метода ДифУры (Добрица Б. Т. - Дифференциальные уравнения)

м р л . о 6 е ~уй ордена Тру ового Ераового ецивка аькзае телпчесжое учачвке ж. Б.З.Бауада йетодкчесвие уъазакаа к вкесдкенка дощдщего ведашд (два отудеитов вечернего отдедеака) Йод редакцкед В.у.доорвцв Глава й. кбятражюй замам Ззхвчв 1, 3. Найти обвес равенне дврререющвльысго уравнения второго норядха Задачи й, 4, Най~и частное реаеыхе двт4еронгнального уравнения второго ворлдха, удсвлетвзрлхцее заданныы начзль23ж ус "с выяы нахача о. Найти обнес равенне лвнеююго неоднородного удаввеняя второго порядка, если известно одно частное равенне соответствузюего однородного уравненвя, Задгщ с. негоден нзохлын вахты нрыблввеаюе равенне джрференциальногс уравнения нервогс псрщнсз.

Ли$2ереюнюльным урввнеююы верного неряха называется уравнение, связнвавиее аргуьюыт, нсхсщщ фунюнсс ы ее прогзвсднув Г(е,у у "> Савв у'3~ х,у! Обххсх Ранением тахогс уравнеюя является Фунщия, зазвсянвя от аргуьюнта ы ощюй произвольной константы и обрамззвви данное уравнение в тсвдество, нрнчеы ырв соответствувлзм нодборе хоыстаыты мххно нсЮчить юхЬе частное ревеыве. Частное режыне — Фукюхыя, обрещыхзая уравнение в таиюствс В удовлетворлхам захаввыы наюльвым условивч уел, з =,уо ° уивм дврреренцвальюгх уравнений верного нсрязха в способы вх ревевня сведены в табл.

1, учитывая что ф ~, . Уравнение видар'=„А,у> махно нреобразовать х вяиух'=у~х,~) . днесь искомой еуюсзвей является уие неременввя с ю а Роль аргуъюнта играет нереыеывзя у 22ЕЬ22.Л. Найти частное раввине дврререяннаю ного уравяещщ У'сф,х у=2, удовиетворявиее начальному условен р~б~.- Х Дяещй. а) Частное ранение выделявтся из бйцсгс Реве1 .я вря соотззтствувнеы значении нровзвсльной хонстанты, нозтоху взйдем сначала обнее реавяве.

Нля етого разревюх его отнооительно ~' я арнведем тем самым х вянут*,г~-'г,у1. уо~ др «д кд' ~ дд -дф-о д,!И~ .Х' д' = -1л ~д-22 Хд = д'Й~ к ,. уд" ~дд =~дд' ЩЬ У= К; У = 2,' К=О 5у - Рд -"к "р'~ у .2 ' д =и' х -"0 Я / ПР. д' РУ'~гфХ~Сфф= - Ы~"Х; д,~к~=СОКХ дд'- 'уд ~ д'у'= д Хд'= У'-5 Ф~~ д "хд у "у ' ко 1 Ру'"-5~'-2~"- р~'* Х д-яд~ ~бд Ваагн- р при у= - — д -.б; Х =О Х д'+Хд'-д= ХРПХ; д,й~ =к к у"-Рк у ~Ы-2~у ~ = Ях'е '.,' у, %=к'е х у,,,рддр 0 у",У-52- Ы;с' = д д'.

д'~ГЯХ ~)- к ~~~Я-х:-д ~~р~и у: с~, д':О, к Ик Еу-д*-д:ктх ° д з 4у'~4д*~у-.к'~ ух при у:2; у: сР, Х: б к Х у '-'«у+2д= 2~ах" дрф -"— - / к Р ~'2К- д1 5Ю д -~уд зи72д=б ху"-д'= хоук-д 2 про д.у; д'- ~ух:у Рд"-Юд'>д = дд Х ~д'-кд '2д =5Р -4х '"р'» у= д у =~, Х=б «у" (Мук-1~д~ 6 ~2к ~~Х- - куК)У -.2КСИ»; дЩ-. КРХХ ~'~422- 2ч' 4 у - Фу Ьь'Хуь у , 4у"' 4у'.у =2х'-4 пуи х.-д, уь4; у'-0 х у"-4ху'бу=х юи Уй/=Х' ,, 2у'-ФХ-Х~у'ь~Х-Р/у-" = 4Р ' у~ХЗ=Р У'= ~у- ух~ у'=- с.ж~у-И ХУ'- У' =ХУ' ф"- Гду'ь2Бу = 4е 2у" юу'-Юу=Ф +БХ пр: у- - — у ° вЂ”. Х=О ь, ', I ' У' у — 5у' ву= 2БХю2Х ььРи Х 4Ь У - . У"- / Б1 к'к'ХуулЬаы ~у42ьХЬХь ьРЙ Хф Й Х; У, Яь Х РььХ Б у'РуХ -2у'ь уйСф~ч бф БЬП Х; у й~ = ХьЬЬХ ~ ь'Х-г~ у" = ~у'+2~ , уу"-йб ь М =а ь~дьь «ьф уь~, у*: 2 2 ХУ-У -Х "-д х С у-"ь: у"-4 у"-4у'ь~у= а"- ~ ' У'-!2У' ХБУ= Х24ьььбх .

