореферат (Моделирование оценок погрешностей аппроксимации сплайнами в различных нормах)

ÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÏîëóÿíîâ Ñåðãåé Âèêòîðîâè÷Ìîäåëèðîâàíèå îöåíîê ïîãðåøíîñòåéàïïðîêñèìàöèè ñïëàéíàìè â ðàçëè÷íûõ íîðìàõÑïåöèàëüíîñòü 01.01.07 Âû÷èñëèòåëüíàÿ ìàòåìàòèêàÀÂÒÎÐÅÔÅÐÀÒäèññåðòàöèè íà ñîèñêàíèå ó÷¼íîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÑàíêò-Ïåòåðáóðã 2016Ðàáîòà âûïîëíåíà íà êàôåäðå âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà.Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîðÁÓÐÎÂÀ Èðèíà Ãåðàñèìîâíà.Îôèöèàëüíûå îïïîíåíòû: äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîðÂÀÃÅÐ Áîðèñ Ãåîðãèåâè÷ (Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèéãîñóäàðñòâåííûé àðõèòåêòóðíî-ñòðîèòåëüíûé óíèâåðñèòåò), ïðîôåññîð êàôåäðû ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè è èíôîðìàòèêè;äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîðËÓÖÅÍÊÎ Ìèõàèë Ìèõàéëîâè÷ (Ïåòåðáóðãñêèéãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò ïóòåé ñîîáùåíèé Èìïåðàòîðà Àëåêñàíäðà I), ïðîôåññîð êàôåäðû ¾Ìàòåìàòèêà è ìîäåëèðîâàíèå¿.Âåäóùàÿ îðãàíèçàöèÿ:Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ýëåêòðîòåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò ¾ËÝÒÈ¿ èì.

Â.È. Óëüÿíîâà(Ëåíèíà).Çàùèòà ñîñòîèòñÿ ¾¿2016 ã. â÷àñîâ íà çàñåäàíèè äèñ-ñåðòàöèîííîãî ñîâåòà Ä 212.232.49 íà áàçå Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà ïî àäðåñó: 199004, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, 10-ÿ ëèíèÿ, ä. 33, àóä. 74.Ñ äèññåðòàöèåé ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â Íàó÷íîé áèáëèîòåêå èì. Ì. Ãîðüêîãî Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà ïî àäðåñó: 199034,Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, Óíèâåðñèòåòñêàÿ íàá., 7/9 è íà ñàéòå:https://disser.spbu.ru/les/disser2/disser/6wtqdY7JP6.pdfÀâòîðåôåðàò ðàçîñëàí ¾¿2016 ã.Ó÷¼íûé ñåêðåòàðüäèññåðòàöèîííîãî ñîâåòàäîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê×óðèí Þ.Â.Îáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàáîòûÀêòóàëüíîñòü ðàáîòûÑïëàéíû øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ ïðè ðåøåíèè ðàçëè÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõçàäà÷.

Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ïåðâûì óïîìèíàíèåì î ñïëàéíå êàê î ãëàäêîé, êóñî÷íîçàäàííîé ôóíêöèè, ÿâëÿåòñÿ ñòàòüÿ Èñààêà ؼíáåðãà 1946 ãîäà, â êîòîðîé áûëââåä¼í òåðìèí B-ñïëàéí.  50-õ 70-õ ãîäàõ ïðîèñõîäèëî áóðíîå ðàçâèòèå òåîðèè ñïëàéíîâîé èíòåðïîëÿöèè. Ðàáîòàÿ â àâòîìîáèëüíîé ïðîìûøëåííîñòè çíà÷èòåëüíûé âêëàä âíåñëè Ïîëü äå Êàñòåëüæî, ðàçðàáîòàâøèé âî âðåìÿ ðàáîòû âÑèòðîåí â 1959 ãîäó àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ è äåëåíèÿ êðèâîé Áåçüå, Ïüåð Áåçüå,ðàáîòàâøèé â Ðåíî, Ãàðåòò Áèðêãîôô, Êàðë äå Áîð è Ïîë Ãàðàáåäèàí â Äæåíåðàë Ìîòîðñ. Âñåì èçâåñòíû ìîíîãðàôèè Àëáåðãà Äæ., Íèëñîíà Ý., Óîëøà Äæ.,Çàâüÿëîâà Þ.Ñ., Êâàñîâà Á.È., Ìèðîøíè÷åíêî Â.Ë., Ñòå÷êèíà Ñ.Á., ÑóááîòèíàÞ.Í.

