13 (Аналитическая геометрия (Кузнецов Л.А.))

tigtu.ruСкачано с http://antigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-13Условие задачиНаписать разложение векторапо векторамРешениеимеет вид:Получаем:аносИли в виде системы:anИскомое разложение вектора:СкачК третьей строке прибавим вторую:К третьей строке прибавим первую:tigtu.ruanаносИскомое разложение:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 2-13Условие задачии, построенные по векторамСкачКоллинеарны ли векторыи?РешениеВекторы коллинеарны если существует такое число такое, чтоколлинеарны если их координаты пропорциональны.Находим:.

Т.е. векторыЗначит векторыи- не коллинеарны.tigtu.ruПолучаем:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 3-13Условие задачиРешениеи.:аносНайдемиanНайти косинус угла между векторамимежду векторамиачНаходим косинус углаСкТ.е. косинус угла:и следовательно уголи:tigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 4-13Условие задачиВычислить площадь параллелограмма, построенного на векторахРешениеи., численно равна модулю их векторногоanПлощадь параллелограмма, построенного на векторахпроизведения:и, используя его свойства векторного произведения:аносВычисляемВычисляем площадь:Т.е.

площадь параллелограмма, построенного на векторахиравна.ачЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 5-13Условие задачи,и?СкКомпланарны ли векторыРешениеДля того чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или параллельныхплоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведениенулю.было равно, то векторы,tigtu.ruТак какине компланарны.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 6-13Условие задачии его высоту, опущенную изРешениеИз вершиныаносanВычислить объем тетраэдра с вершинами в точкахвершинына грань.проведем векторы:ачВ соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем:СкВычислим смешанное произведение:Получаем:tigtu.ruТак какСогласно геометрическому смыслу векторного произведения:anВычислим векторное произведение:Тогда:Высота:ачОбъем тетраэдра:аносПолучаем:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 7-13СкУсловие задачиНайти расстояние от точкидо плоскости, проходящей через три точки.tigtu.ruРешениеНаходим уравнение плоскости, проходящей через три точкиanПроведем преобразования::от точкиНаходим:до плоскости:аносРасстояниеЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 8-13ачУсловие задачиСкНаписать уравнение плоскости, проходящей через точкуРешениеНайдем вектор:перпендикулярно вектору.Упростим:tigtu.ruТак как векторперпендикулярен искомой плоскости, то его можно взять в качестве векторанормали.

Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 9-13Условие задачиanНайти угол между плоскостями:Решениемежду плоскостями определяется формулой:ачУголаносДвугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Нормальныевекторы заданных плоскостей:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 10-13СкУсловие задачиНайти координаты точки, равноудаленной от точеки.Найдем расстояниеи:, тоanТак как по условию задачиТаким образомtigtu.ruРешение.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 11-13Условие задачиРешениеаносПусть - коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат.

Верно ли, что точкапринадлежит образу плоскости ?При преобразовании подобия с центром в начале координат плоскостьачи коэффициентомСкПодставим координаты точкиТак как, то точкапереходит в плоскость. Находим образ плоскостив уравнение::не принадлежит образу плоскости.Условие задачиНаписать канонические уравнения прямой.РешениеКанонические уравнения прямой:an,tigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 12-13анос- координаты какой-либо точки прямой, а- ее направляющийгдевектор.Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий векторортогонален нормальным векторам обеих плоскостей. Нормальные вектора плоскостей:Найдем направляющий вектор:СкачНайдем какую-либо точку прямой.

Пусть, тогдаtigtu.ruСледовательно, точкапринадлежит прямой.Получаем канонические уравнения прямой:Условие задачиanЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 13-13РешениеаносНайти точку пересечения прямой и плоскости.ачЗапишем параметрические уравнения прямой.СкПодставляем в уравнение плоскости:Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:tigtu.ruПолучаем:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 14-13Условие задачиНайти точкусимметричную точкеРешениеотносительно прямой.anНаходим уравнение плоскости, которая перпендикулярна данной прямой и проходит через точкуТак плоскость перпендикулярна заданной прямой, то в качестве ее вектора нормали можно взятьнаправляющий вектор прямой:аносТогда уравнение искомой плоскости:ачНайдем точкупересечения прямой и плоскости.Запишем параметрические уравнения прямой.СкПодставляем в уравнение плоскости:Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:.является серединой отрезка, тоanТак какtigtu.ruПолучаем:СкачаносПолучаем:.