Х БУ'- У'-Уа ь ь 4ььЬьь Х:д, Б.Ь, у' 5' уу~+ ЙЦ'ь4уъСй5 "-8 «ро Х О„Уь-Х, у" ~ / 42 у"-4ху'ьуу ь «/Т рХ у,й~- ~/х РП у -Ип4Ыь2)у 2~ лХь У у +ду= 2ЙХ, уй~ РпХ 66 .у'= 2у-у '! =6 КД"- ЫХь УЧ'= И ,рь у,, у 'Уд ;ра ь'= ь'„' у= И, у'; яьь Ы'-ьЬ ~ьуь~ " ' ~'-~ь' нь" ьь Ь'.Р 'Хь: ° а .4%' ~4 Я=0 ~~ ~~а4~ Р д = К~~ д~~ у~= ~~д~~у+д~ ду"- ~ ~д'7 + у~у' о 2 Ф «~у'-у**~ п,да Л'~ ~, ю ~ 0д -6у+у-4сл„~йн~ ~7"~ РД" '7Д -- .~ Х вЂ” Х ~~~~ Х.п„у=/, у .-б Х~~'-~ф"-У'ЙОД =О ~ро ~ ~," ~"- ~-,, ~ ~Х ~ ~ у' ~'у'~~у =~х" 2~+й~~ ~"- '~'-'Ю~=УВ .> / *'~с~ Х-"У, ф "-, ~ ФО 6 ° Х ~ -4Хф Ф Е~' ~ - 1 щ~и ~, Й 1 ~ А ~ Д'.ь Ру'Р 5Д.=Й» ~."~МХ 7дй 4'- '.~, У~ ' ~г ~х- «~ у"- ху'+ д= й'- ~~" ~~',~Я1 = Р 2 1"' ~У7'-РЯ '=П ар~- Х~д; у= ~, ~' = 8 Я 5 у "~~у'~ уд=~~р ~Л "'ХЛХ Ц'~4у ~.4~=Л'. ~Х фРО,3' б, 4~ 4 ~'~'-~~~+У/ ~'~ 0~+ 6 Д = = ля'; у,й1 -х :;слл это -:"~юмикэ,,мист бить отнесено и тииу 1 (ом.

табл, 1), ..ревси чести веирэмэниО Виде'жтся врояээедэ$си~ 3ифх руик сии, иллзвя кэ яоторых засяоит только от одюй иеремевной р — — -.,/',ф.~ 3, Г.с ~, йиьод: даиюе „"'равиевиэ южяэ ся уравнением с раэделязэиамоя иеремвеваэи Учитиазя, 1то у -. — — Д . уРВВйэвие получает вид 4~~ С;~ м'эс обо Х галсе Рлзделчсм ЯЭРОИОЯВВЭ тай, ЧтОбн вое, свяэаийсе О У, оиа эътось В одиси части Равэйсла, а с сг В другой, Ьчя ВТОГО сбэ чести ураВвэйия уьяоиаэм ва Фж' и делш ИВ бр у,3: — Р-~Яд, с р.х Хсядта вз частой уравиеиия иаио иитегрвровзть по своей йерэмэн- ИОД: —: / — а'х.- ' — ' - бэ ~са~ х у~- С, м:с ".йю 'с с м соух ' ф.Х" ~ соБЛ. СОХ С Ктаи, восле штегрироваиил обвил частей уравиеийл лату аЕМ Йреобразуеи стает стедузямм образом: А/~-"/ -.

сч"со~-и "~.',-сг, б;-Сл.сл, Ьа ~-М: б~ сахх~ ражчиэ логарвр;ой в Ответе иеиелатэльис, йооисльиу Ойи Виооят Ограничения. н частиостн, у-р э б . ео легко убедитьоя, что ~: г давятся одилм нэ частвих ревеввй даяиого дврререи ального урвлиаиия. Действительно, если нодставить в уравиоине у-л, а р: С". ~бтф ~Р °;.,~, то получаем тоидество РВЯ . Дзбьийийл От ЛОГЭРВф40В.