Áîëüøîé âêëàä âíåñëè Ìèõëèí Ñ.Ã., Ìàëîçåìîâ Â.Í., Äåìüÿíîâè÷ Þ.Ê.è äðóãèå ìàòåìàòèêè. Êâàñîâûì Á.È. ðàññìîòðåíà èçîãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïîëÿöèÿ è àïïðîêñèìàöèÿ, ñîõðàíÿþùàÿ ðàçëè÷íûå ñâîéñòâà ôîðìû èñõîäíûõêðèâûõ è ïîâåðõíîñòåé.Èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå ïîëèíîìèàëüíûå ñïëàéíû ïðåäëîæåíû ïðîôåññîðîì Ìîñêîâñêîãî àâèàöèîííîãî èíñòèòóòà Êèðååâûì Â.È. Ïðåäëîæåííûå èìïàðàáîëè÷åñêèå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå ñïëàéíû îêàçàëèñü óäîáíûì ñðåäñòâîì äëÿ ñãëàæèâàíèÿ äàííûõ, ïîëó÷åííûõ ýêñïåðèìåíòàëüíûì ïóòåì.Ïðåäñòàâèëîñü öåëåñîîáðàçíûì ïîñòðîèòü è èññëåäîâàòü ñâîéñòâà èíòåãðîäèôôåðåíöèàëüíûõ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè, à òàêæå ïîñòðîèòüòðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñïëàéíû ñ òàêèìè æå ñâîéñòâàìè.Öåëè è çàäà÷è äèññåðòàöèîííîé ðàáîòûÖåëüþ äàííîé äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå ïîëèíîìèàëüíûõ è òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ñïëàéíîâûõ àïïðîêñèìàöèé ôóíêöèé îäíîé è äâóõ ïåðåìåííûõ, ïîëó÷åíèå îöåíîê ïîãðåøíîñòåé àïïðîêñèìàöèé, ñîñòàâëåíèå è îòëàäêà ïðîãðàìì íà ÿçûêå MAPLE äëÿ ïîëó÷åíèÿðåçóëüòàòîâ ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ, è âèçóàëèçàöèè ïîëó÷åííûõ ïðèáëèæåíèé.3 äèññåðòàöèîííîé ðàáîòå ðåøàëèñü ñëåäóþùèå çàäà÷è:1.

Ïîñòðîåíèå ïîëèíîìèàëüíûõ ëîêàëüíûõ èíòåðïîëÿöèîííûõ íåïðåðûâíîäèôôåðåíöèðóåìûõ öåíòðàëüíûõ áàçèñíûõ ñïëàéíîâ, îáåñïå÷èâàþùèõ àïïðîêñèìàöèþ ïÿòîãî ïîðÿäêà, ïîëó÷åíèå îöåíîê ïîãðåøíîñòåé àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ ïîëó÷åííûõ áàçèñíûõ ñïëàéíîâ.2. Ïîñòðîåíèå ïîëèíîìèàëüíûõ ëîêàëüíûõ èíòåðïîëÿöèîííûõ íåïðåðûâíîäèôôåðåíöèðóåìûõ ëåâîñòîðîííèõ áàçèñíûõ ñïëàéíîâ, îáåñïå÷èâàþùèõàïïðîêñèìàöèþ ïÿòîãî ïîðÿäêà, ïîëó÷åíèå îöåíîê ïîãðåøíîñòåé àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ ïîëó÷åííûõ áàçèñíûõ ñïëàéíîâ.3. Ïîñòðîåíèå ïîëèíîìèàëüíûõ äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ïðèáëèæåíèé ôóíêöèé ñ ïðèìåíåíèåì áàçèñíûõ ñïëàéíîâ ïÿòîãî ïîðÿäêàïåðâîé âûñîòû, ïîëó÷åíèå îöåíîê ïîãðåøíîñòåé àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèéñ ïîìîùüþ ïîëó÷åííûõ áàçèñíûõ ñïëàéíîâ.4.

