метода ДифУры (Добрица Б. Т. - Дифференциальные уравнения), страница 3

УППЭПТЬ Эйд Обйото РЕНЕННЛ УРВВвенйл У"~Фу -Ж~ЛХ'Х (не нпходч йсэфЬйпйентов). рденде. учйтывйй, что.~~х~ -;У~х~ Х ~л~обнее рененйе э ого ЛНПОМНОТО НООЛНОРОЛНОТО УРВППЕНПЛ йДВН В ВИДО У '~р )" ' ) Э 'В) дйй Отпсйлнйл ~~ рэовен ур:.Пненне у", о~,:б~(тебл, Э); О'б; л= е *' лбг= улс ' и'О' о л ° „уо ~~со™ "сл~"' -"-' б) *тл чеотнОХО рееення ) й следует рекнть урйлвенно .Лплп~(си. Лоз. 3 табл.

4,. пде „~~х1 .Оспхйй, Ф .~',~~=- Я ПХ3=0, Фбй~= ~:Т =.0; Ы.'.ХЧ, . ' Рй Лй,, Т '~'А пх . ); "хе ~'ЛОПЛРХ ~ зусч л~'1'ху тсохял:~.~зл ~ и 4!' .и) длй нехоллонил у следует реийэь урезненво и"'йоу - л ~';х;.л;сн. Ноз. Х тиой.:4;- внотороМ.х:О, Н-О, ч- ';,й фй: с~~,„ тйр )) бх 3~,обН96 Реййннве Мнеет ВНД ')'.. Ф блППХУП- С,Л Ь " ЧА 'Р ФХТР ) С ' О. «ф 14. ф .ф' ф~. -'Х"-~,'П ~П~ЫХЗХ. 1П. у й~у фу~:Е* ' .р СХ ;Р ;, М. 'Реумне лйнейнмх нущнород))нх лммреремммвдйийх урмвпе))ве плуоун Дйт оьйв (вер)ипщи н))ОЗзщ~рь Метод перйвппи постоннинх звймпчветол в слелуппен." 1. Рвиветол одвородэйэе линейное ФМ4ереюппхйьйое урввненйе, 4*:; М дт дпнпону: 8'" а,,у э~* (ИО .

3). "Д' "'%4фиФ ИМвет'струитуру,~о'б~ф~ 'бл,~», тде ~» Пол - чвстнпе лййеяно "внммммомине )щиВИИН Этохо урввиинин,. и'б~ й бл две про- ПМ: ИПЛОльнне йокствити. 2.' мредполехввтон, ' ДПТМ 'омпве 'реиеиве неоднородного урйввв- ''УО Мни )Нйеет ТЕНОЙ ЛМ ЗИД, НИН и ОММ66 Ревеййе ОЛБОРОДПОТО УРОВНЮ т жя, но Кесто нонотент бй н Сл эвнжянэт д88 нейэвествн9 4учппРн ~~'х/ и Ср Гх) э э - сй ~хане бйЭХ~,ЯЛя ПВХойдений этйх ' 'унйэп й , мербходнно соотезить дэй урвпнепйл, свхэнаай)ие кх. У дтнввл, ,.Мм))опп: и';х>~,й фхтр нилтэтсл ревенйеи лнпнохо ввод~средноте М:: туйрвмневмл„у:88РНМВЕЫ, ЧтО Оно обратит 8ГО,И тоилеотпо.

Это ласт одпо урйейвине. Мтобн получить второе урвзненне, На С~х~ ф Н Сна) некжийиот Сзол)ззввв уолоннв; С~~и з отк лийстввл нрвнбкнт к онстезвв ~~Акф С, ~кзф - 4", С,о~у, - с '~ху'= ~блд Роков вту окотвау нелоЛвк С„'кж3 а С,бк) . Пктегркруа ааз Калу ) Е)щзин ~. Мейтл общее )нанаев уцннеикиа у ~ф,~у., — у . щЙЙЕЕЕ. к) Ывлоланобиве рвиивие линейного озаорщезаз диф)ервннивзннозо ууеаееика р' "лу ~".брио тебл. 3). е «Л~Ф~'=Ю, Я=О м~ "МАЛ~"Ф„' Щ сна вС „хР б) прелзкзвитееа.

чзо оливе рванина лкиното нволкоролкозо уревненкк завет ннд у- Сж~ье ° с '-къл т,,~ф = б,фр лов . Ллк нилаааиинз Скукзн Сули~ состенкзвн скозвму С увзе ~~ С'~илам: ~Р; -~~4ила -С бКЛЖ~Р в С ГХ)Е если слокнйь обк яйакеизцл;. ве аби)нлиз.ркниоаилвкуа скоивау С'~,хМ ~.