ДДЯ ЭТОГО ИОЛОЗИМ бу С Ч/С/ и ВОСПОЛЬЗУВМОЯ свойством ~т 4 э бт8'бт~ЯЮс~тфг/-. А /с жхжг, стсвда у-Г с созе Найдено обэме ранение данного урввйевня: У: у~с"сот я. Дастйое Рейеии9 ф эг йслутаетоя тейерв йв Общего 2~И С:С. б) Ло условий эадвчн требуетоя найти то частное раввине, 10 псппс попо;=!с .,'ппсп!п. после псдстаеоеев в уравневве !~'К. !! — Гы (тае кае всхОьп$х !)унжпб! део, а урв!в попав тсяьхо Одно) нн и!й!авв !илсхе ь па м в !) дсполЗ!Етельвме успопия, птя стого сейча Группнруее лвпуп часть, вянося за Снобпй с! (ВАВ П ). и 'б и Р б ' гл. П) = .хе ЛГ . Ь теперь ставю условно: ~усть К - абая фякч~и,таюи, что. б ° Р.Г О': ГР, тсгяа ОТ ааввго У)ММ!Е!МЯ Оптаотпл СГ'П:.ХО . депо Уьйаонс!ГПЕ РЕСПНЛОСЬ Па Д!а. йРВЧЕМ ааХДОЕ ГЗ НВХ бУДЕт Отвоспться к ураппв!Осел с )свпдвляиюп!Оя веременпньж.

Рьчв!Ом сначала сервов. патом еайдонпув О = )РРЛ ! ПоДставляем ЕО второе! сс б,х"в ОРО подставляем найпеннр О: М.Уи ~ =.мя суп — ',-: -Рх.с!'.х пптеГрвруем г .Х' ' .'~!В'/:-.Х Фх прв ннтегрерсзаБЗГл набрела СС!Г в.ХЫХ, с - б ~ поскольеу нам !авва лпбая 6'ЯППИ„УДОаявтвоРуш»- вая поставленному услсви> - -'г ь':6 еятегреруем Р мврх с е - ото обвес равенне.

А тварь пало)п!м р . и б = Р х в с ) / Р г) йхя нахохпенвя частного реве!и!в, вопаъзуя заданное услсвее, наход!м экачевве с . йпя етого в найденное обнов ренееве полста!ьтдемос=!)и ь!=р РР с н, б р и вз обпего Ревенва -:с наделяем веобходпапе частчое равенне у ° (Р.х' ° ч ) и йй)пай 4. Рвнатв уразвапво ! Ч р Р Г/СГу в Луа'Х = ". ~~Ей~)й. Работаем о табл. 1. а) !яР~~Р Р)Р ! !Г! . О гу) йере, б) йодставвм ~-,тп:,~ х~в Ро(м,ф) в бфйф получая ~я'х ! !Гу Р)сбу'"х."~ГРГГ !) мз оеобвв' РРГ,х РГ~ Ру вевоз- РГ РР в махно вннестн я, т.е.

Функцвяпх ву в ') не явачетоя однородм Р г еой. йивод! ото не однородное уреввевве» В) ЗНДЕ!Па! Лнвайвйн Часта ВЯДВ У'+,ОсжРвт' . ЛВЛВМ УРВВВЕВВВ )2 на ггд, учктызаом„что ", =р г 'г 1Ф ху=б'у Ф 7Т 'Ф'б, г ° Ргд,919 оги1 911КОБ11вя тасть откссктскь191 у к у и выдзяязтся Б т гс. в дс Зто УРавнзквз 99 Кскзт быть О*кзсзко ни К ТВ1Б' гкс19Н191К УР9191З- иий, нк к ткау урвзн91ОЙ Бср1гудйй, Г) Бомзнвзм роъРгк 43у1ссв1М к арту1гзнт.

Рвздзюзг у~1вн91жз ка иу к узтзгг, что —, =.т 1 л: — и-' — =Р, Б зтои гс1;:»„'О- .~," ,» р91991аг~ксм урввкзнзл дзтко прссьйтркВйзтся зднзйпзя Отяссюзяьис х' к ж касть1 -к у =" * ' . ' Бссдз 3~91КОЙ тастк вкзгч У здрава кскокгв Фу1всвго л. в стсно1О1 -~ - - ' . Вывод". зто урам191сгз Отксоктся к тнпу уравкзнЮ Бвряг' л11 О нсонтздь119 и Р9299М ОТО С ДСК1ЬНЬМ НОДСТВКОВ1О1 'С:из 1 и 9 9'гг9 -и, -, К ь, им "и~~у "й7 91*и г — ~*и б =- -Ф вЂ”вЂ” и Л' Бврздзлвть твш дмМер91вщагьнкх уразнвккй, указать сноссбч кд рвмвгогя. Б. ~"у-е:бг . Б.

-р-~ =у~., 2. Р' 9" Рги ' 4, ф-~9'-б.бх'и'. Бусть и У йи сф,у $-У 'ЬЬ иг -б ~1 ° би г ,г г -.„ и — 1'Сгр~ гу г + Р .у'г тогда и Ф =- и з' й~ уг г,р' гаусс ~Г "гиг ~~ рггу; Г,г г г г г г ОУ РУ з' ° -~у"- К с, (тавад форма отззта удобна): . нкк б' ' -"Р~гг '~у',~ Ренина стедугяие уравнения! Е.я я ','~~у у' *,у я у .-',~~ г": .у „.~~~сф ° б, уЫб~'~' ЗФ ,м я..у Я.х с "1 .Ж, ~,~у ° Р я~о и', 5с у~ ду, ~~~ю Гнава 3.