Диссертация (Критическое поведение некоторых сильно неравновесных систем)

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиКакинь Полина ИгоревнаКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕКОТОРЫХ СИЛЬНОНЕРАВНОВЕСНЫХ СИСТЕМ01.04.02 — теоретическая физикаДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико–математических наукНаучный руководительдоктор физико–математических наукАнтонов Н. В.Санкт-Петербург — 20172ОглавлениеВведение51 Критическое поведение: Модели и ансамбли171.1 Модели сильно неравновесных критических систем . . . . .1.1.1Модель Кардара-Паризи-Занга . . .

. . . . . . . . . .1.1.2Модель для системы с самоорганизованной критично-1717стью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .211.1.3Модель Вольфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221.1.4Модель эрозии ландшафтов. . . . . . . . . .

. . . .23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261.2 Ансамбли поля скорости1.2.1Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261.2.2Ансамбль Казанцева-Крейчнана . . . . . . . . . . . .271.2.3Ансамбль Авельянеды-Майда . . . . . . . . . . . . . .282 Стандартная квантовополевая ренормгруппа302.1 Введение . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .302.2 Квантовополевая переформулировка. . . . . . . . . . . . .302.3 Ультрафиолетовые расходимости и ренормировка . . . . . .352.4 РГ уравнения и РГ функции . . . . . . . . . . . . . . . . . .392.5 Неподвижные точки и скейлинговые режимы. . . . . . . .41. .

. . . . . . . . . . . . . . . . .442.6 Критические размерности33 Модель Кардара-Паризи-Занга под воздействием ансамбляКазанцева-Крейчнана473.1 Квантовополевая переформулировка . . . . . . . . . . . . . .473.2 УФ расходимости и ренормировка . . . . . . . . . . . . .

. .483.3 РГ уравнения и РГ функции . . . . . . . . . . . . . . . . . .583.4 Неподвижные точки и скейлинговые режимы . . . . . . . . .593.5 Критические размерности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .624 Модель Хуа-Кардара под воздействием ансамбля АвельянедыМайда654.1 Квантовополевая переформулировка . .

. . . . . . . . . . . .654.2 УФ расходимости и ренормировка . . . . . . . . . . . . . . .664.3 РГ уравнения и РГ функции . . . . . . . . . . . . . . . . . .694.4 Неподвижные точки и скейлинговые режимы . . . . . . . . .694.5 Критические размерности .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .715 Модель Вольфа под воздействием ансамбля АвельянедыМайда735.1 Модель Вольфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .735.1.1Квантовополевая переформулировка . . . . . . . . . .735.1.2УФ расходимости и ренормировка . . . . .

. . . . . .745.1.3РГ уравнения и РГ функции . . . . . . . . . . . . . .765.1.4Неподвижные точки и скейлинговые режимы . . . . .785.2 Модель Вольфа под воздействием ансамбля Авельянеды-Майда 815.2.1Квантовополевая переформулировка . . . . . . . . . .815.2.2УФ расходимости и ренормировка . . . . . . . . . . .8245.2.3РГ уравнения и РГ функции . . . . . . . .

. . . . . .835.2.4Неподвижные точки и скейлинговые режимы . . . . .846 Модель эрозии ландшафтов под воздействиемансамбля Авельянеды-Майда886.1 Модель эрозии ландшафтов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .886.1.1Квантовополевая переформулировка .

. . . . . . . . .886.1.2УФ расходимости и ренормировка . . . . . . . . . . .896.1.3РГ уравнения и РГ функции . . . . . . . . . . . . . .946.1.4Неподвижные точки и скейлинговые режимы. . . .966.1.5Критические размерности . . . . . . . . . . . . . . . .976.2 Модель эрозии ландшафтов под воздействием ансамбляАвельянеды-Майда . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .976.2.1Квантовополевая переформулировка . . . . . . . . . .976.2.2УФ расходимости и ренормировка . . . . . . . . . . .986.2.3РГ уравнения и РГ функции . . . . . . . . . . . . . . 1026.2.4Неподвижные точки и скейлинговые режимы . . . . . 1046.2.5Критические размерности .

. . . . . . . . . . . . . . . 105Заключение107Благодарности112Литература1145ВведениеАктуальность темы. Системы самой разной физической природы демонстрируют интересное сингулярное поведение в окрестности своихкритических точек (точек фазовых переходов второго рода). Их статистические характеристики (термодинамические и корреляционные функции)обнаруживают автомодельное (как правило, степенное) поведение с универсальными критическими показателями [1–3]. Универсальность состоит в том, что эти показатели зависят только от нескольких глобальныххарактеристик системы (например, от симметрии или размерности пространства).

Это свойство, которое в дальнейшем будем называть критическим скейлингом (или просто скейлингом), позволяет классифицироватьтипы критического поведения по так называемым классам универсальности. Большинство фазовых переходов принадлежит классу универсальности квантовополевой O(n)-симметричной модели φ4 [1,4]. Другая ситуациянаблюдается в динамическом неравновесном критическом поведении – оногораздо богаче и сложнее, но при этом меньше изучено.

Его описание на основе стандартных моделей критической динамики φ4 не удовлетворительно; в частности, бывает необходимо рассматривать более сложные симметрии и другие типы управляющих параметров. Количество таких моделейдля рассмотрения крайне велико, тогда как практическим вычислениям далеко не всегда хватает точности.