С У.аЗ.кМ ЗУ„' С Ул'М у „.".- 'с',"' '-' ' С жг - —; СБ.юсу — ~. С~ОС) -~-4~ "БХЗ"С3+ С ' Суку~/ ру ЗЗЛ; к +С В тлв С ° а ' Са,нрзнкнинааии зеизалиики Нелозциз колере абазе Рекиаее.аиедавролеого уркзиакаа' ,С сж)а:~в Смуда"д' =уй~лжз~Г;)е ~~)' ~ 'фл))~".,'ф)т "' тУС-Ууа «С.Хб -а Луну Обокийена Св-У:С,; 4~ С н'иолуеиви ааазваек~ иЙ ответ, х 4" дС.,к'а,,Ф „'А~лзи, ,Я)))ЕЦЙЕЙ)Я 3 Веса ОтЛЕУВ аЗКИО дрбввакдрааавщс,)аруаар))а обнезо рвавнкн лкеийщии аеолацролното дщ)~н„райй,~ Вонюч азйстннзелкно ф ФС е з С ~к и ' ) а линезнзсе дзнзререзожамззизе ураинезозе второго корилла с Бе~- манизсзн нсерркзазекгами имеет Внд ь "«,о~а.зу'» зз, л.~у: У~.гл Гаорема 0 с РУитуре обдего Ренаиия Насднорсзнзсгс линедиогс мз-„"- феревазального уравнения к а этом случае утнеридает, что у:у К ГДЕ „Ус — Обдаа РЕСМЗЗИЕ СООТНЕТСТНУЗХФЕГС ОДБОРОДНОГС УРВННЕБИЯЗ У - частное ранение неоднорэдиого ураниезгля.

,,Раосмотркм МЕ'ГОДБ ИВЬЧМЛЕЗБЗЯ Рс И У Дия Сбнато РЕБЕБНН ТЗБЕЗГО УРЕВБЕНКЯ. Л. ~ОПОПБП РДБОПОЛБПД иПННПзрсз дктфеРезззмлльныи Уоазс,одззф й ПВПВЮПБПМИ ПзйИИЩВПТПззЖ Пид однородззого линейного ураинениязу",юх>у' угху=сз, теорана о структуре'обмего Реееиия линейного однорсдногс дзбфе- РВККБззкьиФТО Уранззения Утаеридает ~' =С,У „за У Узки эни 'геиерь исэфрнзозенты уязенезизя неБсстсянные, хараи- тервтнчесиим уранченкем восмзльзоваться нельзя. Тогдзз 1) парное мзстное реиекке однородного уранненкя Б, БодбкРант, т.е.

Баут ф~~изБЬБЗ, СбразкалюЗЗчз ураиненкс В ТОЧКЕОТБОЗ ; Бз Второе частное Рекенке ф мелет быть найдено до формуле МБУЗСЗКЗЗЛБ~ЗСТРОГрадСКОГО Г л / У гда уффу иоефриззиент Брк у В решасысзз урааиеиик, Па МзЗБзбРВНБОГо.зу;, и нандеиного Уг строится обнос Рено- заье одзкзродзмго лкнейногО ураэнення, ЯЩПП. Рмиззть ураннензнз ~ " ~-"" "~' ь ~ зу. ,фППППП.

Подбираем ф . Допустим у, -./. При ого Бсдстаиовгл уравнезазв долизкз обратиться а тсмдеотно:у,:,'р", у» =б,.зЗ-~~.~~~ РР. Щафйзтна не йслучзии. ~От~ Реаеннем у = не ~летел. БР ЩБУОТНМ ЗЗ, я'.~~и<~,-б. б-у ' —.З=ЗЗИОЛУЧНБЗ тОБдоотВО л зу-ф. Парное частназь"Реиениеф~,зг . Псдстанляем Оззмз' ~ к ~ --и, и фориу~у Петроградского днузиызля /~/ ю / г у:к" ' — с".м = '/ — -//.„.к -'~~ ' '.г / —,: ~. х/, Бико/пгк р„г у с;у): с',х' /;л.

Бт хс/ Б. Ренские удениот2 доо дсго))ного дфф~р2щ)пп~ногс драэП~~~б ° п.~у)риьа козррд ЬПо~лщ,~":~ь «~' "Я/к~~-.-7/х/ „"'ля пахокдоккл обдего реаенкя такого уравнения пр)ОЮККМ тохько иотсд ааркыщв прсиапольикх постояииик. гж ДПЦЩ. Пайтк обнес Реаеико УРавнеючл /х-//с/ -.КУ'/У жХ-с) Е проверка 'жллсрит~~~, ~~ - б' ж~ частное ревенке соот ьетотвуапего однородного уравнешя, ресеюе. лип|ос линейное пеодпьродное урьвненко кчеет кепризедеииий Ввд. чек как ксэфр3пиепт при,у Отличен ст едипнги.