Ïîñòðîåíèå è èññëåäîâàíèå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ ñ ïðèìåíåíèåì ïîñòðîåííûõ áàçèñíûõ ñïëàéíîâ.5. Ñîñòàâëåíèå ïðîãðàìì è ïðîâåäåíèå ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ, à òàêæåâèçóàëèçàöèè ïðèáëèæåíèé è ïîãðåøíîñòåé ïðèáëèæåíèé ôóíêöèé îäíîéïåðåìåííîé.6. Ïîñòðîåíèå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ áàçèñíûõ ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ, ðàçðûâíûõ ïðèáëèæåíèé ôóíêöèé ñïëàéíàìè äâóõ ïåðåìåííûõ,à òàêæå íåïðåðûâíûõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ïðèáëèæåíèé ñïëàéíàìè äâóõ ïåðåìåííûõ, ïîëó÷åíèå îöåíîê ïîãðåøíîñòåé, ïðîâåäåíèå ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ äëÿ ñðàâíåíèÿ òåîðåòè÷åñêèõ è ïðàêòè÷åñêèõ ïîãðåøíîñòåé ïðèáëèæåíèé.7. Ïîñòðîåíèå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ïðèáëèæåíèé ôóíêöèé öåíòðàëüíûìè è ëåâîñòîðîííèìè ïîëèíîìèàëüíûìè è òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ñïëàéíàìè äâóõ ïåðåìåííûõ ñ ïîìîùüþ òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ïðîâåäåíèå÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ, ñðàâíåíèå ïîëèíîìèàëüíûõ è òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ïðèáëèæåíèé, ðàçðàáîòêà ïðîãðàìì äëÿ âèçóàëèçàöèè ðåçóëüòàòîâ.4Ïîëîæåíèÿ, âûíîñèìûå íà çàùèòó1.

Ëåâîñòîðîííèå è öåíòðàëüíûå ïîëèíîìèàëüíûå è òðèãîíîìåòðè÷åñêèå áàçèñíûå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå ñïëàéíû ïåðâîé âûñîòû, îáåñïå÷èâàþùèå ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè ïÿòîãî ïîðÿäêà è ñîõðàíÿþùèå êîëè÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè ïðîñòðàíñòâà (ïëîùàäè è îáúåìû). Ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé ñòðîÿòñÿ îòäåëüíî íà êàæäîì ñåòî÷íîì èíòåðâàëå. Äëÿïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåíèé èñïîëüçóþòñÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè è å¼ ïåðâîéïðîèçâîäíîé â óçëàõ ñåòêè, à òàêæå çíà÷åíèÿ èíòåãðàëîâ îò ôóíêöèè ïîñåòî÷íûì èíòåðâàëàì.2. Òåîðåìû îá îöåíêàõ ïîãðåøíîñòåé ñïëàéíîâûõ ïðèáëèæåíèé ôóíêöèé èèõ ïåðâûõ äâóõ ïðîèçâîäíûõ íà îòäåëüíîì ñåòî÷íîì ïðîìåæóòêå è íàâñåì ïðîìåæóòêå [a, b].3.