Поэтому систематическое изучение этихмоделей и вычисление их критических показателей в высших порядках –6продолжают оставаться актуальной задачей. Полное решение этой задачи требует не только многопетлевых вычислений, но и сложных процедурсуммирования, инстантонного анализа и т.д.Помимо фазовых переходов в окрестностях критических точек, современем понятие “критическое поведение” стало включать в себя болееширокий класс явлений, связанных со скейлингом. Действительно, например, модели кинетического огрубления1 , описывающие автомодельный ростповерхностей (становящихся все более и более “жесткими” или “грубыми” стечением времени), строятся по аналогии с моделями динамического критического поведения [5], а феномен самоогранизованной критичности2 наглядно показал, что скейлинг может возникать и при отсутствии какихлибо управляющих параметров в системе [6].Поведение реальных систем в окрестности их критических точек крайнечувствительно к внешним возмущениям, наличию гравитации, примесей ит.д.

[7, 8]. Некоторые возмущения (например, движение среды, в том числетурбулентное) могут изменить тип фазового перехода или привести к появлению нового класса универсальности с экзотическими свойствами [9–21].Вот почему так важно изучать модели неравновесного критического поведения (и другие модели со скейлингом) под влиянием турбулентного перемешивания (описываемого различными ансамблями поля скорости). Теоретическое исследование таких моделей должно дать режимы критическогоповедения описываемых систем и критические показатели; последние можно сравнивать с результатами экспериментов.Каждый год в ведущих научных журналах выходят все новые и но12В англоязычной литературе – “kinetic roughening models”.В англоязычной литературе – “self-organised criticality”.7вые работы, посвященные турбулентному перемешиванию.

Такое вниманиесправедливо заслуженно, так как построение стохастической модели, основанной на микроскопической теории (подобной уравнению Навье-Стокса),продолжает оставаться актуальной задачей развитой турбулентности.Эксперименты и численное моделирование показывают, что отклонение от классической теории Колмогорова-Обухова наблюдается в переносепассивных полей [22]. Более того, даже простые модели, описывающие перенос синтетическими (искусственными) ансамблями с заданной гауссовойстатистикой (например, ансамбль Казанцева-Крейчнана), демонстрируютмногие аномальные свойства реального турбулентного переноса, которыеможно наблюдать в эксперименте [23]. Таким образом, задача турбулентного перемешивания служит естественной отправной точкой для исследований перемежаемости и явлений аномального скейлинга в целом.Вот почему для углубления нашего понимания развитой турбулентности и теории критического поведения необходимо рассматривать задачунеравновесного критического поведения под воздействием турбулентногоперемешивания.Степень разработанности темы исследования.Квантовополевая ренормализационная группа и операторное разложение [1, 2] успешно применяются в современной теоретической физикедля поиска критических показателей скейлинга стохастических систем.

Использование этого аппарата позволяет установить мультипликативную ренормируемость изучаемых теорий, найти ренормгрупповые функции (аномальные размерности и β-функции), определить возможные режимы скейлингового поведения и вычислить соответствующие критические показате-8ли, которые можно сравнивать с экспериментом.Рассмотрение феномена случайного роста границы раздела сред (кинетического огрубления) в рамках критического динамического скейлинга,позволило построить полуфеноменологические модели, хорошо описывающие явление, и получить значения критических показателей – иногда точные значения, а иногда их приближения [5, 24–31]. Та же ситуация имеламесто и в исследованиях самоорганизованной критичности [6, 32–37].Влияние турбулентного переноса в моделях критического поведенияучитывается за счет использования подходящего синтетического ансамбляполя скорости [23, 38, 39] и последующего ренормгруппового анализа поведения модели.Целью диссертационной работы является изучение скейлинга ряданеравновесных систем (под влиянием турбулентного перемешивания) методами квантовополевой ренормгруппы.

Турбулентное перемешивание моделируется ансамблем Казанцева-Крейчнана и его анизотропным обобщением – ансамблем Авельянеды-Майда. Изучаются системы с кинетическимогрублением (с ростом границы раздела фаз/сред) – изотропный и анизотропный случаи, система с самоорганизованной критичностью (непрерывная анизотропная модель песчаного профиля), система с эрозией ландшафта. Необходимо установить наличие скейлинга в системах, изучить соответствующие аттракторы и вычислить критические показатели.В соответствии с целью исследования были поставлены следующиеосновные задачи:(1) Переформулировать стохастические уравнения, описывающие рассматриваемые модели, в квантовополевых терминах, исследовать их ре-9нормируемость.

При необходимости, модифицировать модели так, чтобыобеспечить их ренормируемость.(2) Найти неподвижные точки, определяющие асимптотическое поведение систем, и оценить их характер. Установить, есть ли среди нихинфракрасно-притягивающие точки, соответствующие скейлингу.(3) При наличии скейлинга вычислить критические размерности.Научная новизна. Все основные результаты диссертации полученывпервые, что подтверждается их публикацией в ведущих отечественных имеждународных журналах.В отличие от существующих работ, проводится ренормгрупповой анализ модели кинетического огрубления Кардара-Паризи-Занга3 и ее анизотропного аналога (модели Вольфа) при учете турбулентного движения среды, описываемого ансамблями Казанцева-Крейчнана и Авельянеды-Майдасоответственно.