Х' лепки обе частк ла /к.-//: У - — „ь,У вЂ” У=/л'-//и . Все, сказап- .К"-/ ..т-/ псе далее, будет относиться к этому ьклу у)авкенкя, Его обвес ревекке льнет структуру,у =,|у„° )". а) Уеиаем однородное урс,.ение, состветотвумпее лвнному у - л" )/ — у-о ~о'Ц~ ба убедкмоя, что манная Фуккпкя )/, ° е явл/мтся частиим ревеккам етого уращенкя. подставляем .К' 1" .К М / Ж 4С" .К' и урюпииакеу,-ф Ф р' -.и: а -=6' ~, а: О/ 6~ .'е" /у, д-б). .~' / Получим толдество, оледователько, ф Г - частное реаекне.

х Второе частное ревекке у/ кандан по 4орсуле Лнункчля-СстроградСКОГО . ГДЕ .~' /с/ю/= " ,/// хп / )~/Ж / ' е е ах-:я /е ./х..о/а/т.-.х, .с .х и .огда у . г;с '- С .к кчк'Ос*б;б ° Сл ж, где' б~"- Сл, б) Сопев Роксане пеодиорОДИОГС уравкеяия,каем, конакЬЕУя метод варю~па поотояим/х,' предполагая, 'чтет=С,/х~е /с /х>'х' составлен систему для иакоидеккя б;/к/ к б~~ж) (см. $ 2 п. В): Ю~ ., гн „1 ставлена правая часть,у'сл7* ~-х- Ве приведенного,чанвэнкч! с;~хс:,бд"х--. ~~э бе; Сгл~-*-~~-",., -. Находнк обвес ревекке денного неоднородного урчанеавя в энде .й.

l 1 ~, л х л ,~: ~-, хз ун ~ С' (л ьс = ( у л ~ С' /е ь ~'- е ~ <„' /г . б' г ~ с~ .г н ~е ь лр х здесь ф„. -С, е "С .с - обюе рево1че однородного усазнеквя; 3~а ~'~,' .~- частное ребанке Бесднорсзлого уранкен1ж. гл ~ Глана 4, ыЕГсд йХКББ р~феретвньчькону уравнеьвв первого порядя у = ~сх,фвслнс придать геоыэтркческий синел.

расскотрнк плоскость гхуу . йслдое частное ревекке ва неа лзобразптся и наде некоторой зспсж ~интеграцией). Обкее реоенве есть со. окупность всех частьвх. спо нзобразктся семепствсы ннтегральь$ люай. Сазе дарреро1пвыльное Лавнэнве « ':./~л;у» устанавливает завлсжюсть неллу ксорВяйтнья точки '', ч у и угловым козЬ|эпФ с энтон касатачьнои у/ .

у7леу,1 к грайкеу ревев.я в ней. Б неллой точке;Фгу1представж:обе наленьк61 отрезок с уэлозэее козКпкентоы б~ ( =~Рл:ф. Псл ~чентая картина назквчзстся полек направлений. унтеграль1ие;ппп;н урчннею я дог м проходить так, чтобы в качкой своей точке ндтн вдоль ноля, т.е. глсатьоя отрезка; построеаюго в ней. Итак; Сакс уравнение и'= ГЖф» задает на елоскоотв голе направлений. Бачвльное условке фале) "ус задает точку "~, ~А~~е 1, через которув долина вройтк состветств ваэл интегральная жп1ня.

Теореыа йони гарантирует, что чер. з то жу /ч„~~'„~~,у в~идет к приток единственная вптегразьная нжня, если йукнцля ~Фл.~,~ „:Д~ 'Ф в этой точке непрерывна и вкеет кокечнув вроизвожув р- ° У ' выясненный гэоыетрнчэсний сыысл уразкения у' Аду дает возь1окиость прибзнленно граФическн строить внтогрольпне ласки уравнения. Дия этого кадо изобразить и эе направлений по возжанооти в больиек числе точек плоскости, а затем стропть лнжж, руководствуясь эткьл напрааээнэянл. зту работу значительна уч>оизет метод кэоклин. Иэоклнкаьинкя, з катдой точэа которой>псле напразлений ностолино. Условие этой .'Бппсэ ф . я, ее уразнение .у~ м~",~~/ - ь . йрзьмняя нетОИ нз03уяи, построить 66мэйотзо иктетрэльэих .Ипсб1 Урзэьчэння у' л Рйюйий. Оо теормв Копэ, Г~хр>,я онредеяеаа И Незрэрыаа на зоей плоскости.

Ограничена всюду/ О . Через ваздув точиу плоскости доходит и притом только о4В интеграэьная крззая. зададим постоянное псле аарчилевнй м ь-, тогда х-.м., Йзскэинаии лаэястся прямне, пареллельнме оси О.г. Соотазнм табпостроим псле напраазений и семи иитегральнне ликии ~табл.