Ïðèìåíåíèå ïîñòðîåííûõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ñïëàéíîâ ïÿòîãîïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ.4. Äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûå ïðèáëèæåíèÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûìè ñïëàéíàìè ïÿòîãî ïîðÿäêà ïåðâîé âûñîòû è îöåíêà ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ.5. Áàçèñíûå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå ñïëàéíû ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ, îöåíêè ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ. Ìåòîäèêà ïîñòðîåíèÿ íåïðåðûâíîãî ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ íà îñíîâå ýòèõ áàçèñíûõñïëàéíîâ, îöåíêè ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ.6. Ïðèáëèæåíèå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûìè ïîëèíîìèàëüíûìè è òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ñïëàéíàìè ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ ñ ïîìîùüþ òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.Íàó÷íàÿ íîâèçíà ðàáîòå ïîñòðîåíû ëîêàëüíûå ïîëèíîìèàëüíûå è òðèãîíîìåòðè÷åñêèå áàçèñíûå ñïëàéíû, òàêèå, ÷òî èñõîäíàÿ ôóíêöèÿ è ïîñòðîåííîå ïðèáëèæåíèå äàþò îäèíàêîâûå êîëè÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè ïðîñòðàíñòâà (ïëîùàäè è îáúåìû).

Àïïðîêñèìàöèÿ ôóíêöèé ñòðîèòñÿ ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîé êîìáèíàöèè çíà5÷åíèé ôóíêöèè, åå ïðîèçâîäíûõ â óçëàõ ñåòêè, èíòåãðàëàì ïî ñåòî÷íûì èíòåðâàëàì è ïðåäëàãàåìûõ áàçèñíûõ ñïëàéíîâ. Ïðè ýòîì ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè èìååò ïÿòûé ïîðÿäîê.Ëè÷íûé âêëàä àâòîðàËè÷íûé âêëàä àâòîðà ñîñòîèò â âûïîëíåíèè èññëåäîâàíèé, èçëîæåííûõ âäèññåðòàöèîííîé ðàáîòå, ðåàëèçàöèè àëãîðèòìîâ ïîñòðåíèÿ ïðåäëîæåííûõ àïïðîêñèìàöèé, ïðîâåäåíèè ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ, à òàêæå â îôîðìëåíèè ðåçóëüòàòîâ â âèäå ñòàòåé è íàó÷íûõ äîêëàäîâ.Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü äàííîé ðàáîòå ïðåäëàãàþòñÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå ñïëàéíû äëÿ ïîñòðîåíèÿ àïïðîêñèìàöèé ôóíêöèé îäíîé è äâóõ ïåðåìåííûõ. Âïåðâûå òàêîéïîäõîä áûë ïðåäëîæåí Êèðååâûì Â.È.

Äàííûé ïîäõîä ïîçâîëÿåò ïîëó÷àåìûìàïïðîêñèìàöèÿì óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ êîíñåðâàòèâíîñòè, òî åñòü ñîõðàíÿòüèíòåãðàëüíûå ñâîéñòâà àïïðîêñèìèðóåìûõ ôóíêöèé, ÷òî ïîçâîëÿåò ïîâûøàòüêà÷åñòâî àïïðîêñèìàöèè ïðè ìîäåëèðîâàíèè òåõíè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé çà ñ÷¼òñîõðàíåíèÿ ðàâåíñòâ ïëîùàäåé è îáú¼ìîâ.Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé, ïîñòðîåíèÿ ïîâåðõíîñòåé, îáðàáîòêè ÷èñëîâûõ ïîòîêîâ.Äîêëàäû è ïóáëèêàöèè ïî òåìå äèññåðòàöèîíííîé ðàáîòûÍà òåìó äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû âûïîëíåíû ïóáëèêàöèè: [1, 2, 3, 4, 5, 6], èçíèõ [1, 2, 3] â èçäàíèÿõ, èíäåêñèðóåìûõ â ðåôåðàòèâíûõ áàçàõ Scopus è Webof Science, à òàêæå íà òåìó äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû îïóáëèêîâàí äîêëàä [7].Ñòðóêòóðà è îáúåì äèññåðòàöèèÄèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, ïÿòè ãëàâ, çàêëþ÷åíèÿ, áèáëèîãðàôèè èïðèëîæåíèÿ. Îáùèé îáúåì äèññåðòàöèè ñîñòàâëÿåò 106 ñòðàíèö.  òåêñòå ðàáîòû ñîäåðæèòñÿ 16 òàáëèö è 55 ðèñóíêîâ.

 áèáëèîãðàôèè ðàáîòû ñîäåðæèòñÿ113 íàèìåíîâàíèé.  ïðèëîæåíèè ïðèâåä¼í 1 ëèñòèíã ïðîãðàììû.6Îñíîâíîå ñîäåðæàíèåÂïåðâîé ãëàâåðàññìàòðèâàåòñÿ ïîñòðîåíèå íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóå-ìûõ áàçèñíûõ ñïëàéíîâ, íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîãî ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîé êîìáèíàöèè äàííûõ áàçèñíûõ ñïëàéíîâ, çíà÷åíèéôóíêöèè è å¼ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé â óçëàõ ñåòêè, à òàêæå çíà÷åíèé èíòåãðàëîâîò ýòîé ôóíêöèè ïî ñåòî÷íûì èíòåðâàëàì.Ðàññìîòðèì ïðîìåæóòîê [a, b], ãäå a è b âåùåñòâåííûå ÷èñëà. Âîçüì¼ì íàòóðàëüíîå ÷èñëî n è ïîñòðîèì ñåòêó óçëîâ {xj } ñ øàãîì h =(b−a)n .Ïóñòü â óçëàõñåòêè {xj } çàäàíû çíà÷åíèÿ ôóíêöèè u, u ∈ C 5 [a, b], è åå ïåðâîé ïðîèçâîäíîé,à òàêæå èçâåñòíû çíà÷åíèÿR xk+1xku(t)dt.

Ðàññìîòðèì íà êàæäîì [xk , xk+1 ] ïðè-áëèæåíèå äëÿ u(x) â âèäå:ue(x) = u(xk )ωk,0 (x) + u(xk+1 )ωk+1,0 (x)++ u0 (xk )ωk,1 (x) + u0 (xk+1 )ωk+1,1 (x) +Z!xk+1u(t)dtωk<1> (x), (1)xkãäå ωk,0 (x), ωk+1,0 (x), ωk,1 (x), ωk+1,1 (x), ωk<1> (x), supp ωk,α = [xk−1 , xk+1 ], α = 0, 1,supp ωk<1> = [xk , xk+1 ], îïðåäåëÿåì èç óñëîâèéue(x) = u(x) ïðè u(x) = xi , i = 0, 1, 2, 3, 4.Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé, ïîëó÷àåì ôîðìóëû áàçèñíûõ ñïëàéíîâ ïðè x ∈[xk , xk+1 ]:ωk,0 (x) = (5x + h − 5xk )(−3x + h + 3xk )(xk + h − x)2 /h4 ,ωk+1,0 (x) = −(−xk + x)2 (−3x + 3xk + 2h)(−5x + 5xk + 6h)/h4 ,ωk<1> (x) = 30(−xk + x)2 (xk + h − x)2 /h5 ,ωk,1 (x) = (−xk + x)(2h − 5x + 5xk )(xk + h − x)2 /(2h3 ),ωk+1,1 (x) = (−xk + x)2 (−5x + 3h + 5xk )(xk + h − x)/(2h3 ).Àïïðîêñèìàöèè âèäà (1) áóäåì íàçûâàòü öåíòðàëüíûìè.Äîêàçàíà ëåììà îá îöåíêå ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè, à òàêæå å¼ïåðâîé è âòîðîé ïðîèçâîäíûõ.Ëåììà 1.Ïóñòü ôóíêöèÿ u ∈ C (5)[xk , xk+1].